Реферат на тему "ВОЗМОЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ"

ФБГОУ ВПО «Мордовский Государственный педагогический институт им. М.Е.Евсевьева»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

ВОЗМОЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

Выполнила: Н. Н. Казаева,

студентка 4 курса группы МДМ-116

Проверила: Кормилицына Т.В

кан. физ-мат. наук, доцент

Саранск 2019

Введение 3

Встроенные решатели MathCad. 5

Поиск нулей и функций и решение уравнений 6

Метод половинного деления 7

Решение систем линейных алгебраических уравнений 8

Решение систем нелинейных уравнений 13

Заключение 17

Список литературы 18

Математические и научно-технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ, написанных на языке высокого уровня, например Бейсике или Паскале. Сегодня эту работу нередко выполняет обычный пользователь ПК. Для этого он вынужден изучать языки программирования и многочисленные, подчас весьма тонкие капризные численные методы математических расчетов. Нередко при этом из под руки способного физика, химика или инженера выходят далёкие от совершенства программы.

Это не вполне нормальное положение может изменить к лучшему применение интегрированных программных систем автоматизации математических расчетов (Eureka, MathCAD, MatLab и др.). Рассматрим возможности и эволюция одной из таких систем - MathCAD.

MATHCAD - универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.

От других продуктов аналогичного назначения MATHCAD отличается ориентация на создание высококачественных документов (докладов, отчетов, статей) в режиме WYSIWYG (What You See Is What You Get). Это означает, что, внося изменения, пользователь немедленно видит их результаты и в любой момент может распечатать документ во всем блеске. Работа с пакетом за экраном компьютера практически совпадает с работой на бумаге с одной лишь разницей - она более эффективна. Преимущества MATHCAD состоит в том, что он не только позволяет провести необходимые расчеты, но и оформить свою работу с помощью графиков, рисунков, таблиц и математических формул. А эта часть работы является наиболее рутинной и мало творческой, к тому же она и время емкая и малоприятная.

MathCAD является интегрированной системой программирования, ориентированной на проведение математических и инженерно-технических расчетов.

Система MathCAD содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор.

Текстовый редактор - служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментарии и входящие в них математические выражения не выполняются. Текст может состоять из слов, математических выражений и формул, спецзнаков. Отличительная черта системы - использование общепринятой в математике символики (деление, умножение, квадратный корень).

Вычислитель - обеспечивает вычисление по сложным математических формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, определенный интеграл, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, проводить минимизацию функции, выполнять векторные и матричные операции и т.д. Легко можно менять разрядность чисел и погрешность интеграционных методов.

Графический процессор - служит для создания графиков. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями графических средств. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение размеров графиков, наложение их на текстовые надписи и перемещение их в любое место документа. MathCAD автоматически поддерживает работу с математическим процессором. Последний заметно повышает скорость расчетов и вывода графиков, что существенно в связи с тем, что MathCAD всегда работает в графическом режиме. Это связано с тем, что только в этом режиме можно формировать на экране специальные математические символы и одновременно применять их вместе с графиками и текстом. MathCAD поддерживает работу со многими типами принтеров, а так же с плоттерами.

MathCAD - система универсальная, т.е. она может использоваться в любой области науки и техники, везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе MathCAD на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, упрощает постановку и решение задач.

Многие задачи, решаемые с помощью математических пакетов, сводятся к решению уравнений - алгебраических, степенных, тригонометрических, к поиску значений неизвестных, превращающих эти уравнения в тождества строго или приближенно. Успех в решении подобных задач зависит не только от мощности соответствующих инструментов, встроенных в Mathcad, но и от знания пользователем их особенностей, нюансов, сильных и слабых сторон.

Инструменты решения аналитических уравнений и их систем в Mathcad собраны в трех "ящиках с инструментами" (toolbox):

• встроенные функции категории Решение уравнений в диалоговом окне Вставка функции;

• команды символьных преобразований из меню Символьные операции, в частности, команда Переменная | Решить.

• операторы символьных преобразований, в частности, оператор solve (решить для переменной) из панели инструментов Символьные;

Как следует из названий, два последних инструмента — это символьная математика, математика компьютерных аналитических преобразований. В первом же пункте отмечены встроенные функции, и некоторые из них имеют двоякую сущность — могут возвращать численный или символьный ответ в зависимости от того, каким оператором вывода их "потревожили" — оператором → (символьный вывод) или оператором = (численный вывод).

