Разработка урока «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ.»

(Раздел «Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.»)

Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения

Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11

Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика

Тема учебного занятия: Решение задач на вычисление вероятности события.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Вид урока: лекция-беседа

Средства обучения:

• технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;

• информационно-коммуникационные: электронная презентация.

Цели урока:

методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;

образовательная: создание условий для овладения знаниями о решении задач на вычисление вероятности события;

развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;

воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.

Прогнозируемые результаты:

1) предметные:

• сформированность знаний о решении задач на вычисление вероятности события;

• владение умением решать задачи на вычисление вероятности события;

2) метапредметные:

• регулятивные:

• умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

• умение рационально распределять рабочее время;

• умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

• владение навыками познавательной рефлексии;

• познавательные:

• умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;

• умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;

• умение структурировать полученную информацию;

• умение анализировать и обобщать информацию;

• коммуникативные:

• умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

• умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Образовательные технологии: традиционное обучение.

Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля:

• вербальные: беседа;

• практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.

• методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.

Нормативный документ

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.

Образовательные ресурсы:

Основная литература

1. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.

2. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.

Дополнительная литература

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.

2. Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.

4. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.

5. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.

6. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.

7. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.

Интернет-ресурсы:

1. Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru

2. Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru

Научно-методические ресурсы:

1. Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.

2. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.

3. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.

4. Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.

Основные термины и понятия: вероятность события.

Содержание учебного материала:

1) Сформированность знаний о решение задач на вычисление вероятности события.

2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.

1. Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

1. Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)

Преподаватель задает вопросы студентам:

1. Какие вы знаете методы вычисления вероятности события?

Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.

Формулирование темы и целей учебного занятия.

1. Работа над новой темой («открытие» нового знания) (48 мин)

Алгоритм работы над «открытием» нового знания:

1. Формулирование преподавателем определений вычисления вероятности события.

Определение предела последовательности

Всё, что происходит или не происходит в реальной действительности, называют явлениями, или событиями.

Раздел математики, называемый теорией вероятностей,  занимается исследованием закономерностей в массовых явлениях.

Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию (опыту), если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти.

Например, если испытание состоит в одном бросании игрального кубика, то в ходе этого испытания возможны следующие события (исходы испытания): на верхней грани кости окажется число 1, число 2... число 6.

Случайные события обычно обозначаются начальными буквами латинского алфавита: 𝐴, 𝐵, 𝐶 и др.

Событие называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие обязательно произойдёт.

Например, достоверным событием будет появление одного из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одном бросании игральной кости.

Событие называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие заведомо не произойдёт.

Например, невозможным событием является выпадение числа 7 при бросании обычного игрального кубика.

В результате некоторого испытания обязательно происходит одно из взаимоисключающих друг друга событий, причём каждое из них не разделяется на более простые. Такие события называют элементарными событиями (или элементарными исходными испытаниями).

Пример:

при бросании монеты существуют два элементарных события: появление орла и появление решки.

Рассмотренные в последнем примере события несовместны (появление одного из них исключает появление другого), единственно возможны (обязательно произойдёт одно из них) и равновозможны (у каждого из них шансы появиться равны).

1. Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. 𝑃(𝐴+𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).

События являются несовместными, или несовместимыми если появление одного из них исключает появление другого.

В ящике лежат 9 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 4 зелёных. Наугад берётся один шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной (не белый)?

Пример:

1 способ. Пусть событие 𝐴 — появление красного шара, событие 𝐵 — появление зелёного шара, тогда событие 𝐴+𝐵 — появление цветного шара. Очевидно, что 

.

Так как события 𝐴 и 𝐵 несовместны, к ним применима теорема сложения вероятностей:

.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.  .

Пример:

В ящике лежат 9 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 4 зелёных. Наугад берётся один шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной (не белый)?

2 способ. Пусть событие 𝐶 — появление белого шара, тогда противоположное ему событие   — появление не белого (цветного) шара. Очевидно, что  , а согласно следствию из теоремы имеем  .

Замечания

1) Теорема, аналогичная первой теореме, верна для любого конкретного числа событий, т. е.  , где   — попарно несовместные события.

2) Если   — все элементарные события некоторого испытания, то их совокупность называют полем событий. Очевидно, что эти события попарно несовместны, и  , где 𝑈 — достоверное событие.

.

Предположим, что из колоды в 36 карт извлекается одна карта и рассматриваются: событие 𝐴 — извлечена карта трефовой масти, событие 𝐵 — извлечена дама треф. Между событиями 𝐴 и 𝐵 очевидно наличие какой-то зависимости. Действительно, из 9 случаев, благоприятствующих событию 𝐴, событию 𝐵 благоприятствует один; поэтому при наступлении события 𝐴 вероятность события 𝐵 равна  . Но при отсутствии информации о наступлении события 𝐴 вероятность события 𝐵 оценивается как равная  . Так как  , то очевидно, что наступление события 𝐴 повышает шансы события 𝐵. 

События 𝐴 и 𝐵 называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие 𝐴 называется зависимым от события 𝐵, если вероятность события 𝐴 меняется в зависимости от того, произошло событие 𝐵 или нет.

Часто о независимости событий удаётся судить на основании того, как организован опыт, в котором они происходят. Независимые события появляются тогда, когда опыт состоит из нескольких независимых испытаний (как, например, было в рассмотренном опыте с бросанием двух игральных костей). Если независимость испытаний не очевидна, то независимость событий 𝐴 и 𝐵 проверяется с помощью формулы:

события 𝐴 и 𝐵 называют независимыми, если выполняется равенство 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵).

Пример:

рассмотрим опыт с бросанием двух игральных костей и исследуем два события: 𝐴 — на первой кости выпало 5 очков, 𝐵 — на второй кости выпало 5 очков. Выясним, будут ли события 𝐴 и 𝐵 независимыми.

Появление любого числа очков на первой кости (в частности, наступление события 𝐴) не влияет на событие 𝐵 и на его вероятность. И наоборот, наступление или не наступление события 𝐵 не влияет на вероятность события 𝐴. Таким образом,

  и  .

Событие 𝐴𝐵 состоит в совместном наступлении событий 𝐴 и 𝐵. Элементарные исходы испытания — это пары чисел, в которых на первом месте стоит число очков первой кости, на втором — число очков второй кости. Всего элементарных исходов испытания 𝑛=6⋅6=36. Среди них присутствует лишь одна пара (5 и 5 очков), благоприятствующая событию 𝐴𝐵, т. е. 𝑚=1. Таким образом,

, т. е. события 𝐴 и 𝐵 независимые.

1. Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)

Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:

1. Какая была тема сегодняшнего занятия?

2. Что нового вы узнали?

3. Какая была цель занятия?

4. Что получилось у вас сегодня?

5. Что не получилось?

6. Достигли ли мы поставленной цели?

7. Инструктирование о выполнении домашнего задания

Изучить [1] №1-3 с. 225