Разработка урока геометрии "Вычисление углов между прямыми и плоскостями"

Содержание урока

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.

2. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ.

1. Устные упражнения.

• Дано ,

Найти косинус угла между векторами , определить вид угла.

(ответ cos = угол между векторами тупой)

• Дано

Угол между векторами равен

Найти ∙

m, при котором вектора перпендикулярны

(ответ 5;3)

1. Устный опрос.

Повторяем теоретический материал. Фронтально работаем с классом.

- Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?

-Как находят координаты середины отрезка?

-Как находят длину вектора?

-Как находят расстояние между точками?

-Как вы понимаете выражение «угол между векторами»?

-Что называется скалярным произведением векторов?

-Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов?

-Чему равен скалярный квадрат вектора?

-Свойства скалярного произведения?

-Формула для нахождения косинуса угла между векторами из определения скалярного произведения векторов и через координаты векторов?(слайд 2,3)

1. ЗАДАЧИ ЕГЭ (базовый)

№ 27054 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

 27078  Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

№ 245359  Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA₁=3.

1. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.

Для вычисления угла между двумя прямыми удобно использовать скалярное произведение. Прежде рассмотреть задачи на вычисление углов введем понятие направляющего вектора.

Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий на прямой или на прямой параллельной данной.

Рассмотреть задачи 1 и 2, на нахождение угла между прямыми, между прямой и плоскостью. Можно класс разделить на две группы и предложить обучающимся разобрать решение самостоятельно. Затем более подготовленные учащиеся представляют решение данных задач на доске.

Задача 1. Найти угол между двумя прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых.(слайд 4)

Пусть даны две прямые  a и b, и их направляющие вектора   и  , заданные координатами, и . Найдем угол β между прямыми.

Возможны два случая:

1. Если угол φ между векторами острый, то угол φ равен углу β между прямыми. Тогда по формуле скалярного произведения векторов: Cos =

 (см. рис. 1).

Рис. 1. Острый угол между прямыми.

1. Если угол φ между векторами тупой, то угол между прямыми равен (180-φ),то есть

Cos =

(см. рис. 2).

Рис.2. Тупой угол между прямыми

 Можно объединить два случая  в  одной  формуле: Cos = , где – угол между прямыми, а вектора    и  , - их направляющие вектора.

Используя формулы для нахождения угла между векторами в координатах, можно записать cos =

Задача 2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.(слайд 5)

 Напомним, что углом между прямой и  плоскостью называется угол между прямой  и ее проекцией на эту плоскость.

  Пусть даны направляющий вектор   для прямой а и ненулевой вектор  , перпендикулярный к плоскости , заданные координатами, и . Если нам известен направляющий вектор   прямой a и вектор  , перпендикулярный плоскости α (см. рис. 3), то мы можем выразить угол между прямой и плоскостью через угол между данной прямой и прямой, перпендикулярной плоскости α

sin =cos( Cos =

 Рис. 3. Угол между прямой и плоскостью

1. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО.

Задача 1. (ЕГЭ)

Дан прямоугольный параллелепипед АВСД , ребра которого соответственно равны ДА=1, ДС=2, Д = 3. Найти угол между прямыми С и В.

Наметить ход решения задачи совместно, в результате фронтального опроса, затем один учащийся работает у доски, остальные в тетрадях.(слайд 6)

Ход решения задачи:

1.Ввести прямоугольную систему координат с центром в точке Д, определить координаты точек С,В, .

2.Расмотрим направляющие вектора для прямых С и В, найти их координаты.

3.По формуле найти косинус угла между направляющими векторами.

(ответ )

Задача 2. №464(а)

Работу по решению данной задачи провести в парах, предварительно составив вновь ход решения, фронтально работая с классом. При необходимости учитель оказывает индивидуальную консультацию, проверку провести с помощью слайда 7.

(ответ )

Задача 3. № 467(а)

Класс разделить на две группы. Решение провести двумя способами координатно-векторным методом, рассмотренным на уроке. Обычным способом, используя теорему косинусов, понятие угла между скрещивающимися прямыми, теорему Пифагора.

Обучающиеся работают в группах самостоятельно, при необходимости учитель консультирует, оказывает помощь. Затем решение каждой группы представляется на доске, проверяется и дополняется.(слайд 8,9)

№ 467(а). В прямоугольном параллелепипеде АВСД , АВ=ВС= А . Найти угол между ВД и С .

Решение

Первый способ: 1. Введем систему координат с центром в точке В.

2. Пусть единица измерения отрезков выбрана так, что А =2, тогда АВ=ВС=1.

3.Определим координаты точек В(0;0;0), Д(1;1;0), С(1;0;0), (1;1;2)

4.Определим координаты направляющих векторов прямых ВД и С , ,

5.Используя векторы и , находим косинус угла между прямыми ВД и .

6.cos = =

7.

Второй способ: 1. Угол между скрещивающимися прямыми ВД и С равен углу между прямыми ВД и В , так как С параллельно В , по определению угла между скрещивающимися прямыми.

2. В треугольнике ВД по теореме Пифагора находим В = ,

, ВД =

3. По теореме косинусов получим В cos , а тогда cos = , то есть

Ответ

1. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Решить самостоятельно по вариантам

Уровень А --- № 464(б,в).

Уровень В --- №467 (б)- координатным методом

Решение оформляется в тетрадях и сдается учителю на проверку.

1. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

Обучающимся следует прочитать дома п.52, № 464 (г), № 444 (4), №467 (б)- кто не выполнил в самостоятельной работе (двумя способами), кто выполнил методом координат, вторым способом.

1. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА

Какие понятия были введены на уроке? Как определить между прямыми? Какие вектора называются направляющими для прямой? Как определить угол между прямой и плоскостью? На чем основан вывод этих формул? В чем ход решения геометрической задачи координатным методом для нахождения углов между прямыми?

Итак, на примере решения сегодняшних задач мы убедились, что использование координатно-векторного метода значительно облегчает решение некоторых задач. А

наш урок я хочу закончить словами: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию» - Ян-Амос Каменский.