Разработка урока по теме : "Реие нестандартных задач".

Муниципальное образовательное учреждение «МБОУСОШ №20 им.Н.Г.Чернышева Кавказский район,Краснодарский край»

Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся

«Портфолио»

Проектная работа

Выполнила:

Шульгина Дарья,

ученица 8А класса

Руководитель

Бондареко

Евгения Леонидовна,

учитель математики

2016

Решение нестандартных задач

• Какая же задача называется нестандартной? «нестандартные задачи – это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих их решение» (Фридман Л.Н. Как научиться решать задачи).
• Однако понятие «нестандартная задача» относительное. Одна и та же задача может быть и стандартной и нестандартной, в зависимости от того, знаком ученик с задачами такого типа или нет.

Таким образом, нестандартная задача – это задача, алгоритм решения которой учащемуся неизвестен. Для решения таких задач мы выделили 4 ступени:

• 1.изучение условия задачи
• 2.поиск плана решения
• 3. осуществление плана, т.е. оформление найденного решения
• 4.изучение полученного решения – критический анализ результата и отбор полезной информации.

Идея создания проекта:

просмотрев задания олимпиад за несколько прошлых лет, я поняла, что не могу их так сразу решить, но убедилась, что это задачи нестандартного типа. Я попытались классифицировать их и разбила на несколько групп.

Цель данного проекта: научиться решать олимпиадные задачи определённого типа

В связи с этим можно выделить следующие задачи проекта:

• составить подборку задач по теме: задачи на делимость многозначного числа на натуральное
• решить эти задачи различными способами
• использовать вспомогательные задачи
• попытаться научиться составлять вспомогательные задачи
• использовать метод полной индукции (метод перебора всех возможных случаев), метод неполной индукции (рассмотрение некоторых частных примеров) и решение в общем виде – дедукции
• закрепить признаки делимости

Я попытаюсь изложить материал так, чтобы он стал доступен и понятен и другим учащимся, для этого выступлю на элективных курсах, на конференции. В своём проекте я постараюсь показать ход действий, направление мысли при решении одной интересной задачи. Во что вылились наши поиски, исследования, вы и увидите в этом проекте

При просмотре олимпиадных заданий мы столкнулись с такой задачей:

* Дано многозначное число авс…. kxyz . Отделив от него трёхзначное число, образованное последними цифрами, получим два числа авс…. k и xyz . Доказать, что если разность полученных чисел делится на 7 (11, 13), то и данное число делится на 7 (11, 13)

Решить сразу эту задачу я не смогла,

тогда учительница предложила решить

вспомогательную задачу

• **В шестизначном числе 1-я цифра совпадает с 4-й, 2-я с 5-й, 3-я с 6-й. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13

Я не смогла найти подход к этой задаче, пришлось изучить некоторые основные понятия, условности, обозначения по этой теме, затем прорешать задачи повышенной сложности из учебника алгебры 7 класса

Основные понятия

• авс означает число, в котором а – сотни, в – десятки, с – единицы. Это число можно представить в виде многочлена: авс = 100* а + 10*в + с

Закрепим на примерах

1 .Представим в виде многочлена:

а) ху = 10х+у

б) ух = 10у+х

в) аов = 100а + 10о + в

г) авс d = 1000а + 100в + 10с + d

2.Представьте в виде многочлена и упростите его:

а) авс + сва = 100а + 10в + с + 100с + 10в + а = 101а + 20в + 101с

б) авс + вс = 100а + 10в + с + 10в + с = 100а +20в + 2с

в) авс – ва = 100а + 10в +с – 10в – а = 99а + с

г) авс – ас = 100а + 10в + с – 10а - с = 90а + 10в

3. Доказать что:

а) Сумма чисел ав + ва кратна сумме (а + в).

Представим в виде многочлена: 10а + в + 10в + а = 11а + 11в = 11(а+в) т.к один из множителей делится на (а+в), то и все произведение делится на (а+в)

б) Разность чисел ав – ва кратна 9

Представим в виде многочлена: ав – ва = 10а + в – 10в – а = 9а – 9в = 9(а-в) т.к один из множителей делится на 9, то и все произведение кратно 9.

Задача

Доказать, что если к двузначному числу прибавить число оканчивающееся теми же цифрами, но в обратном порядке, то полученная сумма будет кратна 11. Выполняется ли свойство для

трехзначных чисел?

РЕШЕНИЕ:

ав+ва = 10а + в + 10в + а = 11а+11в = 11 ( а+в) число кратно 11

Попробуем использовать этот же алгоритм для трехзначных чисел.

авс +сва = 100а +10в+с+100с+10в+а= 101а+20в+101с свойство не выполняется. Число не делится на 11

Вернёмся к вспомогательной задаче **

Обозначим 1ц – а, 2я – в, 3я – с , тогда число авсавс= 100000а + 10000в + 1000с + 100а + 10в + с =1000 ( 100а + 10в + с ) + авс = 1000авс + авс = 1001авс = 11*7*13 авс кратно 7,11,13

Вернёмся к первоначальной задаче *

авс…к - xyz = ?

Сначала я никак не могла расписать разность, но потом я поняла, что разность делится на 7 авс…к xyz = 1000 ( авс…к ) + xyz = 1000 авс…к + авс…к – авс…к + xyz = 1001 авс…к + ( xyz – авс…к) скобка уже делится на 7 , то и число 1001 тоже делится на 7, т.к каждое слагаемое делится на 7, то и вся сумма делится на 7 ( признак делимости суммы)

Теперь мы можем сами вывести признак делимости на 7,11,13

ГИПОТЕЗА!

Если разность между самим многозначным числом и числом, состоящим из 3х последних цифр, делится на 7,11,13, то и все число делится на 7,11,13

НАПРИМЕР: 235 123 Вычтем из самого числа меньшее число и разность разделим на 7

235 – 123 = 112 : 7 = 16

Проверим делится ли само число на 7. Число делится!

А, например, число 234123 не делится на 7.

(проверено на10 примерах)

Решив данную задачу, стало интересно, можно ли этот подход применить к другим подобным задачам, например таким:

Задача. Найти двузначное число, которое в 4 раза больше суммы его цифр

Решение: (1 способ) пусть само число ав = 10а + в, 0 а 9, 0 в 9

По условию задачи составим уравнение

10а + в = 4 ( а + в )

6а = 3в

2а = в

в этом уравнении нужно решать с помощью подбора , учитывая что а,в – цифры ( использовать метод полной индукции)

Если а = 1 то в = 2, т.е число = 12

а = 2 то в = 4 т.е число = 24

а = 3 то в = 6 т.е число = 36

а = 4 то в = 8 т.е число = 48

а = 5 то в = 10 такого быть не может т.к в не должно быть больше 9

ОТВЕТ: 12, 24,36,48

2 – ой способ

РЕШЕНИЕ: ав больше (а + в) в 4 раза

Возьмем например а = 1 ( 1 *10), в = 4

ав = 14

14 не больше 5 в 3 раза

Возьмем а = 1 ( 1 *10), в =3

ав = 13

13 не больше 4 в 4 раза

Возьмем а = 1 ( 1 *10), в = 2

ав = 12

12 больше 3 в 4 раза !

Так же можно взять числа 24, 36, 48

ЗАДАЧА

К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по 1. В результате получили число, в 23 раза больше первоначального. Найти это двузначное число.

РЕШЕНИЕ1: 1*ав*1=23*ав ав=10а+в

1000+10ав+1=23ав

1001=13ав

ав=77

Ответ:77

РЕШЕНИЕ (способ 2):

1ав1=23ав

Вместо в должно быть число 7 т.к 3*7= ( а 1ав1 заканчивается 1)

1а71=23 а7

1000+100а+10в+1=230а+23в

130а+13в=1001

130а+13*7=1001

130а=910

а=910/130

а=7 а - десятки, в – единицы ав=77

ответ:77

ЗАДАЧА

Если к задуманному числу справа приписать 0 и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число задумано?

РЕШЕНИЕ: 143 – хо=3*х

Если х - однозначное, то хо – двузначное число

143-10х-о=3х

143=13х

Х=11 ( задуманное число)

Если х – двузначное число, то хо – трехзначное

143-100х-о=3х

143=103х

Х=1 (приблизительно) (ВАРИАНТ не подходит)

Вспомогательные задачи ( придуманные мною)

1. К числу х приписали справа цифру 3, представить полученное число в виде суммы, если х а)двузначное число б)трёхзначное число

2. К числу у приписали слева цифру 7, представить полученное число в виде суммы, если у а)двузначное число б)трёхзначное число

Рефлексия

• Мне очень понравилось работать с этим типом задач ( разложение на множители в виде разрядных слагаемых). Эти задачи не просты в решении, поэтому к ним нужен особый подход. Может поэтому они мне очень понравились. Тем более эти задачи помогут при подготовке и проведении олимпиадных задач. В дальнейшем я хочу разобраться в решении задач со степенями

Литература

• Энциклопедический словарь юного математика/Составитель Э-68 А.П.Савин,-М., Педагогика,1989
• Алгебра, 7класс. Под редакцией С.А. Теляковского