Решение показательных уравнений и неравенств

Тема: “Решение показательных уравнений и неравенств”.

Цели урока

Обучающие:

• обобщение знаний и умений учащихся по применению методов решения показательных уравнений ;

• закрепление свойств показательной функции в процессе решения показательных неравенств;

• формирование заинтересованности учащихся в решении нестандартных показательных уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ.

Развивающие:

• развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа её решения;

• активизация познавательной деятельности посредством использования компьютерных технологий;

• развитие навыков самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.

Воспитательные:

• формирование умения работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы;

• воспитание внимательности, устремленности к самообразованию и самосовершенствованию;

• осознание учащимися социальной, практической и личной значимости учебного материала по изучаемой теме.

Оборудование:

1. Мультимедийная установка. На уроке используется презентация “Решение показательных уравнений, неравенств”:

• при повторении теоретического материала на экране высвечиваются повторяемые определения, график показательной функции;

• при самопроверке на экране появляются эталонные ответы на соответствующие задания.

2. На столах лежат буклеты для организации самостоятельной работы в виде исправления ошибок в решении, карта “Рефлексия”.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы и приёмы проведения урока: фронтальный опрос, индивидуальная работа, работа в парах, самостоятельная работа (тест), рефлексия.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Повторение теоретического материала.

3. Устный счет.

4. Решение показательных уравнений и неравенств из ЕГЭ.

5. Физкультминутка для глаз.

6. Найдите ошибку.

7. Решение усложненного задания ЕГЭ.

8. Закрепление знаний.

9. Домашнее задание.

10. Рефлексия.

Эпиграф к уроку: С.Коваль: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

I. Организационный момент

С древних времен на Руси, прощаясь и встречаясь, говорили «Будь здоров». Сейчас мы говорим «Здравствуйте», т.е. люди желают здоровья друг другу. Здравствуйте ребята и гости.

Мобилизирующий момент: Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь» Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.». «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз.. «Вот видишь, -сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…»Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

II. Повторение теоретического материала.

О какой функции идет речь:

– это функция  зависящая от показателя степени x, при некотором фиксированном значении основания степени a- Показательная функция 

Какую функцию называют показательной

Функция y=a^x монотонна на R и принимает все положительные значения.

Тогда, согласно теореме о корне, уравнение a^x=b имеет единственный корень.

Пусть b=a^t.

Уравнение примет вид a^x =a^t. из равенства степеней с одинаковыми основаниями получим x=t.

Примеры учащихся.

Решение показательных неравенств основано на свойстве показательной функции: при а1 функция y=a^x возрастает; при 0ay=a^x - убывает. Примеры учащихся.

III. Устный счет.

6 и -1- К; 4- А; -3- З; -1-Ч КАЗАЧКА

 В XVI в. русские акты вспоминают жен Азовских и Белгородских Казаков. Куда же девались девушки-Казачки, приходившие на свет в казaчьиx самьях и возраставшие, как полноправная женская часть казачьего обществе? Была ли нужда искать себе жен на стороне? Среди русских историков нашлись умники, намекавшие, будто бы Казаки уничтожили младенцев женского пола, а жен себе привозили из далеких походов и «ласковым .обращением с ними приолочивали их к совместному сожительству». Свирепые по отношению к собственным детям, они оказались ласковыми с пленницами. И это говорится о тех самых Казаках, которые избрали себе неизменной покровительницею Вечную Женственность, Пречистую Деву, которые заботу о вдовах и сиротах возвели в социальный институт раньше многих других народов. Легко создаются досужие фантазия, легко начинают им верить бездумные головы. Как, например, могли бойцы привозить себе жен из набега на Царьград, когда в морских походах почти всегда гибла половина чаек, когда борты уцелевших надо было отягощать остатками экипажей с погибших судов, а не размещать в них прекрасных ясырок. Водка и женщины были строго запрещены в походных колоннах. Надо было состоять в боевой готовности, а не «бабиться» и охранять своих будущих жен от поползновений товарищей.

Возможность браков с девушками иного рода отрицать нельзя. Они безусловно случались, но только в виде исключения, а не как общее правило. Казаки и на наших глазах упорно берегли свое племенное лицо и больше всего при помощи женщин, ревнивых хранительниц древних обычаев и чистоты крови. Всем известно, как Казачки гордились своим происхождением («Не боли болячка – я Казачка!»), как они избегали браков с иногородними, как недружелюбно принимали в станицах чужеродных казачьих жен, с каким предубеждением относились ко всякому чужинцу. Это отчетливо бросалось в глаза. В XVIII ст. А. И. Ригельман писал о Донцах: «Жены их лица круглого и румянного, глаза темные большие, собою плотные черноволосые, к чужестранным неприветливы».

