Реферат «ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КУРСА МАТЕМАТИКИ»

Реферат

«ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КУРСА МАТЕМАТИКИ»

Выполнила: Бакланова Татьяна Николаевна

Сидоровка-2022

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ

Множества и операции над ними
Содержание учебного материала: Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Подмножество. Равные множества. Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера. Операции над множествами: пересечение, объединение, вычитание. Свойства пересечения и объединения множеств.  Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества   (классы). Разбиение множества на классы при помощи одного или нескольких свойств. Декартово умножение множеств. Изображение декартова произведения двух числовых множеств на координатной плоскости. Число элементов в объединении, разности и декартовом произведении конечных множеств.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между двумя множествами и изображение их при помощи кругов Эйлера.

2. Операции над множествами: пересечение, объединение, дополнение подмножеств, декартово умножение. Основные законы операций над множествами.

Математические понятия
Содержание учебного материала: Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями. Определение математического понятия. Виды определений. Структура определения через род и видовое отличие. Основные требования к таким определениям. Использование определения понятий при решении задач на распознавание. Остенсивные и контекстуальные определения.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Математические понятия, объём и содержание понятия. Определение понятия через род и видовое отличие.

Математические предложения
Содержание учебного материала: Высказывания и высказывательные формы (предикаты). Смысл слов «и», «или», «не», «если…,то…», «тогда и только тогда»  в составных высказываниях. Правила построения отрицания высказываний. Правила нахождения множеств истинности составных высказывательных форм.
Структура высказываний, содержащих кванторы. Способы установления значения истинности таких высказываний. Правила построения отрицания высказываний с кванторами. Отношения логического следования и равносильности между высказывательными формами. Необходимые и достаточные условия. Структура теорем. Виды теорем, связанных с данной.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Понятия высказывания и высказывательной формы (предиката). Смысл слов «и», «или», «не», «если…, то…», «тогда и только тогда» в составных высказываниях (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция).

2. Высказывания, содержащие слова «все», «каждый», «некоторые» и другие (кванторы). Построение отрицания таких высказываний.

Математические доказательства
Содержание учебного материала: Понятие умозаключения. Простейшие схемы дедуктивных умозаключений. Использование кругов Эйлера для проверки правильности умозаключений. Неполная индукция и аналогия. Сущность математического доказательства. Способы доказательства, используемые в математике.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Простейшие схемы правильных рассуждений.

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ

Отношения на множестве, соответствия, числовые функции
Содержание учебного материала: Понятие бинарного отношения на множестве. Способы задания отношений, их свойства. Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Отношение порядка. Понятие соответствия. Способы задания соответствий. Соответствие, обратное данному. Взаимно однозначные соответствия. Равномощные множества. Определение числовой функции. Способы задания функций. Возрастание и убывание функций. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики. Использование свойств прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых задач различными способами.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Понятие соответствия между двумя множествами. Взаимно однозначное соответствие. Определение равномощных множеств.

2. Отношения на множестве, способы их задания, свойства отношений.

3. Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Отношения порядка.

4. Понятие числовой функции. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики.

Выражения. Уравнения. Неравенства
Содержание учебного материала: Числовое выражение, его значение. Числовые равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств. Выражение с переменной (переменными). Область определения выражения. Тождественные преобразования выражений. Понятие тождества. Понятие уравнения с одной переменной и его решение. Теоремы о равносильности уравнений. Понятие неравенства с одной переменной и его решение. Теоремы о равносильности неравенств.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Понятие числового выражения и выражения с переменной. Тождественные преобразования выражений. Понятие тождества.

2. Понятие числового равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств.

3. Понятие уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений (с доказательством).

4. Понятие неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств (с доказательством).

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ  ЧИСЛА

Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и
действий над числами
Содержание учебного материала: Натуральное число как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Теоретико-множественный смысл числа «нуль». Смысл отношений «равно» и «меньше». Теоретико-множественный смысл суммы двух целых неотрицательных чисел. Законы действия сложения. Теоретико-множественный смысл разности двух целых неотрицательных чисел. Теорема о существовании разности. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, их теоретико-множественная интерпретация. Теоретико-множественный смысл произведения двух целых неотрицательных чисел. Переместительный и сочетательный законы действия умножения. Дистрибутивные (распределительные) законы умножения относительно сложения и вычитания. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и натурального. Теорема о существовании частного. Правила деления суммы на число и числа на произведение, их теоретико-множественная интерпретация. Невозможность деления на нуль. Теоретико-множественный смысл деления с остатком.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счёта элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.

2. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля. Определение отношений «равно» и «меньше» на множестве целых неотрицательных чисел.

