Разложение разности квадратов на множители

Конспект урока по алгебре в 7-м классе

"Разложение разности квадратов на множители"

дата

Цели урока:

1. Развитие опыта применения формулы, умения работать в группах, учиться слушать других, учиться вместе.

2. На основании формулы учащиеся должны научиться делать следующие преобразования:

• раскладывать на множители;

• сокращенно умножать сумму двух выражений на их разность;

• решать уравнения;

• доказывать тождества;

• применять формулу для вычислений.

Мотив:

Зная данную формулу, мы сможем делать все эти преобразования, а в дальнейшем и сокращать дроби.

Тип урока: урок-исследование.

Вид урока: комбинированный.

Ход урока

Устные упражнения помогут нам в дальнейшей работе.

1 учащийся у доски: замените пропуски одночленами, чтобы выполнялось равенство

1. ( __ - 15a)( __ + __ ) = 4c² - __

2. 81a² - __ = ( __ + __ )( __ - 11с)

3. 0,49x⁶ - __ = ( __ - 10k²)( __ + __ )

1. Прочитайте выражения:

• a² - b²;

• (a - b)²;

• y+5;

• (m - n)(m + n).

2. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

• 4p²;

• 0,16n²;

• a²;

• a²b².

3. Решить уравнение:

(x + 4)(x - 1) = 0

Ответ: x = -4; x = 1

4. Вычислить: 

5. Заполните таблицу, выбрав буквы, соответственно верным и неверным равенствам, назовите ошибку (можно совещаться).

• x² + y² = (x + y)(x + y)

• (3a²)² = 27a⁴

• (9a – 7b)(7b + 9a) = 81a² – 49b²

• (0,1xy³)² = 0,01x²y⁶

• (a - b)(a + b) = a² – b² +2ab

• (a - b)² = a² + b² – 2ab

• (m + n)(n - m) = m² – n²

На доске (a - b)(a + b) = a² – b²

Историческая справка: это две взаимно обратные операции. Чем отличаются скобки? Знаком! Такие выражения называются сопряженными.

Еще в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные, итак появились формулы сокращенного умножения, некоторые правила сокращенного умножения были известны около 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие некоторые народы древности. Сегодня нам предстоит сыграть роль “исследователей”, для того чтобы “открыть”, где может данная формула применяться.

Задание выполняется в группах

1 группа: повторим, как применяется формула сокращенного умножения (выполняем у доски сложные задания).

Задание: выполните умножение

• (4x² – 2y³)(4x² + 2y³) = (4x²)² – (2y³)² = 16x⁴ – 4y⁶

• (10m + 8n⁵)( 10m - 8n⁵) = (10m)² – (8n⁵)² = 100m² – 64n¹⁰

2 группа: повторим, как применяется формула, если надо разложить на множители (выполняем задание у доски).

Задание: разложите на множители

• (225x² – 64y⁴) = (15x – 8y²)( 15x + 8y²)

• 

Остальные листочки разбирают по группам, каждая группа выполняет задание на месте, потом рассматривают решение на доске. Узнаем, где еще применяется данная формула.

3 группа:

Задание: вычислить

• 87² – 13²

• 

4 группа:

Задание: решить уравнение

• x² – 49 = 0

• 25y² – 16 = 0

5 группа:

Задание: докажите тождество

(x + y)(x - y) + (y - a)(y + a) = (x - a)(x + a)

6 группа:

Задание: упростите выражение

• (3b - 1)(3b + 1) – (b - 5)(b + 5)

• (7m – 10n)(7m + 10n) – 100n²

Решение уравнения (с комментарием) у доски:

8x(1 + 2x) – (4x + 3)(4x - 3) = 2x

8x + 16x² – 16x² + 9 =2x

8x – 2x = 9

6x = 9

x=

x = 

Ответ: x = 1,5

Подведение итогов:

Каждая группа рассказа о своем применении формулы (a - b)(a + b) = a² – b² .

Какие же результаты мы получили? Она применяется для:

1. сокращенного умножения;

2. разложения на множители;

3. решения уравнений;

4. упрощения выражений;

5. вычислений.

Учились учиться вместе, работая в группах, увидели, что успех команды зависит от вклада каждого ученика.

Домашнее задание: №859,863,867

1 группа: повторим, как применяется формула сокращенного умножения (выполняем у доски сложные задания).

Задание: выполните умножение

• (4x² – 2y³)(4x² + 2y³) = (4x²)² – (2y³)² = 16x⁴ – 4y⁶

• (10m + 8n⁵)( 10m - 8n⁵) = (10m)² – (8n⁵)² = 100m² – 64n¹⁰

2 группа: повторим, как применяется формула, если надо разложить на множители (выполняем задание у доски).

Задание: разложите на множители

• (225x² – 64y⁴) = (15x – 8y²)( 15x + 8y²)

• 

Остальные листочки разбирают по группам, каждая группа выполняет задание на месте, потом рассматривают решение на доске. Узнаем, где еще применяется данная формула.

3 группа:

Задание: вычислить

• 87² – 13²

• 

4 группа:

Задание: решить уравнение

• x² – 49 = 0

• 25y² – 16 = 0

5 группа:

Задание: докажите тождество

(x + y)(x - y) + (y - a)(y + a) = (x - a)(x + a)

6 группа:

Задание: упростите выражение

• (3b - 1)(3b + 1) – (b - 5)(b + 5)

• (7m – 10n)(7m + 10n) – 100n²

Решение уравнения (с комментарием) у доски:

8x(1 + 2x) – (4x + 3)(4x - 3) = 2x

8x + 16x² – 16x² + 9 =2x

8x – 2x = 9

6x = 9

x=

x = 

Ответ: x = 1,5