Разработка факультативного занятия по теме "Следствия из теоремы косинусов"

Государственное учреждение образования «Средняя школа № 2

г. Житковичи имени А. В. Головача»

Конкурс методических разработок учителей математики учреждений общего среднего образования «Каскад педагогических идей»

НОМИНАЦИЯ «ОБУЧЕНИЕ С УВЛЕЧЕНИЕ»

ФАКУЛЬТАТИВНОЕ ЗАНЯТИЕ ПО ТЕМЕ «СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ»

10 КЛАСС

Константинова Алла Александровна,

учитель математики высшей квалификационной категории,

тел. +375333156630

2020

Оглавление

Введение ………………………………………………………………………....3

Основная часть……………………………………………………………………4

Список литературы………………………………………………………………8

Приложения ………………………………………………………………………9

Введение

Для проведения факультативных занятий в 9-11 классах я использую учебную программу «Повторяем математику». Согласно этой программе факультативные занятия предназначены для учащихся, желающих обобщить, систематизировать и углубить свои знания по курсу математики 5-11-го классов. Они позволяют организовать системную подготовку к тестированию по математике и к сдаче выпускного экзамена. В процессе занятий учащиеся имеют возможность повторить весь необходимый теоретический материал, ликвидировать учебные пробелы и углубить свои знания по всем темам курса математики средней школы. [4]

Знания учащихся тогда становятся прочными, когда они носят системный и циклический характер, то есть когда периодически происходит повторение ранее изученного материала. Поэтому, по моему мнению, при планировании факультативных занятий наиболее пристальное внимание следует уделить «западающим» темам школьного курса математики, то есть той информации, которая не часто используются на уроках и поэтому, в основном, забывается учащимися. Одной из таких тем является тема «Теорема косинусов», а проблемными вопросами в ней являются следствия из теоремы косинусов, которым и посвящена данная методическая разработка.

Немаловажное значение для успешного усвоения знаний учащимися имеет разнообразие форм и методов получения ими информации, а также видов их деятельности. Так своё факультативное занятие я спланировала в форме перевёрнутого урока, когда учащиеся дома готовят нужную информацию, а на занятии её закрепляют. В ходе занятия предусмотрены задания различных типов.

Задания типа «Найди ошибку» побуждают учащихся быть более наблюдательными, заставляют анализировать и рассуждать. Благодаря чему учащиеся развивают внимание, логическое мышление и учатся отстаивать свою точку зрения.

Задания на установление соответствия учат анализировать и сопоставлять заданную информацию, делать выводы. К тому же оно подаётся в игровой форме на сайте http://learningapps.org. Выход на сайт происходит через QR-код. Для выполнения этого задания учащимся достаточно иметь смартфон и выход в интернет.

На занятии при решении задачи используется метод продолжения медианы или достраивания треугольника до параллелограмма, знание которого полезно при решении олимпиадных задач и подготовке к экзаменам и ЦТ.

Данное факультативное занятие мной проводилось с группой учащихся 10 класса, которые интересуются математикой и которые собираются сдавать ЦТ по математике. Такое занятие так же можно провести с учащимися 9-го и 11-го классов. Отдельные элементы разработки можно применить и на уроке в 9 классе при изучении темы «Теорема косинусов».

Тема: «Следствия из теоремы косинусов и их применение»

10 класс

Цель: знание учащимися следствий из теоремы косинусов, умение применять их при решении более сложных задач.

Задачи:

• организовать деятельность учащихся по определению ими целей занятия;

• содействовать актуализации знаний учащихся и устранению у них пробелов в знании основных понятий изучаемой темы;

• создать условия для вывода учащимися следствий из теоремы косинусов;

• способствовать деятельности учащихся по применению знаний при решении ключевых задач;

• создать ситуации для развития мышления учащихся, умений анализировать и делать выводы, коммуникативных способностей при работе в парах, группах, рефлексивных навыков;

• создать условия для воспитания целеустремлённости, добросовестности, точности и аргументированности высказываний, умения преодолевать трудности.