3. Теоретико-множественный смысл суммы двух целых неотрицательных чисел. Законы сложения (с доказательством).

4. Теоретико-множественный смысл разности двух целых неотрицательных чисел. Определение разности через сумму. Условие существования разности на множестве целых неотрицательных чисел (с доказательством). Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

5. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел. Законы умножения (с доказательством). Определение произведения через сумму.

6. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа. Определение частного через произведение. Условие существования частного на множестве целых неотрицательных чисел (с доказательством).

7. Невозможность деления на нуль. Понятие деления с остатком. Правила деления суммы на число и произведения на число.

Натуральное число как мера величины
Содержание учебного материала:  Понятие аддитивной скалярной величины. Измерение величин. Смысл натурального числа как мера величины. Смысл действий сложения и вычитания натуральных чисел, полученных в результате измерения величин. Смысл действий умножения и деления натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Понятие скалярной положительной величины и её измерения. Правила выполнения действий с величинами.

2. Натуральное число как результат измерения величины. Смысл арифметических действий над натуральными числами – результатами измерения величин.

Система счисления. Запись чисел и алгоритмы действий над многозначными числами в десятичной системе счисления
Содержание учебного материала: История возникновения и развития способов записи целых неотрицательных чисел. Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись и название чисел в десятичной системе счисления. Сравнение чисел. Алгоритмы арифметических действий над многозначными числами в десятичной системе счисления. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной; запись чисел, арифметические действия, переход от записи чисел в одной системе счисления к записи в другой системе счисления.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Понятие позиционной системы счисления. Запись и чтение чисел в десятичной системе счисления. Сравнение чисел по их записи.

2. Алгоритмы сложения и вычитания многозначных чисел в десятичной системе счисления.

3. Алгоритмы умножения и деления многозначных чисел в десятичной системе счисления.

Делимость целых неотрицательных чисел
Содержание учебного материала: Понятие отношения делимости, его свойства. Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел. Признаки делимости на  2,3,4,5,9,25 в десятичной системе счисления. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное натуральных чисел. Признаки делимости на составные числа.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Понятие отношения делимости целых неотрицательных чисел. Теоремы о делимости суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел (с доказательством).

2. Признаки делимости на 2,3,4,5,9,25 в десятичной системе счисления    (с доказательством). Признаки делимости на составные числа.

Расширение понятия числа
Содержание учебного материала: Задача расширения понятия числа и пути её решения в математике. Понятие дроби и положительного рационального числа. Определение арифметических действий над положительными рациональными числами. Законы сложения и умножения. Свойства множества положительных рациональных чисел. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. Понятие положительного иррационального числа. Множество положительных действительных чисел, его основные свойства.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Понятие дроби и положительного рационального числа. Упорядоченность множества положительных рациональных чисел.

2. Определение арифметических действий над положительными рациональными числами. Законы сложения и умножения                                  (с доказательством).

ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ И ВЕЛИЧИНЫ

Геометрические величины
Содержание учебного материала: Длина отрезка и её измерение. Понятие площади фигуры и её измерения. Теорема о площади прямоугольника. Нахождение площади многоугольника. Равносоставленность. Теорема Бояи-Гервина (без доказательства).
Понятие площади криволинейной трапеции и её измерение. Площадь круга. Измерение площади фигуры при помощи палетки.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Понятие длины отрезка и её измерения. Свойства длин отрезков. Стандартные единицы длины.

2. Понятие площади фигуры (многоугольника) и её измерения. Измерение площади фигуры при помощи палетки. Теорема о площади прямоугольника.

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ДОЧИСЛОВОЙ
Содержание учебного материала: Методика обучения выделению предметов, обладающих указанными свойствами; сравнению предметов по их взаимному расположению, по размеру, цвету, форме. Обучение сравнению групп предметов через составление пар. Формирование пространственных представлений,  представлений о некоторых геометрических фигурах. Организация  деятельности учащихся в дочисловой период.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Методика обучения математике в дочисловой период.

МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА И ЧИСЛА НУЛЬ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ И ИЗУЧЕНИЕ НУМЕРАЦИИ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Изучение нумерации чисел в пределах десятка и числа 0.
Содержание учебного материала: Ознакомление учащихся с названием, последовательностью и обозначением чисел в пределах первого десятка. Обучение счету предметов. Ознакомление учащихся с количественным и порядковым значением числа, с использованием числа при измерении величин. Обучение записи чисел. Обучение сравнению чисел. Особенности ознакомления учащихся с числом и цифрой нуль. Развитие представлений учащихся о числе в ходе изучения действий над числами.

