Разбор задания №20 ЕГЭ математика базового уровня (смеси и доли)

Подготовка к ЕГЭ 2025 год

задание 20

Базовый уровень

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2025 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 20 указывается « Умение решать текстовые задачи разных типов, решать уравнения»

Уровень сложности — базовый.

Максимальный балл за выполнение задания — 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) — 15.

В подготовке к ЕГЭ по математике важны все три составляющие:

• знание теории;
• наличие практических навыков решения задач разных типов;
• умение увидеть решение и использовать знания из разных разделов для решения поставленной задачи

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

• задачи на движение:

• задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку),
• задачи на движение по воде,
• задачи на движение по замкнутой трассе,
• задачи на среднюю скорость,
• задачи на движение протяженных тел;

• задачи на производительность, совместную работу;
• задачи на смеси и сплавы
• задачи на проценты

ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ:

• Анализ условия задачи (чтение задачи, определение типа задачи, выделение данных, которые известны и требуется найти)

• Схематическая запись задачи (рисунок, схема, чертеж)

• Поиск способа решения (определение связи между данными задачи, формул, составление плана решения задачи, приведение величин к «одинаковой» соразмерности, составление таблицы)

• Составление уравнения или системы уравнений как математической модели задачи (обозначить неизвестную величину через х, выразить через нее другие величины, найти зависимость между ними)

• Решение полученного уравнения или системы уравнений (запись решения и результата)
• Проверка решения

• Формулировка ответа

ЗАДАЧИ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ

Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси .

(или определить массу каждой из этих двух первоначально взятых смесей)

Или

В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

Или

Из двух сплавов определенной массы с некоторой концентрацией одного элемента получают третий сплав. Нужно определить массу и концентрацию этого элемента в новом сплаве .

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения определенного количества изюма, если указаны концентрация воды в изюме и винограде?

КОМПОНЕНТЫ ЗАДАЧ НА СМЕСИ

• КОНЦЕНТРАЦИЯ (ДОЛЯ ЧИСТОГО ВЕЩЕСТВА В СМЕСИ);
• МАССА ЧИСТОГО ВЕЩЕСТВА В СМЕСИ;
• МАССА СМЕСИ.

АПЕЛЬСИНОВЫЙ НАПИТОК:

• МАССА СМЕСИ – 5 Л
• МАССА ЧИСТОГО ВЕЩЕСТВА В СМЕСИ (КОНЦЕНТРАТ АПЕЛЬСИНОВЫЙ) – 0,5 Л
• КОНЦЕНТРАЦИЯ (ДОЛЯ ЧИСТОГО ВЕЩЕСТВА В СМЕСИ)- 0,1 ИЛИ 10%

0,5 Л

КОНЦЕНТРАТ

АПЕЛЬСИНОВЫЙ

5 Л АПЕЛЬСИНОВЫЙ

НАПИТОК

4,5 Л ВОДА

С (концентрация)

1

М(масса смеси)

2

m (чистого вещества в смеси)

СМЕСЬ

7

Концентрация вещества в растворе (смеси, сплаве) – это отношение массы или объема вещества к массе или объему всего раствора (смеси, сплава).

Чтобы найти концентрацию вещества в растворе, необходимо массу этого вещества разделить на массу всего раствора. Часто концентрация вещества выражается в процентах.

Обозначим:

С – концентрация

m – масса чистого вещества в смеси

M – масса смеси

ВАЖНО ПОМНИТЬ и ПОНИМАТЬ:

• Масса раствора (смеси, сплава) равна сумме масс всех составляющих.
• При смешивании нескольких растворов (смесей, сплавов) масса нового раствора становится равной сумме всех смешанных растворов.

• Масса какого из веществ, растворов не изменяется
• Концентрация в полученных растворах меняется, становится больше или меньше

Приготовление растворов

Вода

Вода

Соль

Соль

После перемешивания

1 раствор =

2 раствор =

вода

вода

+

+

соль

соль

3

соль

Полученный

раствор

соль

1

раствор

2

соль

раствор

m 1 соли + m 2соли = m 3соли m 1 р-ра + m 2 р-ра = m получ. р-ра

Задача К 150 г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор этой же соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили?

Задача К 150 г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор этой же соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили?

