Разбор 22 задания ОГЭ

Задание 22. Два велосипедиста одновременно отправляются в пробег протяжённостью 208 км. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость первого велосипедиста. Тогда скорость второго будет равна x-3 км/ч. Путь в 208 км первый проходит за   часов, а второй за   часов. Известно, что разница во времени прибытия на финиш составляет 3 часа. Получаем уравнение:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем:

Имеем одно положительное значение x=16 км/ч. Это скорость первого велосипедиста. Скорость второго равна 16-3=13 км/ч.

Ответ: 13.

Задание 22. Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть x% - концентрация первого раствора и y% - концентрация второго раствора. Тогда величину кислоты, содержащейся в первом растворе можно определить как  , а во втором растворе как  . В задаче сказано, что если объединить эти два раствора, то получится раствор 65% кислоты, то есть величина кислоты в объединенном растворе будет равна  . Имеем уравнение

.

Также в задаче сказано, что при равных объемах растворов получается раствор 60% кислоты, то есть можно записать, что

Получаем систему двух уравнений:

Умножим второе уравнение на 12

и вычтем из первого, получим:

Таким образом, второй раствор имеем концентрацию 35% и кислоты во втором растворе равно

 кг.

Ответ: 2,8.

Задание 22. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 2 минуты, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 277 км, скорость первого велосипедиста равна 16 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Решение.

Обозначим через x км – расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до точки встречи. Тогда первый велосипедист проехал 277-x км. Время, которое потратил второй велосипедист в пути, составило   часов, а первого –   часа. Так как оба велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу, то к моменту их встречи они находились в пути одинаковое время. Имеем уравнение:

.

Упрощаем, находим x, получаем:

То есть второй велосипедист проехал 181 км до момента встречи с первым велосипедистом.

Ответ: 181.

Задание 11. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость течения. Тогда при движении ложки против течения, ее скорость была равна 11-x км/ч и на преодоления 112 км было потрачено   часов. При обратном движении лодка шла по течению, то есть ее скорость была равна 11+x км/ч и на преодоления 112 км было затрачено   часов. Известно, что на обратный путь было потрачено на 6 часов меньше. Имеем уравнение:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение получаем два корня:

Получаем один положительный корень x=3 км/ч.

Ответ: 3.

Задание 22. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Решение.

Пусть x км/ч – скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна x-1 км/ч, а по течению x+1 км/ч. Сначала лодка плыла против течения 255 км, то есть затратила на этот путь   часов. Затем, она проделала тот же путь по течению и затратила на него   часов. Известно, что на обратный путь она затратила на 2 часа меньше, имеем:

.

Упрощаем, получаем:

То есть собственная скорость лодки равна 16 км/ч.

Ответ: 16.

Задание 11. Первая труба пропускает на 8 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 180 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?

Решение.

Пропускную способность первой трубы обозначим через  . Тогда вторая труба будет пропускать   литров воды. Время заполнения объема в 180 литров первой трубы составляет  , а тот же объем для второй трубы  . По условию задачи сказано, что вторая труба заполняет данный объем на 8 минут быстрее первой. Получаем уравнение

откуда имеем:

Решаем квадратное уравнение, получаем корни

Так как отрицательного значения быть не может, остается одно значение  .

Ответ: 10.

Задание 22. Грузовик перевозит партию щебня массой 120 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 3 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение.

Имеем арифметическую прогрессию с   тонны щебня и суммой первых десяти ее членов, равной:

 тонн

Отсюда находим

 тонну

Ответ: 21.

Задание 11. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 40 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 350 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошёл мимо пассажирского поезда, равно 24 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Обозначим через   длину скорого поезда. Так как поезда движутся навстречу друг другу, то скорость прохождения поездов мимо друг друга составляет 80+40=120 км/ч. В задаче сказано, что поезда прошли мимо друг друга за 24 секунды (24/3600 часа). Это эквивалентно тому, что скорый поезд прошел за это время 350 метров (0,35 км) и еще свою длину. Получаем уравнение

откуда имеем

То есть длина скорого поезда 0,45 км или 450 метров.

Ответ: 450.

Задание 22. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Скорость обгона пешехода поездом, равна

 км/ч.

С этой скоростью поезд обгонял пешехода в течение 30 секунд, то есть в течение   часа. Следовательно, длина поезда, равна

 км

что составляет 650 метров.

Ответ: 650.

Задание 22. Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 8 %. На сколько процентов девять таких же рубашек дороже куртки?

Решение.

Шесть рубашек дешевле куртки на 8% означает, что 6 рубашек составляют 100-8=92% от стоимости куртки. Следовательно, одна рубашка – это  % от стоимости куртки. Таким образом, 9 рубашек будут составлять   от стоимости куртки, т.е. будут на 38% дороже.

Ответ: 38.

Задание 22. Баржа прошла по течению реки 72 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение.

Обозначим через x км/ч – собственную скорость баржи. Тогда ее скорость по течению реки равна x+5 км/ч, а против течения – x-5 км/ч. Первые 72 км по течению она прошла за   часов, а 54 км против течения за   часов. Так как в пути она была 9 часов, то получаем следующее уравнение:

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, имеем:

Так как скорость баржи величина положительная, то получаем значение 15 км/ч.

Ответ: 15.

Задание 11. В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

Решение.

Изначально в растворе содержится 24% вещества, то есть его объем в 10 литрах равен   литров. После того как добавили 5 литров воды, концентрация раствора составила

,

то есть 16%.

Ответ: 16.

Два автомобиля одновременно отправились в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. найдите скорость первого автомобиля

420/(x-24) - 420/x =2
(420*24)/(x²-24x) =2
10080/(x²-24x) =2
2*(x²-24x)-10080=0
2x²-48x-10080=0
x²-24x-5040=0
D=24²-4*(-5040)=576+20160=√20736=144
x=(24+144)/2=168/2=84км/ч скорость первого автомобиля

Задание 22. Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов?

Решение.

Пусть   кг фруктов требуется для приготовления 21 кг высушенных фруктов. Так как в фруктах содержится 93% воды, то процент сухого вещества составляет 100-93=7%, и в x кг сухого вещества равно

 кг.

Масса сухого вещества в высушенных 21 кг фруктах составляет 100-16=84% и равна   кг. По условию задачи величина  , откуда находим:

 кг.

Ответ: 252.

Задание 22. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение.

Обозначим условно первую половину пути за 1, и вторую половину пути за 1. Соответственно, весь путь будет равен S=1+1=2. Время, затраченное автомобилем на прохождение первой половины пути, равно:

 часов,

а вторую половину пути за

 часов.

Общее время в пути составило

 часов.

Среднюю скорость можно найти как отношение пути ко времени, проведенном в этом пути, то есть:

Ответ: 44,8.

Задание 22. Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 165 км — со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение.

Весь путь составил S=500+100+165=765 км. Вычислим время, за которое автомобиль прошел этот путь:

Таким образом, его средняя скорость, равна:

 км/ч.

Ответ: 76,5.

Задание 22. Смешали 4 литра 35-процентного раствора вещества с 11 литрами 5-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

После смешивания объем получившегося раствора равен V=4+11=15 литров. Значит, доля 35-процентного раствора в этом объеме составляет 4/V, а доля 5-процентного раствора – 11/V. Получаем концентрацию получившегося раствора:

Ответ: 13.

Задание 22. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение.

Обозначим через x км/ч скорость велосипедиста на пути из A в B. Так как расстояние между пунктами A и B составляет 60 км, то время, которое затратил велосипедист, чтобы проехать это расстояние, равно   часов. На обратном пути его скорость увеличилась на 10 км/ч и составила x+10 км/ч, следовательно, он затратил на обратный путь  . В задаче сказано, что на обратном пути он сделал остановку на 3 часа, следовательно, в сумме (с учетом остановки) на обратный путь было потрачено   часа. Учитывая, что время, потраченное на путь из A в B и на обратный путь равны, получаем уравнение:

.

Упростим выражение, перепишем его в виде:

Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:

Так как скорость велосипедиста величина положительная, получаем его скорость 10 км/ч.

Ответ: 10.

Задание 11. Коля и Митя выполняют одинаковый тест. Коля отвечает за час на 12 вопросов теста, а Митя — на 21. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Коля закончил свой тест позже Мити на 105 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение.

Пусть в тесте   вопросов. Тогда общее время ответа Коли на все вопросы равно   часов, а общее время ответа Мити   часов. Известно, что Коля отвечал на тест на 105 минут (7/4 часа) дольше Мити. Имеем уравнение

То есть в тесте 49 вопросов.

Задание 22. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.

Решение.

Пусть x км/ч скорость первого бегуна, тогда скорость второго x+5 км/ч. Известно, что спустя 45 минут (3/4 часа) второй бегун пробежал один круг, то есть длина круга   км. Первому бегуну через час бега оставалось пробежать еще 1 км до окончания круга, то есть за час он пробежал   км. Эта величина также равна и скорости первого бегуна, так как она показывает расстояние, пройденное за 1 час. В то же время, скорость первого бегуна обозначена как x км/ч, следовательно,

,

откуда имеем:

То есть скорость первого бегуна 11 км/ч.

Задание 22. Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение.

Обозначим через x деталей в час – производительность второго рабочего, тогда первый рабочий выполняет x+9 деталей в час. Известно, что 112 деталей первый выполняет быстрее, чем второй, то есть

,

откуда

Решаем квадратное уравнение, получаем:

Так как выработка не может быть отрицательным числом, получаем производительность второго рабочего 12 деталей в час.

Ответ: 12.