Во время турецкой войны 1768—1774 годов отличился при атаке Силистрии, 25 ноября 1770 года был награждён орденом св. Георгия 4-й степени; в 1774—1782 годах состоял командиром Азовского департамента крепостей — своеобразного военно-инженерного округа, центром которого была построенная Крепость св. Димитрия Ростовского.
7 августа 1782 года вышел в отставку и в своём имении при селе Андреевка, Черниговского уезда, занялся историей Малороссии, материалы для которой собирал с 1760 года.

На Нижнем Дону именно женщины сохранили до наших дней остатки наречия Азовских Казаков, над которым непрочь посмеяться обруселые жители верховых округов и украинизированные Черноморцы, но в котором, как нигде, сохраняется тайна языка казачьих предков, Славян-степняков.

Всем известно также, какое большое значение имела женщина в казачьей семье как мать и хозяйка, как она умела посвятить себя семейной жизни и воспитать в подрастающем поколении любовь к родной земле, чувство национальной гордости, и кровной близости к единоплеменникам, чувство собственного достоинства, наряду с уважением к человеческой личности и к старшим. Свободная, в среде не знавшей рабства, крепостных господ, закрытых теремов ила гаремов, она сознательно, как полноправный член семьи отдавала, свои силы, а часто и кровь для ее благосостояния и благополучия. Девушка была свободна в личной жизни. Родителя не посягали на ее волю и не выдавали замуж помимо ее согласия. В случае неудачного брака, жена могла добиться поддержки общества и развода. Оберегая вдов и сирот от нищеты, обычное право позаботилось о них, установив специальный земельный надел, «вдовий и сиротский» пай. Обычай не разрешал Казачке идти в услужение к богачу. Прислужницами могли быть только пленницы. Женская прислуга и называлась у Казаков «ясырками».

На протяжении почти всей нашей истории тяжело складывалась жизнь Казачки на широком Старом Поле. Много страданий пришлось на долю матерей и жен. И не без основания воспел их святые слезы трогательный древний казачий сказ:

«Это случилось давно, братья соколы, еще в те времена, когда Казакам часто приходилось биться и гибнуть в степях и на синем море, когда души погибших реяли в туманах над речными мелями, когда горькие причитания по павшим неслись с каждого хутора, как шум воды на порогах.

Однажды, спустилась на землю. Пречистая Дева, наша Небесная Мати. Вместе со святым Николаем, в лучшей своей жемчужной короне, тихо скользила Она вдоль обширного казачьего края, внимая горькому плачу своих детей. И когда наступил знойный день, пересохли от жалости уста Ее и нечем было их освежить. Никто на хуторах не отвечал на их стук, никто не подходил к дверям и только громче еще раздавались за ними горькие рыдания.

Тогда подошли они к широкой реке. И только наклонилась к ее струям Пречистая Мати, как упала корона с Ее головы, упала и скрылась глубоко под водой. – Ах, сказала Она, пропали мои прекрасные жемчуга. Никогда больше не будет у меня таких красивых. Но когда возвратились они в свой Небесный Дом, то увидели на Ее золотом троне такие же сияющие зерна драгоценного жемчуга.

– Как же они попали сюда? — воскликнула Она, – ведь я их потеряла. Наверное, их нашли Казаки и передали для меня.

– Нет, .Матушка, – сказал Ей Сын, – это не жемчуг, а слезы казачьих матерей, Ангелы собрали их и принесли к Твоему престолу.

Вот почему в казачьей земле жемчуга и до сих пор связаны со слезами».

IV. Решение показательных уравнений и неравенств из ЕГЭ.

Приобретать знания - храбрость

Приумножать их – мудрость

А умело применять – великое искусство.

В следующем году ЕГЭ, поэтому нам надо тщательно к нему подготовиться. На данном этапе урока мы решим разноуровневые задания из ЕГЭ.

Решите уравнение:

1) 4^5+x=64^3x

Уравнение решается методом уравнивания оснований

4^5+X=4^3*3x

5+x=9x

8x=5

X=0,625

Ответ: х=0,625

2) 5^3х - 2 5^{3х -1} - 3 5^{3х – 2} = 60,

Уравнение решается методов вынесения общего множителя за скобки

5^3х (1-2 5 ^-1 - 3 5^{– 2} ) = 60,

5^3х = 60, разделим обе части уравнения на дробь , получаем

5^3х = 125,

3х =3,

х=1.

