Рекомендации по подготовке к выполнению задания №18 (задачи с параметром) ЕГЭ профильного уровня
Характеристика задания 18 ЕГЭ профильный уровень
Спецификация КИМ
35
минут
2.1. Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.
2.2. Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков ; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод .
2.3. Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы.
5.1. Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
Что можно ожидать в качестве задания 18 на экзамене?
Критерии проверки задания №18
Как правило критерии пишутся под определенную задачу. Содержание может быть следующим.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но
4
– или в ответ включены также и одно-два неверных значения (исключено одно-два верных значения);
С помощью верных рассуждений получен верный ответ для одной возможной в задаче ситуации
3
2
Задача сведена к исследованию:
– или решение недостаточно обосновано.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
1
– или взаимного расположения фигур на плоскости (прямых, окружностей и др.);
– или совокупности уравнений (неравенств) с параметром
0
Пример решения задания 18 из демоверсии ЕГЭ 2018 (профильный уровень)
1
Основу решения составляет теорема о касающихся окружностях.
Алгебраический метод
Как правило, к алгебраическим методам относят методы решения уравнений, неравенств и систем с параметром при всех допустимых значениях параметра, основанные на алгебраических преобразованиях (равносильные переходы, замены, использование необходимых и достаточных условий) и применении формул и приемов для решения простейших уравнений (линейных, дробно-рациональных, квадратичных, показательных, логарифмических, тригонометрических).
Алгебраический метод (теоремы о корнях квадратного трехчлена)
1 выполняется для любого значения х ? б) 4 x – ( a – 3 ) . 2 x +1 + 2 a + 2 не имеет решений? Ответ: а) 1 а б) – 1 ≤ а ≤ 7. 10 " width="640"
● 13.46. При каких значениях параметра а
неравенство:
а) 9 x – 4 ( a – 1 ) . 3 x + a 1 выполняется для
любого значения х ?
б) 4 x – ( a – 3 ) . 2 x +1 + 2 a + 2 не имеет
решений?
Ответ: а) 1 а
б) – 1 ≤ а ≤ 7.
10
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена
10
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена
10
Алгебраический метод
1 8
Решение аналогичного примера участником экзамена.
10
10
Функциональный метод
Функциональный метод решения уравнений и неравенств (в том числе и с параметрами) является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике.
Рассмотрение функционального метода в программе средней школы на базовом уровне носит эпизодический характер.
Наиболее часто используются следующие свойства функций:
- свойства ограниченности области определения или области значения функции (в частности, методы оценки и минимакса );
- свойства четности и нечетности входящих в уравнение или неравенство функций;
- кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций входящих в уравнение или неравенство (в частности, на этом основан метод рационализации );
- периодичность функций и др..
В отличие от графического метода, знание этих свойств функций позволяет находить точные корни уравнения без построения графиков функций .
10
ЕГЭ профильный уровень (кодификатор)
10
Классификация задач,
решаемых функциональными методами
1. К первому типу отнесем задачи, в условии которых непосредственно требуется исследовать свойства функции y = f ( x, a ) (область определения, монотонность и т.д.) в зависимости от значений параметра a , принимающего допустимые числовые значения.
2. Ко второму типу задач отнесем такие, в которых формулировки свойств функции в точке или на промежутке позволяют рассматривать параметр не только в формуле, но и при задании области существования функции. Например, исследовать на монотонность функцию на промежутке [ t ; t+ 2] при всех значениях t .
3. Третий тип задач связан с постановкой дополнительных условий на свойства функции (количество нулей функции, ограничение на наибольшее значение функции и т.д.).
4. Решение задач четвертого типа опирается на определение свойства функции (непрерывность, дифференцируемость, экстремум, …). Подобные задачи можно переформулировать и свести к уравнению, неравенству или системе уравнений (неравенств), для решения которых используют аналитический или функционально-графический способы (графическую интерпретацию).
Область значений функции
Полезно знать и уметь находить область значений функций на всей области определения и на отрезке.
