Реализация малого принципа двойственности в евклидовой плоскости the implementation of a small dualite principle in the euclidean plane

THE IMPLEMENTATION OF A SMALL DUALITE PRINCIPLE IN THE EUCLIDEAN PLANE

I.N. Stafeeva

Annotation: The implementation of a small duality principle is established. It allows to test the appropriate statements at the direct calculation level. This implementation is used for plotting of mapping smooth curves to a dual plane. It can be applied, for example, for solving some exam tasks in mathematics.

Обычное изложение малого принципа двойственности в проектной геометрии достаточно абстрактно [1], чтобы воспринималось студентами вполне осознанно. Предлагаю реализацию этого принципа в евклидовой плоскости в таком виде, что проверка соответствующих свойств доступна даже школьнику. Развитие построенного аппарата функционального соответствия прямых и точек исходной плоскости точками и прямыми двойственной плоскости соответственно, может служить средством решения некоторых задач ЕГЭ по математике, а также источником олимпиадных заданий (как для школьников, так и для студентов). В первую же очередь, конечно, данный материал служит для формирования интуиции студентов в области понимания и использования малого принципа двойственности.

Итак, пусть заданы две евклидовы плоскости и , которые будем называть исходной и двойственной плоскостями соответственно. Пусть в этих плоскостях выбраны и зафиксированы прямоугольные декартовы системы координат и соответственно. Пусть и множества прямых плоскостей и соответственно (straight Line). Аналогично и множества точек этих же плоскостей (Point).

Определим функциональное соответствие следующим образом, прямой и имеющей уравнение поставим в соответствии точку Это действительно функция, т.к. в фиксированной системе координат прямая имеет однозначно определяемое уравнение в форме с угловым коэффициентом. Областью определения данной функции является множество прямых, не параллельных оси (с точки зрения проективной геометрии все прямые параллельные это всего один пучок прямых из двумерного множества). Итак, символически:

(1)

Рассмотрим теперь на плоскости произвольную точку Она однозначно определяет пучок прямых с центром в этой точке, имеющий уравнение

, (2)
где k выступает как параметр. Выясним, что за множество точек плоскости соответствует прямым пучка (2) в функциональном соответствии Из (1) и (2) получаем параметрическое описание этого множества, из которого легко исключается параметр:

(3)

Из (2) и (3) следует, что отображение индуцирует отображение точек плоскости в прямые двойственной плоскости Символически это отображение может быть описано следующим образом:

Отображения (1) и (4) в совокупности и определяют аналитическое описание малого принципа двойственности. Все свойства и соотношения, характеризующие этот принцип, могут быть в данной ситуации проверены непосредственными вычислениями. Кроме того, для студентов, проявляющих интерес к современному состоянию математики, на данном примере можно сформировать начальные интуитивные представления о таких важных понятиях алгебраической геометрии, как: дивизор, группа Пикара, схема и т.п.

Не останавливаясь более на тех задачах, которые можно решать при рассмотрении свойств отображений (1) и (4), укажем еще на возможности этой пары отображений для рассмотрения в более привычной «евклидовой» ситуации понятий проективной геометрии.

Если рассмотреть отображения , отображающие по тем же законам объекты двойственной плоскости в исходную, то, например, композиция определит инволюцию в плоскости .

Рассмотрим ещё одно преобразование, определяемое рассмотренными отображениями. Кроме «чисто аналитического интереса» оно доставит «инструмент» решения задач из КИМов ЕГЭ. Пусть – кривая, являющаяся графиком гладкой (дифференцируемой) функции. Отобразим ее в двойственную плоскость на кривую следующим образом.
Точке поставим в соответствии точку двойственной плоскости, являющуюся образом в соответствии для касательной к кривой в данной точке. Зная уравнение касательной, легко получаем параметрические уравнения кривой

(5)

Если из уравнений (5) удастся исключить параметр то мы получим явное уравнение двойственной кривой.

Для студентов возможными дальнейшими пунктами исследования могут явиться формулы Плюккера [2], исследование пучков прямых второго (или более высокого) порядка. Если точке на кривой g ставить в соответствии прямую в двойственной плоскости (отображение с отмеченной точкой (касательной) то мы получим множество «пунктированных прямых», для которого будет огибающей, касающейся прямых этого семейства в отмеченных точках. Все эти свойства проверяются непосредственно и полезны при рассмотрении этого вопроса в курсе дифференциальных уравнений.

Теперь рассмотрим идею решения некоторых задач КИМов с помощью рассмотренного отображения кривых.

Задача: Заданы две функции (обычно в КИМах квадратичные). Записать уравнения общих касательных к ним.

Нужно отобразить обе кривые в двойственную плоскость и найти там точки пересечения их образов. По геометрическому смыслу точек двойственной кривой понятно, что полученные точки и будут образами общих касательных, откуда легко написать соответствующее уравнения.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть Найдем двойственные образы этих кривых, используя соотношения (5). Легко получаем: и, соответственно, Решив совместно систему уравнений, определяющих эти кривые, найдем пару точек (легко иллюстрируется и соответствующим чертежом – тренировка для учащихся в овладении методом графического решения систем уравнений) Таким образом, данная пара парабол имеет две общие касательные с уравнениями Построение исходных кривых и полученной пары прямых убеждает нас в правильности найденного решения.

Библиографический список

1. Вернер, А.Л. Геометрия [Текст]: в 2ч. Ч.2.: учеб. пособие для физ.-мат. Факультетов пед. институтов / А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. – СПб.: Специальная литература, 1997. -320с.

2. Semple, J.G. Introduction to algebraic Geometri/ J.G. Semple, L. Roth. – Oxford: University Press, 1949.