Реферат "Эварист Галуа и его открытия"

Эварист Галуа и его открытия.

Согласно легенде, молодой математик создал теорию групп за одну ночь — накануне дуэли, на которой он был смертельно ранен. Более тщательные исследования показывают, что разработка этих замечательных идей заняла у Галуа несколько больше времени.

Эварист Галуа родился 26 октября 1811 года, в городке Бур-ля-Рен, расположенный в десяти километрах от Парижа. Первым учителем Галуа была его мать, умная, хорошо образованная женщина, которая давала ему уроки, пока он не перестал быть ребенком.

В октябре 1823 года, в возрасте 12 лет, Галуа покинул родительский дом и поступил в Королевский коллеж Луи-ле-Гран (ныне лицей Луи-ле-Гран). Здесь-то среди новых товарищей он получил первые уроки в школе жизни. Галуа не был плохим учеником. В первые годы обучения он завоевал несколько наград по греческому и латыни и получил полдюжины хвалебных отзывов.

Большое дарование по математике обнаружилось у мальчика, когда ему было всего 15 лет. К этим годам он усвоил курс элементарной математики, изучаемый в средней школе, и с увлечением принялся за самые важные и трудные разделы высшей математики. Объектом изучения были ученые трактаты виднейших математиков того времени. Он изучал классические специальные работы Коши, Гаусса и многих других авторов. Математикой Галуа мог заниматься без конца, где угодно и как угодно и не только в часы досуга, но и тогда, когда выполнял другие работы.

Если "Геометрия" Лежандра явилась для Галуа учебником грамматики нового для него языка, то работы Лагранжа ("Решение численных уравнений", "Теория аналитических функций", "Лекции по теории функций") сыграли роль сборника упражнений. Несомненно, именно у Лагранжа Галуа впервые встретился с теорией уравнений, в которую в течение последующих четырёх лет он сделал фундаментальный вклад.

Эти углубленные занятия, разумеется, еще не могли выявить исключительности гения Галуа. Однако они придали ясность его мышлению и очень рано развили в нем необходимый для ученого дар предвидения, помогающий угадывать главные задачи науки, не задерживаясь на частностях.

В 1828—1829 годах на Галуа обрушивается череда несчастий: Галуа дважды, с разрывом в год, проваливает экзамен в Политехническую школу (École Polytechnique). В первый раз краткость решений и отсутствие пояснений на устном экзамене привели к тому, что Галуа не был принят. Через год на устном экзамене он оказался в той же ситуации и в отчаянии от непонимания экзаменатора швырнул в него тряпкой. Следующая неудача была в том, что одобренная Коши работа в двух частях, отправленная ему на рецензию, затем была утеряна Коши и не попала в Парижскую Академию на конкурс математических работ

В марте 1829 года, в возрасте 17 лет, когда Галуа был ещё студентом, вышла его первая статья. Она называлась «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях» и появилась в журнале Annales de mathématiques pures et appliquées, который издавал Жозеф Диаз Жергон.

Однако тема статьи была в стороне от главных научных интересов Галуа. В то время он уже обратился к теории алгебраических уравнений, которую начал изучать по трудам Лагранжа. В возрасте 17 лет Галуа взялся за одну из самых трудных в математике проблем, которая сто с лишним лет заводила учёных в тупик.

В 1829 году центральной проблемой теории уравнений был вопрос, при каких условиях алгебраическое уравнение можно разрешить. Точнее, каким должен быть метод решения уравнения с одним неизвестным x, все коэффициенты которого являются рациональными числами, причём член наивысшей степени равен xⁿ? Метод должен быть общим и применяться ко всем подобным уравнениям и должен включать лишь четыре элементарные операции (сложение, вычитание, умножение и деление) и операцию извлечения корня.

Свою первую статью в той области, которая в дальнейшем превратится в теорию групп, Галуа представил во Французскую академию наук 25 мая 1829 года, незадолго до окончания лицея.

Как гласит основная теорема алгебры, всякое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет n корней (т.е. всякий полином n-ой степени может быть разложен на n линейных множителей). Среди корней такого полинома могут встречаться как вещественные, так и попарно сопряженные комплексные числа.

Если решения (корни) уравнения можно получить из коэффициентов уравнения только при помощи этих операций, то говорят, что уравнение разрешимо в радикалах. Уже в древности было ясно, сколь важно научиться решать алгебраические уравнения, ибо к ним сводятся разнообразные проблемы естествознания, инженерии и практических вычислений. С линейными и квадратными уравнениями были знакомы уже в Двуречье, за две тысячи лет до н.э. В IX веке н.э. в сочинении Мухаммеда аль-Хорезми "Аль-джебр аль-мукабала" излагаются общие правила решения линейных и квадратных уравнений, которые фактически эквивалентны известным нам формулам в их современной записи. Разумеется, многим математикам приходила мысль найти аналогичные формулы для уравнения общего вида (т.е. степени n). Однако даже для кубического уравнения задача оказалась весьма непростой, и лишь в XVI веке итальянским математикам удалось добиться успеха и построить формулы для уравнений с n = 3 и n = 4. Затем, вплоть до начала XIX века, математики упорно искали методы разрешения в радикалах уравнений степени выше четвертой, однако на протяжении почти трех столетий проблема не поддавалась их усилиям. Истина открылась лишь тогда, когда этим вопросом занялись два юных гения - француз Эварист Галуа и норвежец Нильс Генрик Абель (1802 - 1829).

Решение уравнений было той проблемой, для которой Галуа создал теорию групп.

Когда Галуа начал свои исследования, в теории алгебраических уравнений было сделано уже много, но общей теории, охватывающей все возможные уравнения, ещё не было создано. Например, оставалось: 1) установить необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять уравнение для того, чтобы оно решалось в радикалах; 2) узнать вообще, к цепи каких более простых уравнений, хотя бы и не двучленных, может быть сведено решение заданного уравнения и, в частности, 3) выяснить, каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы уравнение сводилось к цепи квадратных уравнений (т. е. чтобы корни уравнения можно было построить геометрически с помощью циркуля и линейки). Все эти вопросы Галуа решил в своём "Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах", найденном в его бумагах после смерти и впервые опубликованном Ж. Лиувиллем в 1846. Для решения этих вопросов Галуа исследовал глубокие связи между свойствами уравнений и групп подстановок, введя ряд фундаментальных понятий теории групп. Своё условие разрешимости уравнения в радикалах Галуа формулировал в терминах теории групп.

Галуа ввёл три важнейших понятия, взаимосвязь которых позволила ему доказать, что нет общего метода решения уравнений пятой степени или выше в радикалах. Прежде всего Галуа отметил, что каждое уравнение можно связать с некоторой группой перестановок. Такая группа отражает свойства симметрии уравнения; теперь она именуется группой Галуа.

Роковое невезение продолжается. Галуа посылает Фурье для участия в конкурсе на приз Академии мемуар о своих открытиях — но спустя несколько дней Фурье неожиданно умирает, так и не успев им заняться. В оставшихся после его смерти бумагах рукопись не была обнаружена. Приз получает Абель. Всё же Галуа удаётся опубликовать 3 статьи с изложением основ своей теории. Статья, посланная Пуассону, отвергнута со следующей резолюцией: «Во всяком случае, мы сделали все от нас зависящее, чтобы понять доказательство г-на Галуа. Его рассуждения не обладают ни достаточной ясностью, ни достаточной полнотой для того, чтобы мы могли судить об их точности, поэтому мы не в состоянии дать о них представление в этом докладе.»

Когда Галуа заканчивал работу над теорией групп, в его жизнь ворвались политические события. В июле 1830 года республиканцы — противники восстановленной монархии вышли на улицы; Карл X был вынужден эмигрировать. В то время как революционно настроенные студенты Политехнического института активно участвовали в этих событиях, Галуа и его товарищей заперли внутри школы по приказу директора. Возмущённый Галуа пытался сбежать, но ему это не удалось, так что он остался в стороне от событий июльской революции.

Галуа продолжает участвовать в выступлениях республиканцев, ведёт себя вызывающе. Дважды был заключён в тюрьму Сент-Пелажи. Первый раз его арестовали 10 мая 1831 года. 15 июня в суде присяжных департамента Сены начался разбор дела. Благодаря стараниям адвоката Дюпона, Галуа был оправдан и без дальнейших проволочек отпущен на свободу. Второй раз Галуа просидел в Сент-Пелажи с 14 июля 1831 года до 16 марта 1832 года, когда его, заболевшего, перевели в больницу, помещавшуюся в доме № 86 по улице Лурсин. Есть сведения, что Галуа оставался здесь еще некоторое время после того, как 29 апреля кончился срок его заключения. Эта больница — его последнее известное место жительства.

Тюремное заключение сломило Галуа: он впадал то в ярость, то в уныние.

Самой большой неприятностью было то, что статьи, написанные Галуа в течение 1831 года, не напечатали. В исполненном горечи предисловии к тюремным запискам он утверждал: «Мне некого благодарить ни за совет, ни за поддержку. Благодарность была бы ложью».

В ночь накануне своей гибели Галуа не спал. Всю ночь напролёт, перед дуэлью, он лихорадочно делал наброски своего научного завещания, тщательно собирая по частицам сокровища своего ума; писал, стараясь всё успеть перед смертью, оставляя на пометках «У меня нет времени, у меня нет времени!»