1
2
3
4
5
Использование ограниченности функции Метод оценки (минимаксные задачи)
Идея метода минимаксов .
Иначе говоря, уравнение можно переписать в виде
min f ( x ) = max g ( x ) , то есть нужно найти такие значения чтобы они одновременно являлись точками минимума для функции и точками максимума для функции g ( x ) .
Поэтому подобные уравнения называют «минимаксными задачами».
Наиболее часто этот метод можно применить в случаях, когда функции, стоящие в левой и правой частях уравнения – разного типа (степенная и логарифмическая, степенная и тригонометрическая и т.д.)
Функциональный метод Метод оценки (минимаксные задачи)
Четность, нечетность функции
Функциональный метод ( монотонность функции)
Пример из пособия
О функционально-графическом методе решения задач с параметрами
В задачах (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств)
вида (1)
где символ заменяет один из знаков часто ставится вопрос исследовать (1) на: – наличие решений или их отсутствие, – единственность решения или наличие определенного количества решений, – наличие решений определенного типа и т.д.
Для решения подобных задачи можно применять графический метод решения ( метод наглядной графической интерпретации ), основанный на использовании графических образов, входящих в (1) выражений .
Графиком функции y = f ( x ), x ∈ D ( f ) называется множество всех точек координатной плоскости Oxy вида ( x, f ( x )), где x ∈ D ( f ) .
О функционально-графических методах решения задач с параметрами
Графический метод применительно к рассматриваемым задачам допускает несколько интерпретаций, имеющих общее название метод сечений . В зависимости от того, какая роль отводится параметру при решении задачи с параметрами с использованием этого метода можно выделить два основных графических приема.
- Построение графического образа на координатной плоскости Oxy .
В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду
- построение графического образа на координатной плоскости Ox a .
В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду
24
Часто используемые семейства функций
Рассмотрим часто встречающиеся в подобных задачах семейства функций или уравнения и их графики.
1. Семейство линейных функций графики которых - прямые, проходящие через точку и имеющие угловой коэффициент, равный (« пучок прямых » – так обычно называют это семейство графиков).
2. Семейство функций , графики которых получаются из графика параллельным переносом на вектор
(семейство « уголков »).
3. Семейство окружностей с центром в точке , радиуса .
При решении уравнения (неравенства) вида на плоскости
строятся график функции (назовем его « неподвижным ») и прямые параллельные оси Далее в соответствии с условием задачи исследуется расположение построенных графиков.
Соответствие формул и геометрических образов
ЕГЭ прошлых лет
Уравнение «пучка» прямых,
проходящих через точку (4; 2).
Плюсы и минусы графических методов в сравнении с аналитическими методами
Применение графических методов оправдано в случаях, когда в условии задачи ставится вопрос о количестве решений в зависимости от значений параметра или нахождения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно.
Плюсы графических методов :
- во-первых, построив графический образ, можно определить, как влияет на
них и, соответственно, на решение изменение параметра;
- во-вторых, иногда график дает возможность сформулировать аналитически необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи;
- в-третьих, ряд теорем позволяет на основании графической информации делать вполне строгие и обоснованные заключения о количестве решений, об их границах и т.д.
Минусы графических методов : при использовании графических методов возникает вопрос о строгости решения. Требования к строгости должны определяться здравым смыслом. Если результат, полученный графическим методом, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.
Геометрический метод
Требуется знание соответствия формул и геометрических образов, и величин ( формулы расстояний между точками на прямой и на плоскости ).
Геометрический метод
Метод областей
1 8
ЕГЭ 2017
На помощь приходит производная
1 8
Комбинированный метод
1 8
ЕГЭ 2016
Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)
18
Задание №18 (тренировочная работа)
18
Задание №18 (ЕГЭ 2018)
18
34
Решение задание №18 (ЕГЭ 2018)
34
Подготовительные задания 18
34
34
Ответы к подготовительным заданиям 18
34
Зачетные задания 18
34
34
Ответы к зачетным заданиям 18
34
Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)
18
18
18
18
34
Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)
18
18
18
34