Разработка урока по геометрии в 8 классе: "Свойство биссектрисы угла"

Свойство биссектрисы

угла

Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам.

биссектриса

медиана

высота

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника .

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника .

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника .

Свойства точки, лежащей на биссектрисе угла

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Свойства точки, лежащей на биссектрисе угла

Обратная теорема. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Против равных катетов лежат равные углы.

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Теорема. Биссектриса неразвернутого угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.

Обратная теорема. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Задача1. Дан . биссектриса . Найти длину , если см, см.

Решение.

– прямоугольный.

(см).

.

Ответ: .

Замечательные точки треугольника

– это точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Следствие. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена

от его сторон.

Задача2. Биссектрисы и пересекаются в точке .

Найдите и , если .

Решение.

– биссектриса

Рассмотрим .

Следствие. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Сумма углов треугольника равна .

Ответ: .