В предрассветные часы 30 мая 1832 года необыкновенно одарённый двадцатилетний математик Эварист Галуа написал 2 письма: своим друзьям Лебону и Делонэ и Огюсту Шевалье.

своим друзьям Лебону и Делонэ:

«Меня вызвали на дуэль два патриота... Я не мог отказаться. Простите, что я не дал знать никому из вас. Противники взяли с меня честное слово, что я не предупрежу никого из патриотов.

Ваша задача очень проста: вам надо подтвердить, что я дрался против воли, т.е. после того, как были исчерпаны все средства мирно уладить дело, и что я не способен лгать даже в таком пустяке, как тот, о котором шла речь.

Не забывайте меня! Ведь судьба не дала мне прожить столько, чтобы мое имя узнала родина.

Умираю Вашим другом.

Э. Галуа».

В ту же ночь Галуа написал своему другу Огюсту Шевалье:

«Дорогой мой друг!

Я открыл в анализе кое-что новое. Некоторые из этих открытий касаются теории уравнений, другие - функций, определяемых интегралами.

В теории уравнений я исследовал, в каких случаях уравнения разрешаются в радикалах, что дало мне повод углубить эту теорию и описать все возможные преобразования уравнения, допустимые даже тогда, когда оно не решается в радикалах.

Из этого можно сделать три мемуара. Первый написан, и, после сделанных исправлений, я твердо убежден в его правильности, несмотря на то, что сказал о нем Пуассон.

Ты знаешь, дорогой мой Огюст, что я занимался исследованием не только этих вопросов. С некоторого времени я больше всего размышлял о приложении теории неопределенности к трансцендентному анализу.

Речь идет о том, чтобы предвидеть заранее, какие замены можно произвести в соотношении между трансцендентными величинами или функциями, т.е. какие величины можно подставить вместо данных, с тем, чтобы соотношение осталось в силе. Это заставляет признать невозможность многих выражений, которые иначе надо было бы исследовать. Но у меня нет времени, и мои представления в этой необъятной области еще не очень ясны.

Дай напечатать это письмо в "Ревю Энсиклопедик". За свою жизнь я не раз позволял себе высказывать предположения, в которых не был уверен. Но обо всем,что здесь написано, я думаю уже около года, и слишком уж в моих собственных интересах не ошибиться - ведь иначе меня заподозрят в том, что я указываю теоремы,полные доказательства которых мне неизвестны.

Обратись публично к Якоби и Гауссу и попроси их высказать свое мнение, но не о верности теорем, а об их значении.

Я надеюсь, что после этого найдутся люди, которые сочтут для себя полезным навести порядок во всей этой неразберихе.

Горячо обнимаю тебя. Э.Галуа"

Это письмо, ставшее программой для исследований математиков всего мира, было опубликовано после смерти Галуа.

Рано утром 30 мая около пруда Гласьер в Жантийи Галуа был смертельно ранен на дуэли, формально связанной с любовной интригой, хотя имеются также подозрения, что конфликт был спровоцирован роялистами. Противники стреляли друг в друга из пистолетов на расстоянии нескольких метров. Пуля попала Галуа в живот. Несколько часов спустя один из местных жителей случайно наткнулся на раненого и отвез его в больницу Кошен. Обстоятельства дуэли выяснить не удалось, неясно даже, с кем именно был поединок. В десять часов утра 31 мая 1832 года Галуа скончался. Похоронен 2 июня 1832 года на Монпарнасском кладбище. В ночь перед дуэлью Галуа подготовил новый вариант мемуара для Академии, где кратко изложил итоги своих исследований, и переслал его своему другу Огюсту Шевалье.

Полное признание и широкое распространение работы Галуа получили много лет спустя после его смерти и оказали огромное влияние не только на развитие алгебры, но и всей математики в целом.

На фасаде дома № 54 по Большой улице еще одна мемориальная доска: "Здесь родился Эварист Галуа, знаменитый французский математик, умерший в возрасте 20 лет, 1811-1832".

Научные достижения

За 20 лет жизни Галуа успел сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков XIX века. Решая задачи по теории алгебраических уравнений, он заложил основы современной алгебры, вышел на такие фундаментальные понятия, как группа (Галуа первым использовал этот термин, активно изучая симметрические группы) и поле (конечные поля носят название полей Галуа).

Галуа исследовал старую проблему, решение которой с XVI века не давалась лучшим математикам: найти общее решение уравнения произвольной степени, то есть выразить его корни через коэффициенты, используя только арифметические действия и радикалы.