Масса

1 раствор

раствора, г

150

Процентная концентрация

2 раствор

Масса соли в растворе, г

10%

х

Приготовленный

5%

0,05х

раствор

150+х

8%

(150+х) 0,08

К 150 г 10-процентного раствора соли добавили 5-процентный раствор соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество 5-процентного раствора добавили?

1 раствор

Масса

раствора, г

150

Процентная

2 раствор

концентрация

Масса

10%

Х

соли, г

Приготовленный

5%

0,05х

раствор

150+х

8%

Массу соли выразили двумя способами.

На основании этого составим уравнение:

Ответ: 100 г

Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Масса сплава, кг

1 сплав

х

2 сплав

Процентная

х+3

Масса меди в сплаве, кг

10%

концентрация

0,1х

Полученный

40%

сплав

0,4(х+3)

х+(х+3)

0,1х+0,4(х+3)

30%

Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

1 сплав

Масса сплава, кг

х

Процентная

2 сплав

концентрация

Масса меди в сплаве, кг

10%

х+3

Полученный

0,1х

40%

сплав

0,4(х+3)

х+(х+3)

0,1х+0,4(х+3)

30%

0,1х+0,4(х+3)=0,3(х+(х+3))

х=3

3+(3+3)=9(кг) - масса третьего сплава

Ответ: 9кг .

Универсальная таблица при решении задач на растворы и сплавы

Количество раствора

1 раствор

(сплава)

(сплав)

Процентная

2 раствор

концентрация

Количество вещества

(сплав)

в растворе (сплаве)

Полученный

раствор (сплав)

В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Количество

Исходный раствор

раствора, л

5

Вода

Процентная

7

12%

концентрация

Количество вещества в растворе

Полученный раствор

0%

0

5+7

Х%

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

% активного вещества

Десятичная запись процента

Масса активного вещества

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

Первый водный раствор

5л

Вода

% активного вещества

Десятичная запись процента

7 л

12%

Получившийся раствор

Масса активного вещества

0%

5+7=12 л

?

Заполним таблицу данными и поставим вопрос задачи.

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

Первый водный раствор

% активного вещества

5л

Вода

Десятичная запись процента

7 л

12%

Получившийся раствор

5+7=12 л

Масса активного вещества

0,12

0%

?

5*0,12=0,6

0

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

Первый водный раствор

5л

Вода

% активного вещества

Десятичная запись процента

7 л

12%

Получившийся раствор

Масса активного вещества

0,12

0%

5+7=12 л

5*0,12=0,6

?

0

0,6

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

Первый водный раствор

5л

Вода

% активного вещества

7 л

Десятичная запись процента

12%

Получившийся раствор

Масса активного вещества

0,12

0%

5+7=12 л

?

5*0,12=0,6

0

=0,6/12=0,05

0,6

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

Первый водный раствор

Вода

% активного вещества

5л

Получившийся раствор

7 л

Десятичная запись процента

12%

0,12

Масса активного вещества

0%

5+7=12 л

5*0,12=0,6

? 5%

0

=0,6/12=0,05

0,6

Ответ: 5

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

% активного вещества

Десятичная запись процента

Масса активного вещества

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

1 сплав

% активного вещества

2 сплав

Десятичная запись процента

3 сплав

10%

200 кг

30%

Масса активного вещества

25%

? на сколько кг?

Заполним таблицу данными и поставим вопрос задачи.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

1 сплав

% активного вещества

2 сплав

Десятичная запись процента

10%

3 сплав

200 кг

30%

0,1

Масса активного вещества

0,3

25%

0,25

200*0,25=50

? на сколько кг?

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

1 сплав

х

% активного вещества

2 сплав

200-х

Десятичная запись процента

10%

3 сплав

0,1

Масса активного вещества

30%

200 кг

0,3

0,1*х

25%

0,3(200-х)

0,25

200*0,25=50

Составляем уравнение: 0,1х+0,3(200-х)=50

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

1 сплав

х

% активного вещества

2 сплав

200-х

Десятичная запись процента

10%

3 сплав

0,1

Масса активного вещества

30%

200 кг

0,3

0,1*х

25%

0,3(200-х)

0,25

200*0,25=50

х=50 кг – масса первого сплава, отсюда масса второго сплава 200-50=150.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

1 сплав

х

% активного вещества

2 сплав

200-х

Десятичная запись процента

10%

3 сплав

Масса активного вещества

30%

0,1

200 кг

0,3

0,1*х

25%

0,3(200-х)

0,25

200*0,25=50

Обращаем внимание на вопрос задачи: 150-50=100 кг

Ответ: 100

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

% активного вещества

Десятичная запись процента

Масса активного вещества

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

1 раствор

30 кг

% активного вещества

2 раствор

20 кг

Десятичная запись процента

1р+2р=3 раствор

Масса активного вещества

30+20=50 кг

1р(20кг)+2р=4 раствор

20+20=40 кг

?

