СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Треугольник. Площадь треугольника

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Треугольник — не самая популярная фигура в природе и в нашей обычной жизни. Но ей постоянно пользуются дизайнеры одежды, ювелиры, архитекторы. И, наверняка, нахождение площади треугольника является их частой задачей. Подробнее на эту тему поговорим в статье.

О чем эта статья:

Поделиться статьей

  • АВТОР

    Лидия Казанцева

  • РУБРИКА

    8 класс

  • ДАТА ПУБЛИКАЦИИ

    23.07.2020

  • ПРОСМОТРЫ

    417881

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилось из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

а

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если параметры переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения

  • квадратный миллиметр (мм2);
  • квадратный сантиметр (см2);
  • квадратный дециметр (дм2);
  • квадратный метр (м2);
  • квадратный километр (км2);
  • гектар (га).

 

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Общая формула

1. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

S = 0,5 * a * b⋅sin(α) , где a, b — стороны, α — угол между ними.

2. Площадь треугольника через основание и высоту.

S = 0,5 * a * h, где a — основание, h — высота.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны.

S = (a * b * c) : (4 * R), где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

S = r * (a + b + c) : 2, где a, b, c — стороны, r — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что (a + b + c) : 2 — это способ поиска полупериметра. Тогда формулу можно записать следующим образом:

S = r * p, где p — полупериметр.

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

S = a2 : 2 * (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β)), где a — сторона, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника.

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

S = √ p * (p − a) * (p − b) * (p − c)​, где a, b, c — стороны, p — полупериметр, который можно найти по формуле: p = (a + b + c) : 2

Вебинар :Домашнее задание без слёз и скандаловСреда, 24 ноября в 19:00 МСК

Записаться →

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам.

S = 0,5 * a * b, где a, b — стороны.

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу.

S = 0,25 * c2 * sin(2α), где c — гипотенуза, α — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу.

S = 0,5 * a2 * tg(α), где a — катет, α — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и по радиусу вписанной окружности.

S = r * (r + c), где c — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника вписанного в окружность.

S = c1 * c2, где c1, c2 — части гипотенузы.

Площадь прямого треугольника по формуле Герона.

S = (p − a) * (p − b), где a, b — катеты, p — полупериметр, который рассчитывается по формуле p = (a + b + c) : 2.

Для равнобедренного треугольника

Поиск площади через основание и сторону.

S = b : 4 * √ 4 * a2 − b2, где a — боковая сторона, b — основание.

Вычисление площади через основание и угол.

S = 0,5 * a * b * sin(α), где a — боковая сторона, b — основание, α — угол между основанием и стороной.

Вычисление площади через основание и высоту.

S = 0,5 * b * h, где b — основание, h — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.

S = 0,5 * a2 * sin(α), где a — боковая сторона, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами.

S = b2 : (4 * tgα/2), где b — основание, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности.

S = (3 * √ 3 * R2) : 4, где R — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности.

S = 3 * √ 3 * r2, где r — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону.

S = (√ 3 * a2) : 4, где a — сторона.

Площадь равностороннего треугольника через высоту.

S = h2 : √ 3, где h — высота.

Вебинар :Домашнее задание без слёз и скандаловСреда, 24 ноября в 19:00 МСК

Записаться →

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Скачать онлайн таблицу

 

 

 

Просмотр содержимого документа
«Треугольник. Площадь треугольника»

ВЕРНО ЛИ, ЧТО Площадь параллелограмма равна произведению его сторон 2. Катет, противолежащий углу в 30 0 равен половине гипотенузы 3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 4. Равные многоугольники имеют равные площади 5. Чтобы найти площадь квадрата, надо его сторону умножить на 4 6. Медина треугольника соединяет его вершину с серединой противоположной стороны. 7. Диагонали ромба равны.  8. Высота – это отрезок, перпендикулярный стороне.

