Рациональные числа Иррациональные числа Конечные и бесконечные десятичые дроби

Алгебра 9 класс

03.09. 2025 Классная работа Рациональные числа, иррациональные числа. Конечные и бесконечные десятичные дроби.

Вспомни!

Какие числа называются натуральными?

Числа, которые используют при подсчёте предметов, называют натуральными числами.

Натуральные числа один, два, три, четыре, пять и так далее, записанные в порядке возрастания и без пропусков, образуют ряд натуральных чисел.

Самое маленькое натуральное число – единица.

В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего.

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нём нет.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой  N.

Вспомни!

Какие числа называются целыми ?

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и число нуль.

Сумма, разность и произведение целых чисел в результате дают целые числа.

Этот ряд бесконечен. Наибольшего и наименьшего целых чисел не бывает.

Множество целых чисел обозначают Z.

Рациональные числа

Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Всякое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби , где – целое число, – натуральное.

Например, , , , ,

Множество рациональных чисел имеет специальное обозначение –  Q .

Основные свойства действий с рациональными числами

Переместительное свойство сложения: a + b = b + a.

Сочетательное свойство сложения: (a + b) +c = a + (b + c).

Сложение рационального числа и нуля не изменяет это число: a + 0 = a.

У каждого рационального числа есть противоположное число, а их сумма всегда равна нулю: a + (-a) = 0.

Переместительное свойство умножения: ab = ba.

Сочетательное свойство умножения: (a  b)  c = a  (b  c).

Произведение рационального числа и едины не изменяет это число:

a  1 = a.

У каждого отличного от нуля рационального числа есть обратное число. Их произведение равно единице: a  a −1 = 1 .

Распределительное свойство умножения относительно сложения:

a  (b + c) = a  b + a  c.

Конечные и бесконечные десятичные дроби

Десятичная дробь  — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной.

Например: 0,87; 4,29; 93,2

Конечная десятичная дробь  — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Например: , , ,

Бесконечная десятичная дробь (иррациональное число)  — это когда после запятой количество цифр бесконечно.

Например: 1,26547…..; 0,242424…..

Бесконечные десятичные периодические дроби

Представим обыкновенную дробь в виде десятичной дроби, разделив 7 на 9 уголком.

Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь — бесконечной десятичной периодической дробью.

Иррациональные числа

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в виде рациональной дроби.

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Примеры:

π = 3,1415926...

√ 2 = 1,41421356...

e = 2,71828182…

√ 8 = 2,828427...

-√11= - -3.31662…

Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.

Свойства иррациональных чисел

• Результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу.
• Результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу.
• Результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному.
• Результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4.

Решение задач

Пример 1

Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь1,(47)     

Решение

Пусть  x  =1,(47), т. е. x = 1,474747... . (1) Умножим  x  на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Поскольку в периоде содержатся две цифры, надо, чтобы запятая передвинулась вправо на две цифры, а для этого число  x  нужно умножить на 100. Получим:

100 x = 147,474747... .(2)

Вычтем из (2) – (1)

_ 100 x = 147,474747...

            х = 1,474747...

_________________________________

100 x − x = 147,474747...−1,474747...

  99 x = 146

х =

Ответ:

Пример 2

Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь 1,3(47).

Решение   : Пусть x = 1,3(47) = 1,3474747... . (1)

Сначала умножим  x на 10, чтобы в полученном произведении период начинался сразу после запятой:

  10 x = 13,474747...  . (2)

Теперь число   10 x  умножим на 100 — тогда запятая сместится ровно на один период вправо:

1000 x = 1347,474747...  .(3)

Вычтем из (3) – (2)

Имеем:

_ 1000 x = 1347,474747...

        10 x = 13,474747...

_________________________________

1000 x −10 x = 1347,474747... - 13,474747...

990 х = 1334

х =  

Ответ:

Проверь себя(самостоятельная работа)

0

0

Проверь себя(самостоятельная работа)

Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь