Равнобедренный, равносторонний и прямоугольный треугольники.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равные стороны называются боковыми, третья сторона – основанием.

ТЕОРЕМА: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА: Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный.

ТЕОРЕМА: В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

Свойства равнобедренного треугольника

1. В равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.

1. В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны.

1. В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к боковым сторонам, равны.

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника

1. У равностороннего треугольника все углы равны 60°.
   

1. В равностороннем треугольнике медианы, проведённые из всех вершин являются биссектрисами и высотами.
   

1. Длины высот, медиан и биссектрис, проведённых к каждой из сторон равностороннего треугольника, равны.

(рисунок сверху)

1. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром равностороннего (правильного) треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

1. Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности (рисунок сверху).

2. Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности (рисунок сверху).

3. Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе:

1. Радиус описанной около равностороннего треугольника со стороной а окружности вычисляется по формуле:

1. Радиус вписанной в равносторонний треугольник со стороной а окружности вычисляется по формуле:

1. Высота равностороннего треугольника со стороной а окружности вычисляется по формуле:

1. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формулам (а – сторона треугольника, – высота, r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности):

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Прямоугольным называется треугольник, у которого один угол прямой (равен 90°).

Стороны, составляющие прямой угол называются катетами, третья сторона называется гипотенузой.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ТЕОРЕМА: Если гипотенуза и один острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и одному острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

ТЕОРЕМА: Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

ТЕОРЕМА: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Свойства прямоугольного треугольника

1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90° (рисунок сверху).

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов (рисунок сверху).

3. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30° равен половине гипотенузы.

4. Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
   

1. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
   

1. Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности или радиус описанной окружности, прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.

2. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности (AO – медиана)

1. Длина медианы, проведённой из вершины прямого угла (к гипотенузе), равна половине гипотенузы.

2. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу (h – высота, проведённая к гипотенузе, а – гипотенуза, b и с - катеты)

1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит его на подобные треугольники.

1. Высота, проведённая к гипотенузе, - есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу ( т.е. между проекциями катетов на гипотенузу)

1. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

1. Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух радиусов вписанной и четырёх радиусов описанной окружностей.

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

3