Тип занятия: комбинированное занятие с элементами исследования.

Формы организации обучения: индивидуальная, фронтальная, групповая и работа в парах.

Оборудование: интерактивная доска, проектор, компьютер, смартфоны, раздаточный материал.

Ход занятия

1. Организационный момент (1мин.)

Вступительное слово учителя.

- Здравствуйте, ребята! Американский писатель Ллойд Александр сказал: «Настоящие знания мы получаем, когда ищем ответ на вопрос, а не когда узнаём сам ответ». Эта цитата характеризует ход наших действий на сегодняшнем занятии. Сегодня мы будем добывать знания!

Сообщение учителем темы занятия.

- Тема нашего занятия: «Следствия из теоремы косинусов и их применение».

- Что мы уже знаем по этой теме?

- Что хотим узнать? Какие цели на сегодняшнее занятие вы перед собой ставите?

Учитель выслушивает ответы учащихся и обобщает их.

- Итак, сегодня на занятии мы получим следствия из теоремы косинусов, которые сможем использовать при решении других более сложных задач, выполним диагностическую работу для проверки своих знания. А оценить свою работу вам поможет лист самоконтроля, который мы будем заполнять по мере выполнения заданий.

1. Актуализация опорных знаний (6 мин.)

1. Найдите ошибки.

Работа в парах.

- Работая в парах, найдите ошибки в утверждениях на доске. Затем, поочерёдно выходя к доске, исправьте их.

• Площадь параллелограмма можно вычислить по формулам:

, .

• Теорема косинусов записывается так: .

• Если , то и .

• Из теоремы косинусов:

1. Установите соответствия

- На своих мобильных телефонах с помощью QR-кода

(рис. 1) откройте и выполните задание. Здесь нужно

установить соответствие между задачей на решение

треугольника с формулой или теоремой, применяемой

при её решении. Рисунок 1

1. Работа по готовым чертежам.

- Методы мы вспомнили, а теперь применим их для решения простейших задач.

- Какая теорема будет применяться в каждом из заданий для нахождения неизвестного элемента? (рис. 2)

1. Усвоение знаний (9 мин.)

Работа в группах.

- В прошлый раз на занятии вы разделились на группы. Каждая группа получила своё задание и сейчас вы представите нам результаты своей работы. Рисунок 2

Задание 1 группы. Определите вид треугольника по заданным сторонам a, b, c без вычисления угла.

Задание 2 группы. Найдите длину медианы треугольника по заданным сторонам a, b, c.

Задание 3 группы. Докажите, что для параллелограмма справедлива формула d₁² + d₂² = 2(a² + b²).

Представители групп демонстрируют результаты своей работы, в конце каждого выступления делается вывод и записывается в тетради.

1. Формирование умений (10 мин.)

1. Решение более сложных задач

- Представленные вами задачи, являются следствиями из теоремы косинусов и являются ключевыми для решения более сложных задач. Одну из таких задач мы сейчас и рассмотрим.

Задача. Найдите угол А треугольника между сторонами, длины которых 2 и 4, если медиана, проведенная из вершины А, равна .

1. 90º; 2) 60 º; 3) 30 º; 4) 45 º; 5) 120 º. [1]

-Каков будет план наших действий для решения этой задачи?

О твет учащихся: А

1) Чтобы найти угол треугольника, нужно знать 3 стороны.

2) Третью сторону найдём из формулы медианы

треугольника. 4 2

1-й учащийся решает на доске.

А ;

); С М В

;

= 32 + 8 – 28 = 12, ВС = .

- Можно ли другим способом найти третью сторону? А

Ответ учащихся: можно дополнить треугольник до

параллелограмма и воспользоваться формулой суммы

квадратов его диагоналей. 4 2

- Чему же будут равны диагонали параллелограмма?

Ответ учащихся: диагональ АD = 2АМ = , а М

диагональ ВС нужно найти. С В

2-й учащийся решает на доске.