Для решения одиночных уравнений предназначены встроенные функции root (корень) и polyroots (корни полинома). Если быть точным, то функции root и polyroots, возвращают не корни уравнений, а нули функций. В случае, когда функции root и polyroots необходимо применить к поиску корня (корней) уравнения, то его следует преобразовать в функцию: перенести одну из частей уравнения в другую, поменяв его знак, и работать с "ненулевой" частью как с функцией. Например, уравнение a·x = b преобразуется в функцию f(x):=a·x – b

Функция root первоначально имела только два аргумента: первый из них — это анализируемая функция (в полном ее написании y(x), а не просто y), у которой ищется нуль, а второй отмечал аргумент (неизвестное), найденное значение которого делает функцию равной нулю. В двухаргументной функции root заложен метод секущих, требующий первого приближения. Вблизи которого определяется вторая опорная точка, равная значению первого приближения плюс значение встроенной (системной) переменной TOL, значение которой по умолчанию равно 0.0001, умноженной на значение первого приближения. Через эти две точки проводится секущая, пересечение которой с осью х дает очередное (третье) приближение. Итерации к корню (к

нулю функции) заканчиваются тогда, когда в очередном приближении значение функции будет отличаться от нуля менее чем на значение встроенной (системной) переменной TOL.

Метод половинного деления, заложенный в функцию root, требует, чтобы значения анализируемой функции в точках a и b имели противоположный знак. В этом случае,если анализируемая функция, конечно, непрерывна, на отрезке [a, b] будет находиться, как минимум, один нуль. В противном случае функция root будет возвращать сообщение об ошибке, призывающей пользователя изменить значения a и b. Если же на отрезке [a, b] окажется более одного корня (три, пять, семь и т. д. при, повторяю, непрерывности анализируемой функции), то функция root вернет один из них. Какой именно — изображено на рис. 3.10, где показан результат сканирования прямоугольной области [a, b] с помощью четырехаргументной функции root.

Примечание

Если нуль функции не найден, срабатывает оператор Mathcad on error, возвращающий значение своего первого операнда, если во втором операнде происходит сбой, зафиксировавший сообщение об ошибке.

Функцию root несложно приспособить и для решения обратных задач, когда необходимо найти значение аргумента функции по заданному значению самой функции (см. рис., где ищется диаметр шара объемом 30 куб. см).

Пусть уравнение имеет на отрезке единственный корень, причем функция на данном отрезке непрерывна.

Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая:

- функция меняет знак на отрезке ;

- функция меняет знак на отрезке .

Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Пример 1

Решение в пакете Mathcad методом половинного деления уравнения

1. Задание функции:

2. Построение графика функции.

3. Задание функции, реализующей метод половинного деления (Рисунок 1.3). Здесь аргументы функции: - имя функции, - левая и правая координаты концов отрезка; - точность вычисления корня.

4. Вычисление значения корня уравнения:

5. Проверка найденного значения корня:

Сначала поговорим о решении систем линейных алгебраических уравнений, которые в матричной форме записываются так: A∙X=B, где A — квадратная матрица коэффициентов при неизвестных (вектор X), а B — вектор свободных членов. Первоначально для решения такой системы в среде Mathcad был предназначен оператор A^–1∙B — произведение инвертированной (обратной) матрицы A на вектор свободных членов B. Затем (в версии 7 и выше) в Mathcad была введена функция lsolve.

Решение системы линейных алгебраических уравнений через произведение инвертированной матрицы коэффициентов при неизвестных на вектор свободных членов (А^–1∙В) и через функцию lsolve могут отличаться в том случае, если матрица А вырожденная (сингулярная), т. е. ее определитель равен нулю. В первом случае (А^–1∙В) решение сразу прерывается соответствующим сообщением об ошибке "singular matrix", а во втором — продолжается, если решение не просто есть, а их... бесчисленное множество. Такая вычислительная ситуация зафиксирована на рис., где показано решение системы уравнений с так называемой "телефонной" матрицей А, повторяющей кнопки на телефоне.

Система уравнений, коэффициенты при неизвестных и свободные члены которой вводятся в расчет первыми двумя операторами, показанными на рис., не может быть решена через произведение А^–1 на В, т. к. матрица А сингулярная (вырожденная). На рис. обратная матрица от матрицы A определялась с помощью численной, а не символьной математики Mathcad (оператор =, а не оператор →). Численную же математику по другому называют математикой приближенных вычислений, имея в виду, что она, как правило, дает не точные, а приближенные ответы. Приближенный ответ возможен и при инвертировании вырожденной матрицы, что может привести к неверному ответу при решении соответствующей системы линейных алгебраических уравнений.

В среде Mathcad только в 2000-й версии стало возможным избежать грубой ошибки, показанной на рис. В Mathcad был введен контроль за вырожденностью матрицы при работе и с численной математикой (сброшенный флажок использовать строгую проверку вырожденности матрицы).

Линейная алгебра в этом случае гласит, что у системы с вырожденной матрицей может либо не быть ни одного решения, либо существовать бесконечное множество решений ("впадание в крайности"), два из которых и найдены на рис (вторая и третья строки операторов, заканчивающихся проверкой решения А∙Х=исходный вектор свободных членов системы. На рис. показано, как средствами символьной математики можно найти это множество решений через уравнение линии.

