Различные доказательства теоремы Пифагора

Здравствуйте, нас зовут Ильченко Ангелина и Чараева Танзила. Мы учимся в 8 классе. В этом году на уроке геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем для прямоугольного треугольника, известной с древних времен – теоремой Пифагора. Кратко познакомились с историей этой теоремы, рассмотрели ее доказательство, но также узнали, что оно не единственно. Это и то, что теорема Пифагора была известна задолго до его рождения нас и поразило. Мы заинтересовались и решили провести исследование цели и задачи, которого представлены на слайде.

Чтобы убедится, что эта тема интересна не только нам, мы провели опрос среди учеников нашего класса.(слайд)

Наши предположения подтвердились. Большинство учеников предполагают, что существует более ста доказательств теоремы Пифагора и многие хотели бы узнать новые доказательства.

Мы просмотрели школьные учебники геометрии различных авторов, а также словари и справочники и сегодня представим несколько способов доказательства теоремы.

1. Простейшее доказательство

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по 2. Теорема доказана.

2.Доказательство Евклида.

Данное доказательство приведено в предложении 47 первой книги «Начал». Это же доказательство рассмотрено и в учебнике А.П.Киселева «Геометрия».

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны».

Затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD и _FBC = _ABD. Но S_ABD = 1/2 S_BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S_FBC = 1/2 S_ABFH (BF-общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, что S_ABD = S_FBC , имеем S_BJLD = S_ABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что S_JCEL = S_ACKG. Итак, S_ABFH + S_ACKG = S_BJLD + S_JCEL = S_BCED, что и требовалось доказать.

3.Алгебраическое доказательство.

Это доказательство, основанное на площади, рассматривается в учебнике «Геометрия 7-9» Л.С.Атанасяна. Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b.Площадь этого квадрата равна (a+b) С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ab, и квадрата со стороной с, поэтому S = 4 ab + c² = 2ab + c². Таким образом, (a + b)² = 2ab + c², откуда c² = a² + b² что и требовалось доказать.

4.Через подобие треугольников.

В прямоугольном ∆ АВС (С = 90º ) проведём высоту СD. Тогда исходный треугольник разобьётся на два треугольника, тоже являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику ( первый признак подобия прямоугольных треугольников) Так как у подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны, то

АС : АD = АВ : АС = ВС : СD; АВ : ВС = ВС : ВD = АС : СD Получим верные равенства:

АС · АС = АВ · АD , ВС · ВС = АВ · ВD

в · в = с · АD а · а = с ·ВD

Складывая эти два верных равенства, получим

в ² + а ² = с (АD + ВD)

5. Через косинус угла.

Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла соs A = AD/AC = AC/AB, отсюда следует

AB·AD = АС²

Аналогично

соs B = BD/BC = BC/AB, значит AB·BD = ВС²

Сложив полученные равенства почленно, получим: АВ² = АС² + ВС²

6. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого. Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту S =

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S = Приравнивая данные выражения, получаем:

или с² = a² + b²

7.Старейшее доказательство(содержится в одном из произведений Бхаскары).

П усть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

АЕ =b); Пусть СК ВЕ = а, DL CK, AM DL

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

; ; .

Доказательства Хоукинса и Гофмана представлены на слайдах

В результате нашей исследовательской работы, мы рассмотрели несколько различных способов доказательства теоремы Пифагора, которые не представлены в школьном курсе геометрии. Работа над проектом позволили нам расширить свои знания в области геометрии. К сожалению, невозможно привести все доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.