ВЕРНО ЛИ, ЧТО

  • Площадь параллелограмма равна произведению его сторон

2. Катет, противолежащий углу в 30 0 равен половине гипотенузы

3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0

4. Равные многоугольники имеют равные площади

5. Чтобы найти площадь квадрата, надо его сторону умножить на 4

6. Медина треугольника соединяет его вершину с серединой противоположной стороны.

7. Диагонали ромба равны.

8. Высота – это отрезок, перпендикулярный стороне.

до     после Равные многоугольники имеют равные площади.    Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.      Площадь квадрата равна квадрату его стороны.   Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.     Если фигура состоит из нескольких фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.     Площадь параллелограмма равна произведению его сторон.    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.     Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.    Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную к этой стороне.  

до

 

 

после

Равные многоугольники имеют равные площади.

 

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

 

 

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

 

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

 

 

Если фигура состоит из нескольких фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

 

 

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон.

 

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

 

 

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

 

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную к этой стороне.

 

Соотнесите фигуру и формулу, по которой вычисляется ее площадь.

Соотнесите фигуру и формулу, по которой вычисляется ее площадь.

высота Дан параллелограмм Помощь h 7 a S = a   h a основание 4 1см a – основание параллелограмма h a – высота, проведенная к основанию

высота

Дан параллелограмм

Помощь

h

7

a

S = a h a

основание

4

1см

a – основание параллелограмма

h a – высота, проведенная к основанию

11/22/2021 Тема урока:  Площадь треугольника. Урок геометрии  в 8 классе.

11/22/2021

Тема урока: Площадь треугольника.

Урок геометрии в 8 классе.

Работа по группам 1-2 номера : выведите формулу площади треугольника, достроив его до параллелограмма. 3-4 номера: выведите формулу площади прямоугольного треугольника, достроив его до прямоугольника.

Работа по группам

  • 1-2 номера : выведите формулу площади треугольника, достроив его до параллелограмма.
  • 3-4 номера: выведите формулу площади прямоугольного треугольника, достроив его до прямоугольника.
Площадь треугольника Теорема.  Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. h a В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой   4

Площадь треугольника

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

h

a

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

 

4

Следствие 1.   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.    А S=   а B С b

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

А

S=

 

а

B

С

b

Решение задач. 16 14 14 10 9 24

Решение задач.

16

14

14

10

9

24

высота Дан треугольник Помощь h a 5 S =  a   h a 1 2 основание a - основание 6 h a - высота 1см Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области треугольника.

высота

Дан треугольник

Помощь

h

a

5

S = a h a

1

2

основание

a - основание

6

h a - высота

1см

Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области треугольника.

до     после Равные многоугольники имеют равные площади.     + Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.       + Площадь квадрата равна квадрату его стороны.   Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. +    Если фигура состоит из нескольких фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур. +    Площадь параллелограмма равна произведению его сторон. +  _  Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.   +  Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.   +  Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную к этой стороне. + 

до

 

 

после

Равные многоугольники имеют равные площади.

 

  +

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

 

 

  +

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

 

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

 

Если фигура состоит из нескольких фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

 

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

 

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

 

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную к этой стороне.

Соотнесите фигуру и формулу, по которой вычисляется ее площадь.

Соотнесите фигуру и формулу, по которой вычисляется ее площадь.

Как можно классифицировать, уже известные нам формулы площадей фигур?

Как можно классифицировать, уже известные нам формулы площадей фигур?

Рефлексия. Добавьте по одному слову из разных частей речи, чтобы закончить предложение. Сегодня на уроке мы _______ (что делали?) Мы работали ____________ (как?) Как вы думаете где используется понятие площади? (для чего?, где?) Что нового мы узнали? Чему научились?

Рефлексия.

Добавьте по одному слову из разных частей речи, чтобы закончить предложение.

  • Сегодня на уроке мы _______ (что делали?)
  • Мы работали ____________ (как?)
  • Как вы думаете где используется понятие площади? (для чего?, где?)
  • Что нового мы узнали? Чему научились?
Домашнее задание .   п.52, вопрос 5, с. 133;  468 (б, в), 471 (б), 477

Домашнее задание .

п.52, вопрос 5, с. 133;

468 (б, в), 471 (б), 477