Изучение нумерации чисел в пределах сотни
Содержание учебного материала: Две ступени изучения нумерации чисел в пределах сотни. Ознакомление учащихся с последовательностью и образованием чисел второго десятка и чисел 21-100. Введений понятий десятка, разряда, разрядного числа, разрядных слагаемых, двузначного числа. Обучение замене числа суммой разрядных слагаемых. Развитие представлений учащихся о числе, ходе изучения действий над числами. Связь нумерации чисел с преобразованием величин.

Методика изучения нумерации чисел в пределах 1000
Содержание учебного материала: Особенности изучения нумерации чисел в пределах 1000. Чтение, запись и образование чисел в пределах 1000. Введение понятия трехзначного числа. Развитие представлений учащихся о числе в ходе изучения действий над числами. Связь нумерации чисел в пределах тысячи с измерением и преобразованием величин.

Ознакомление учащихся с нумерацией многозначных чисел
Содержание учебного материала: Две ступени в методике ознакомления учащихся с нумерацией многозначных чисел. Введение понятия класса. Обучение чтению, записи и образованию многозначных чисел. Расширение представлений учащихся о числе в ходе изучения действий над числами. Связь нумерации многозначных чисел с измерением и преобразованием величин.
Вопросы, выносимые на экзамен:

1. Методика изучения чисел первого десятка.

2. Методика обучения нумерации чисел в пределах сотни.

3. Изучение устной и письменной нумерации чисел в пределах тысячи. Изучение нумерации многозначных чисел.

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Изучение сложения и вычитания чисел первого десятка
Содержание учебного материала: Содержание учебного материала:  Конкретный смысл действия сложения и вычитания, ознакомление учащихся с этими действиями. Четыре этапа изучения сложения и вычитания в пределах десяти. Сложение и вычитание присчитыванием и отсчитыванием по одному, по группам. Изучение переместительного свойства сложения и случаев сложения, основанных на нем. Раскрытие связи между слагаемыми и суммой и изучение вычислительных приемов, основанных на этой связи.

Методика изучения и сложения и вычитания разрядных чисел
Содержание учебного материала: Замена единиц десятками и наоборот. Методические приемы, раскрывающие твердое усвоение сложения и вычитания разрядных чисел.

Изучение случаев сложения, основанных на свойстве
 прибавления числа к сумме
Содержание учебного материала: Ознакомление с различными способами прибавления числа к сумме. Распределительное свойство сложения. Методика изучения случаев сложения, основанных на этом свойстве. Особый случай вида 26+4. Формирование вычислительных навыков. Алгоритм вычислений.

Методика изучения случаев вычитания, основанных
на свойстве вычитания числа из суммы
Содержание учебного материала: Ознакомление с различными способами вычитания числа из суммы. Раскрытие методических приемов, позволяющих усвоить случаи вычитания, основанные на данном свойстве. Особый случай вида 60-3. Алгоритм вычислений. Формирование вычислительных навыков.

Изучение табличных случаев сложения и вычитания
 с переходом через десяток
Содержание учебного материала: Изучение свойств прибавления суммы к числу и вычитания суммы из числа. Методика изучения сложения и вычитания однозначных чисел с переходом через разряд. Роль наглядности в раскрытии вычислительных приемов. Алгоритм вычислений. Изучение таблицы сложения. Формирование вычислительных навыков.

Остальные случаи
Содержание учебного материала: Раскрытие вычислительных приемов, основных на знании ранее изученных свойств сложения и вычитания. Случаи вида 30+12; 49+7; 52-8; 46+12. Изучение свойства прибавления суммы к сумме. Алгоритмы вычислений.

Ознакомление с конкретным смыслом действия умножения
Содержание учебного материала: Ознакомление с умножением как суммой одинаковых слагаемых. Методика изучения.

Методика изучения конкретного смысла действия деления
Содержание учебного материала: Раскрытие конкретного смысла действия деления в процессе решения простых задач. Два вида деления: деление по содержанию и деление на равные части.

Методика работы над составлением таблиц умножения и деления
Содержание учебного материала:  Изучение переместительного свойства умножения. Методика ознакомления с взаимосвязью между компонентами и результатом действия умножения. Составление таблиц умножения. Составление таблиц деления.

Изучение внетабличных случаев умножения и деления
Содержание учебного материала: Ознакомление с умножением и делением чисел, оканчивающихся нулями. Изучение свойств умножения числа на сумму, суммы на число, деления суммы на число. Методика ознакомления с умножением двузначных чисел на однозначные, делением двузначного числа на однозначные, делением двузначного числа на двузначное. Проверка умножения и деления. Формирование вычислительных навыков.

