Разговор о гармонических функциях

Гармонические функции

Задача: Будем рассматривать дискретные функции, т. е. функции, заданные в целочисленных точках (узлах) плоскости. Дискретная функция называется гармонической, если ее значение в любом узле равно среднему арифметическому значений в четырех соседних узлах. Требуется изучить свойства гармонических дискретных функций. Например, существует ли гармоническая дискретная функция на неограниченной плоскости, отличная от постоянной? Сколько существует таких гармонических дискретных функций в ограниченной области, что значения на границе заданы?

План решения задачи:

1. Принцип максимума. Если функция гармоническая в ограниченной области, то наибольшее и наименьшее значения она принимает на границе области.

2. Контурные свойства. Как выразить значение гармонической функции в точке через ее значения на контуре «ромба» с центром в этой точке?

3. Принцип суперпозиции. Сумма гармонических функций также является гармонической. Произведение гармонической функции на число также является гармонической функцией.

4. Теорема единственности. Существует не больше одной функции, гармонической в данной ограниченной области, с заданными значениями на границе.

Решение:
Существует не больше одной гармонической функции, определённой в заданной ограниченной области с известными значениями на границе.
Пусть существуют две функции — q(x, y) и z(x, y). Тогда рассмотрим функцию f(x, y) = q(x, y) − z(x, y). Заметим, что на границах она будет принимать значение 0. Но по теореме, h принимает максимальные и минимальные значения на границе.

Следовательно она принимает значение 0 на всей ограниченной области.
Если функция гармоническая в ограниченной области, то наибольшее и наименьшее значения она принимает на ее границе.
Предположим, что наибольшее значение функция принимает в точке (x0, y0) не на границе области. Так как значение наибольшее, значения во всех соседних точках меньше или равно q(x0, y0). Но их среднее арифметическое равно q(x, y).

Следовательно, значения функции во всех этих точках равны q(x0, y0). Аналогично рассуждая об этих четырех точках и далее, получим, что значение функции в любой точке на ограниченной области равно q(x0, y0).А это значит, что максимальное значение принимается, в часности, и на границе, что и требовалось доказать.