68%

70%

Заполним таблицу данными и поставим вопрос задачи.

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

1 раствор

2 раствор

% активного вещества

30 кг

Десятичная запись процента

20 кг

х

1р+2р=3 раствор

0,01х

30+20=50 кг

у

Масса активного вещества

1р(20кг)+2р=4 раствор

20+20=40 кг

0,01у

68%

0,01х*30=0,3х

0,68

0,01у*20=0,2у

70%

0,7

0,68*50=3,4

0,7*40=2,8

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

1 раствор

2 раствор

% активного вещества

30 кг

Десятичная запись процента

20 кг

1р+2р=3 раствор

х

1р(20кг)+2р=4 раствор

0,01х

у

Масса активного вещества

30+20=50 кг

0,01у

20+20=40 кг

0,01х*30=0,3х

68%

0,68

0,01у*20=0,2у

70%

0,7

0,68*50=34

0,7*40=28

0,3х+0,2у=34

0,2х+0,2у=28

Составим систему уравнений:

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

1 раствор

% активного вещества

30 кг

2 раствор

Десятичная запись процента

20 кг

1р+2р=3 раствор

х

Масса активного вещества

0,01х

1р(20кг)+2р=4 раствор

у

30+20=50 кг

20+20=40 кг

0,01у

68%

0,01х*30=0,3х

70%

0,01у*20=0,2у

0,68

0,7

0,68*50=34

0,7*40=28

Отсюда х=60, это процент кислоты в первом растворе. Обращаем внимание на вопрос задачи: 0,3*60=18 кг.

Ответ: 18

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

% активного вещества

Десятичная запись процента

Масса активного вещества

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

Изюм

Виноград

% активного вещества

20 кг

Десятичная запись процента

?

95%

Масса активного вещества

10%

% содержание питательного вещества, не воды

Заполним таблицу данными и поставим вопрос задачи.

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

Изюм

% активного вещества

20 кг

Виноград

Десятичная запись процента

?

95%

Масса активного вещества

10%

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

Изюм

% активного вещества

20 кг

Виноград

Десятичная запись процента

?

95%

Масса активного вещества

0,95

10%

0,1

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

Изюм

Виноград

% активного вещества

20 кг

Десятичная запись процента

?

95%

10%

0,95

Масса активного вещества

0,1

20*0,95=19 кг

19 кг

Массы активного вещества изюма и винограда равны

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Смесь, сплав, раствор

Масса смеси, сплава, раствора

Изюм

Виноград

% активного вещества

20 кг

Десятичная запись процента

? 19/0,1=190 кг

95%

10%

0,95

Масса активного вещества

0,1

20*0,95=19 кг

19 кг

Ответ: 190

1. В сосуд, содержащий 4 литра 18-процентного водного раствора вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

2. В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

3. В сосуд, содержащий 9 литров 13-процентного водного раствора вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

4. В сосуд, содержащий 8 литров 22-процентного водного раствора вещества, добавили 3 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

5. Смешали некоторое количество 20-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 14-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

6. Смешали некоторое количество 14-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

7. Смешали некоторое количество 12-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 18-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

8. Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 13-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

9. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 40 % меди, второй – 15 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % меди. Масса первого сплава равна 20 кг. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

10. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5 % меди, второй – 30 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Масса первого сплава равна 60 кг. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 35 % меди, второй – 5 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30 % меди. Масса первого сплава равна 100 кг. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

12. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10 % меди, второй – 35 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 25 % меди. Масса первого сплава равна 100 кг. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

13. Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 14 килограммов изюма?

14. Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 82 килограммов изюма?

15. Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 40 килограммов изюма?

16. Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 62 килограммов изюма?

17. Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 44 килограммов изюма?

Домашнее задание:

задание №20

в сборнике ЕГЭ

варианты №1-10

Спасибо за урок!