Умножение и деление с числами 0, 1, 10
Содержание учебного материала: Ознакомление со случаями умножения и деления с числами 0, 1, 10. Формирование вычислительных навыков.

Методика изучения деления с остатком
Содержание учебного материала: Особенности деления с остатком. Раскрытие конкретного смысла деления с остатком. Отношение между делителем и остатком. Алгоритм рассуждения. Два метода выполнения деления с остатком: методом подбора делимого и методом подбора частного. Проверка деления с остатком.

Методика изучения устных приемов сложения и вычитания
 в пределах 1000
Содержание учебного материала: Сложение и вычитание  круглых сотен. Методика ознакомления. Изучение случаев сложения и вычитания в пределах 1000, основанных на правилах прибавления числа к сумме и вычитания числа из суммы. Ознакомление со случаями, где сложение выполняется на основе прибавления суммы к числу, а вычитание – на основе вычитания суммы из числа. Алгоритмы вычислений. Приемы рациональных вычислений. Формирование вычислительных навыков.

Ознакомление с письменными приемами сложения и вычитания
 в пределах 1000
Содержание учебного материала:   Ознакомление со свойством прибавления суммы к сумме, распространив его на сумму нескольких слагаемых, и вычитание суммы из суммы. Методика изучения письменного сложения и вычитания. Последовательность введения случаев письменных приемов сложения и вычитания. Алгоритмы вычислений. Формирование вычислительных навыков.

Методика изучения умножения и деления чисел в пределах 1000
Содержание учебного материала: Методика изучения умножения и деления круглых сотен на однозначное число. Ознакомление с умножением круглых десятков на однозначное число и соответствующими случаями деления. Алгоритмы вычислений. Формирование вычислительных навыков.

Сложение и вычитание многозначных чисел. Методика изучения
Содержание учебного материала: Методика ознакомления со сложением и вычитанием многозначных чисел. Алгоритм вычислений. Формирование вычислительных навыков. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах одного и двух наименований.

Ознакомление с умножением многозначных чисел
на однозначное число
Содержание учебного материала: Ознакомление со свойством  умножения суммы на число, распространение его на сумму нескольких слагаемых. Методика изучения письменного умножения многозначных чисел на однозначное число. Алгоритм письменного умножения. Частные случаи умножения. Формирование вычислительных навыков. Умножение величин, выраженных в единицах одного и двух наименований.

Методика изучения умножения многозначных чисел на 2, 3-значные разрядные числа
Содержание учебного материала: Изучение свойства умножения числа на произведение. Методика ознакомления с письменным умножением многозначных чисел на 2,3-значные разрядные числа. Частные случаи умножения. Формирование вычислительных навыков.

Умножение многозначных чисел на 2, 3-значные числа.
Методика изучения
Содержание учебного материала: Методика ознакомления с умножением многозначных чисел на 2,3-значные числа. Алгоритм вычислений. Формирование вычислительных навыков.

Ознакомление учащихся с частными случаями умножения
 многозначных чисел
Содержание учебного материала: Раскрытие случаев умножения многозначных чисел, когда нули имеются в первом множителе, в конце и в середине второго множителя. Умножение величин, выраженных в единицах двух наименований. Формирование вычислительных навыков.

Методика изучения деления многозначных чисел
 на однозначное число
Содержание учебного материала: Ознакомление со свойством деления суммы на число, распространенного на сумму нескольких слагаемых. Устные приемы деления многозначных чисел на однозначное число. Методика изучения письменного деления многозначных чисел на однозначное число. Алгоритм письменного деления. Сопоставление устных и письменных приемов деления многозначных чисел на однозначное число. Формирование вычислительных навыков. Частные случаи деления. Деление величин.

Деление многозначных чисел на 2, 3-значные разрядные числа
Содержание учебного материала: Изучение свойства деления числа на произведение. Методика ознакомления с устными и письменными приемами деления многозначных чисел на 2,3-значные разрядные числа. Формирование вычислительных навыков.

Методика изучения деления  многозначных чисел на 2, 3-значные
Содержание учебного материала: Ознакомление со случаями деления 3-значных числа, а затем 4,5,6-значных чисел на двузначное число, когда частное получают в результате одной пробы. Изучение случаев деления трехзначных числа, а затем 4,5,6-значных чисел на 2-значное число, когда пробные цифры частного находятся в результате нескольких проб. Методика работы с делением многозначных чисел на 3,4,5-значные числа. Частные случаи деления. Формирование вычислительных навыков.