Из формулы получим:

, отсюда

= 32 + 8 – 28 = 12, ВС = .

- Оба способа дали одинаковый результат. D

При решении мы применили и тем самым закрепили обе формулы.

Способ продолжения медианы хорош тем, что с его помощью можно решить ряд задач централизованного тестирования и олимпиадных задач.

3-й учащийся на доске вычисляет угол А.

, .

- Чтобы применить результаты и 3-й группы, давайте немного изменим требование задачи. Определим ещё вид треугольника.

АС – наибольшая сторона. Сравним АС² c ВС² + АВ².

АС² = 16, ВС² + АВ² =12+4 = 16, значит треугольник АВС – прямоугольный, .

2. Выявление связи теоремы косинусов с теоремой Пифагора

- Давайте выясним, связана ли теорема косинусов с теоремой Пифагора. Если да, то какая из них является более общей, а какая её частным случаем?

Учащиеся высказывают своё мнение. Делается вывод.

1. Физкультминутка (1 мин.)

2. Проверка степени усвоения знаний (15 мин.)

Диагностическая работа учащихся с последующей взаимопроверкой.

- Для проверки своих знаний и умений по данной теме выполните задания диагностической работы:

1. Определите вид треугольника, если его стороны равны 4 см, 7 см и 9 см. [2]

2. Стороны треугольника равны 8, и 14. Определите длину медианы, проведённой к наибольшей стороне треугольника. [3]

3. Длина одной из сторон параллелограмма равна длине его диагонали и равна 7, длина второй диагонали равна 11. Найдите площадь параллелограмма. [3]

- По окончании обменяйтесь тетрадями и выполните взаимопроверку.

Ключ-ответ: 1. Тупоугольный. 2. 5. 3. .

Обсуждение ошибок и их причин.

1. Рефлексия. Подведение итогов занятия (3 мин.)

- На основании листа самоконтроля заполните анкету, отмечая утверждения знаком «+» или «–». Она покажет, как вы поработали на сегодняшнем занятии, что усвоено, а над чем ещё нужно поработать.

- В заключении я хочу сказать вам словами С. Я. Маршака «Пусть каждый день и каждый час вам новое добудет, пусть добрым будет ум у вас, а сердце умным будет». Я хочу верить, что благодаря сегодняшнему занятию вы пополнили бесценный багаж своих знаний.

Список использованной литературы

1. Арефьева, И. Г. Повторяем математику за курс средней школы: тестовые задания для 11 класса: пособие для учащихся учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения/И. Г. Арефьева. – 1-е изд. – Минск: Аверсев, 2015. – 143 с.: ил. – (Школьникам, абитуриентам, учащимся).

2. Кубеко, Т. П. Рабочая тетрадь по геометрии 9 класса: пособие для учащихся учреждений общего среднего образования с русским языком обучения/Т. П. Кубеко. – Минск: Сэр-Вит, 2014. – 38 с.: ил. – (Школьная программа).

3. Тесты по математике для 10 и 11 классов: практикум для учащихся общеобразовательных учреждений/[сост.: Е. И. Федорако, Н. В. Сосинович]. – Мозырь: Белый ветер, 2011. – 238 с.

4. Учебная программа факультативных занятий «Повторяем математику» по учебному предмету «Математика» IX (X) класс.

Приложения

Раздаточный материал

Анкета-самоанализ

Ф. И. учащегося________________________________________________

QR-коды

Диагностическая работа

1. Определите вид треугольника, если его стороны равны 4 см, 7 см и 9 см.

2. Стороны треугольника равны 8, и 14. Определите длину медианы, проведённой к наибольшей стороне треугольника.

3. Длина одной из сторон параллелограмма равна длине его диагонали и равна 7, длина второй диагонали равна 11. Найдите площадь параллелограмма.

Лист самоконтроля

1. Найди ошибку______

2. Установите соответствия______

3. Применение методов решения простейших задач______

4. Работа в группе______

5. Задача_______

6. Диагностическая работа_______