Решение иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений

Подготовила: Иванова Елена Ивановна

Определение

Иррациональные выражения — выражения, содержащие знак корня или степень, выраженную дробью.

Примеры:

Для того, чтобы легко преобразовывать иррациональные выражения, важно знать:

• Свойства корней:

Для любого числа a справедливо равенство:

• Область допустимых значений для корней чётной степени: для
• Свойство: корень n-ной степени может быть представлен в виде степени .

Иррациональные уравнения — уравнения, содержащие иррациональные выражения с неизвестной. Проще говоря, в уравнении неизвестная x будет стоять под знаком корня.

Типы иррациональных уравнений, алгоритмы и примеры решения .

Первый тип иррациональных уравнений

• Простейшее иррациональное уравнение выглядит так: , где F(x) - выражение с переменной x, a — число.
• Решаем такое уравнение по следующему алгоритму:
• Обращаем внимание, корень какой степени представлен в уравнении: чётной или нечётной.
• Оцениваем ОДЗ (область допустимых значений): 𝐹(𝑥)≥0 для корней чётной степени и 𝑥∈𝑅x∈R для корней нечётной степени.
• Анализируем уравнение:

Второй тип иррациональных уравнений

где F(x) и G(x) — выражения с переменной x.

Выражение под квадратным корнем равно выражению без корня. Что делать в таком случае?

Оцениваем ОДЗ выражения справа: 𝐺(𝑥)≥0. Оценивать подкоренное выражение не нужно, ведь если 𝐺(𝑥)≥0, то .

Возводим обе части в квадрат и продолжаем решение уравнения.

Анализируем корни: входят ли они в промежуток допустимых значений.

Третий тип иррациональных уравнений

где F(x) и G(x) — выражения с переменной x.

Хотя тип уравнения отличается, действовать мы будем по уже известному алгоритму:

Оцениваем ОДЗ одного из выражений: 𝐺(𝑥)≥0 или 𝐹(𝑥)≥0(эти условия равносильны, поэтому выбираем то выражение, чьё ОДЗ легче оценить).

Возводим обе части в квадрат и продолжаем решение уравнения.

Анализируем корни: входят ли они в промежуток допустимых значений.

Четвёртый тип иррациональных уравнений

где F(x) и G(x) — выражения с переменной x, a — число.

Признайтесь, напугались? Да, неприятный тип, но не очень страшный.

Следуем алгоритму:

Оценим ОДЗ обоих подкоренных выражений:

Возведём обе части уравнения в квадрат и преобразуем, сводя к типу номер 2: F(x) = G(x).

Решим полученное уравнение.

Обобщим:

Порешаем: