Разработка урока

Г(8)

Урок №21 Дата:25.11.2025

Тема: Подобные треугольники

При сравнении двух значений какой-то величины часто возникает вопрос:во сколько раз одно значение больше другого? или какую часть по отношению к другому оно составляет?

Например, во сколько раз заяц пробежит быстрее некоторое расстояние, чем это же расстояние проползёт улитка? Или какую часть всех деревьев леса составляют берёзы?

Вы знаете, что ответ в таких случаях дается в виде частного двух чисел, которое называют отношением. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Отношением отрезков   и   называется отношение их длин, т. е.   (или  ).

Отрезки   и   пропорциональны отрезкам  и  , если  .

Например, отрезки AB и A₁B₁ равны соответственно 3 сантиметра и 5 сантиметров; а отрезки CD и C₁D₁ – соответственно  сантиметра и 7,5  сантиметра.

;   .

Отрезки   и   пропорциональны отрезкам  и  .

Следует отметить, что понятие пропорциональности справедливо и для большего количества отрезков. Например, отрезки AB, CD и EF пропорциональны отрезкам A₁B₁; C₁D₁ и E₁F₁, если справедливо равенство:  .

На рисуноке

 Так, матрёшки имеют одинаковую форму, но разные размеры. То же самое можем сказать про футбольный и теннисный мячи, про одинаковые фотографии разных размеров.

В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными. Любые два квадрата и любые два круга являются подобными.

Какие два треугольника называют подобными? Возьмём два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых угол А равен углу A₁, угол B равен углу B₁, а угол C равен углу C₁.

Тогда стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ называются сходственными. И если эти сходственные стороны пропорциональны  , то треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются подобными.

Подобие треугольников обозначается следующим образом 

Сформулируем определение: подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия. Если стороны треугольника ABC в два раза больше сторон треугольника A₁B₁C₁, то отношение сходственных сторон равно 2, то есть коэффициент подобия равен 2.

Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств:

, т. е. 

Задача. Найдите отношение отрезков   и  , если их длины соответственно равны   см и   см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?

Решение.

 см  мм,

 см  мм.

.

Ответ:  ; не изменится.

Задача. Пропорциональны ли отрезки   и  , соответственно равные   см и   см, отрезкам   и  , соответственно равным   см и   см?

Решение.

; ; .

Ответ: пропорциональны.

Задача. В подобных треугольниках   и   стороны   и  ,   и   являются сходственными. Найдите стороны треугольника   , если   см,   см,   см, а отношение сторон   .

Решение.

     то есть       (см).

        (см).

     (см).

Ответ:   см,   см,   см.

Итак, на уроке мы узнали, что отношением отрезков   и   называется отношение их длин, т. е.   (или  ); что отрезки   и   пропорциональны отрезкам  и  , если  .

Также мы выяснили, что подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.