Решение нашей системы с вырожденной матрицей коэффициентов при неизвестных (т. е. аналитическое (параметрическое) описание прямой линии, образованной пересечением трех плоскостей) можно получить проще, чем показано на рис. 3.17. Для этого нужно отказаться от инструментов, применяемых к линейным системам (функции lsolve и rref, см. рис. 3.17), а прибегнуть к универсальному оператору solve, предназначенному для аналитического решения уравнений общего вида (рис. 3.20).

Графическая интерпретация задачи сводится к тому, что три плоскости могут пересекаться либо в одной точке, либо в линии, либо вовсе не иметь общих точек пересечения (параллельность двух или трех плоскостей).

Функции lsolve и Find, как видно из рис. 3.17, дали два разных решения, лежащих в области z, y(z) и x(z). Второе отличие в работе этих функций заключается в том,что функция lsolve не требует первого приближения и всегда выдает один "только ей ведомый" ответ. Функция же Find требует первого приближения и дает ответ в зависимости от его значения. В задаче на рис 3.17 первое приближение для функции Find — это ответ, данный функцией lsolve. Несмотря на это (функцию Find "ткнули носом" в ответ, вернее, в один из ответов) функция Find дала новый результат. Ответ функции Find зависит не только от первого приближения и от прочих установок, но и от способа решения задачи, на которой она настроена.

Для решения системы нелинейных уравнений используются два блока: given…find() и given…minerr (). Так как система нелинейных уравнений может иметь несколько решений, то полученные результаты зависят от начальных значений искомых переменных. В обоих случаях получаются приближенные решения, для которых рекомендуется делать проверку. Обычно в Mathcad требуется, чтобы количество уравнений было равно количеству искомых переменных, но в некоторых случаях, когда с точки зрения классической математики может быть получено точное решение и при меньшем количестве уравнений, данное условие может быть нарушено. На листинге представлены примеры использования блоков given…find() и given…minerr () для решения систем нелинейных уравнений.

Пример 1

Пример 2

Решить систему двух нелинейных уравнений

методом Ньютона.

Решение

Рисунок 2.1 - Задание координатной сетки

1. Зададим координатную сетку и вычислим значения координат и в узлах сетки (рисунок 2.1).

Рисунок 2.2 - График функции и карта линий уровня

2. Построим график функции и карты линий уровня (рисунок 2.2) (на которых наглядно видно, что данная система имеет решение, и причем единственное) с использованием панели Graph (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 - Панель Graph

3. Точки пересечения линий одинакового уровня дают решение данной системы уравнений.

4. Зададим начальное приближение переменных:

Рисунок 2.4 - Вектор-функция, задающая систему уравнений

6. Зададим функцию (рисунок 2.5), реализующую метод Ньютона (функция возвращает таблицу, содержащую значения координат на каждом шаге итерации и соответствующие значения координат вектор-функции).

Запустив программу, получим итерационную последовательность, которая показывает, как находятся приближения. Здесь две первые строки - это значения и соответственно, а последние две строки - значения данных функций при найденных значениях и . В ноль функции обращаются на седьмом шаге. Значит, решением будет являться пара чисел и .

7. Проверяем решение системы нелинейных уравнений с помощью блока Given...Minerr (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 - Проверка численного решения при помощи встроенных функций пакета Mathcad

Ответ: .

Система Mathcad обладает широкими возможностями численного решения уравнений и систем уравнений.

Функция root, блоки Given…Find, Given…Minerr. В ходе численного решения обычно выделяют два этапа:

отделение корней – определение интервала нахождения каждого корня или определение приблизительного значения корня. В системе Mathcad наиболее наглядным будет отделение корней уравнения графическим способом;

уточнение корней – нахождение численного значения корня с указанной точностью.

1. Гурский, Д.А. Вычисления в MATCHCAD 12 / Д.А.Гурский, Е.С. Турбина. - СПб.: Питер, 2006. - 544с.

2. Поршнев, С.В. Численные методы на базе MATCHCAD /С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. - СПб.: БХВ-Питербург, 2005. - 464с.

3. Макаров, Е.Г. Инженерные расчёты в MATCHCAD 14 / Е.Г Макаров. -СПб.: Питер, 2007.- 592с.

4. Очков, В. Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов / В. Очков. - BHV.: - Спб, 2007. - 368с.

5. Шушкевич, Г. Компьютерные технологии в математике. Система Mathcad 14. Часть1 / Г. Шушкевич, С. Шушкевич. - Издательство Гревцова. 2010. - 288с.

6. Максфилд, Б. Mathcad в инженерных расчётах/Б. Максфилд.- Корона-век, 2012. - 368с.

7. Охорзин, В.А. Прикладная математика в системе Mathcad/ В.А.Охорзин.- Лань, 2009. - 352с.

8. Копчёнова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах/Н.В.Копчёнова, И.А.Марон. - М.: - Наука, 1972. - 368с.

9. Дьяконов, В. Mathcad 2000. Учебный курс / В. Дьяконов. - СПб.: Питер, 2001. - 592с.

10. Березин, И.С. Методы вычислений / И.С. Березин. Н.П. Жидков.-М.: - Наука,1966. - 632с.