Ответ: х=1.

Решите неравенство:

1)

Решение:

Т.к. y=6^t – возрастающая, перейдем к равносильному неравенству:

x²+2x3

x²+2x-30

Ответ:

Решить неравенство:

2)  

Решение:

т. к. 0,75

2 + 4х ≤ 1 – 8х

12х ≤ - 1

х ≤ -1/12

V. Физкультминутка для глаз. Следить глазами за появлением показательных функций на экране глазами. Заодно повторить график показательных функций.

VI. Найдите ошибку:

,

Решение:

,

,

,

,

.

Решите неравенство:

,

Решение:

,

,

,

,

.

Правильное решение:

,

,

,

,

.

Решите неравенство:

,

Решение:

,

,

,

,

.

Критерии оценивания:

Нахождение всех ошибок и в уравнении и в неравенстве – «5»;

Нахождение ошибок в уравнении или в неравенстве – «4»;

Нахождение ошибки, но не до конца либо уравнении, либо в неравенстве – «3»;

Не нашел ошибки – «2».

VII. Решение более сложного задания ЕГЭ.

Решите уравнение

Возможная запись решения ученика.

, тогда

или

или

или

, то

т.к.

VIII. Закрепление знаний. Самостоятельная работа

IX. Домашнее задание:

1 уровень.

Вариант 1. Вариант 2.

№1 Решите уравнение: №1 Решите уравнение:

а) ; а)

б) 2 ^{х – 1} + 2 ^{х + 2}= 36. б) 5 ^х - 5 ^{х - 2}= 600.

№2. Решите неравенства: №2. Решите неравенства:

а) ; а) ;

б) 4^х – 2^х 2. б) 9^х – 3^х 6.

2 уровень.

Вариант 1. Вариант 2.

№1 Решите уравнение: №1 Решите уравнение:

а) ; а) ;

б) 3^х-1 + 3^х+ 3^{х +1} = 13 . б) б) 2^х+2 + 2^х+3+ 2^{х +4} = 7 .

№2. Решите неравенства: №2. Решите неравенства:

а) ; а) ;

б) 5^х + 5^1-х 6 . б) 4^1-х + 4^х 5.

3 уровень.

Вариант 1. Вариант 2.

№1 Решите уравнение: №1 Решите уравнение:

а) ; а) ;

б) 6^х + 6^{х +1} = 2^х + 2^{х +1} + 2^{х +2}. б) 3^{х - 1} + 3^х + 3^{х +1} = 12^х-1 + 12^х.

№2. Решите неравенства: №2. Решите неравенства:

а) ; а) ;

б) 4^{х +1} - 13 6^х + 9^х+1 б) 25^{х +0,5} - 7 10^х + 2^2х+1

Рефлексия урока. Отметить точкой на графике показательной функции уровень своих полученных знаний сегодня на уроке.

Итоги урока.  Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока «Решение уравнений - это золотой ключ, открывающий все сезамы». С. Коваль

Мне хотелось бы вам пожелать, чтобы каждый из вас нашел в жизни свой золотой ключик. С помощью которого перед вами открывались любые двери.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

На уроке рассматривались показательные уравнения и неравенства, которые можно решить разными способами и которые часто встречаются в заданиях ЕГЭ по математике . Класс, в котором проводился урок, характеризуется неустойчивостью внимания и слабыми знаниями. Отсюда вытекает необходимость в разнообразии видов деятельности и частая их сменяемость.

1. Повторение теоретического материала и устный счет направлены на включение в работу всего класса и актуализацию знаний, используемых при решении показательных уравнений. На этапе «Найдите ошибку» урока используется индивидуальная и парная работа, направленная на развитие навыков самоконтроля и взаимоконтроля, внимательности.

2. Урок разбивается на две части, примерно равные по объему, которые разделены физкультминуткой для отдыха и смены видов деятельности. В первой части решаются показательные уравнения и неравенства различной сложности из базового уровня ЕГЭ. Во второй части урока усвоенные знания проверяются с помощью задания «Найдите ошибку» и демонстрирования решение более сложного показательного уравнения. Закрепление данного материала производится путем включения онлайн тестирования «Решу ЕГЭ» Дмитрия Гущина.

3. На уроке использованы задания стандартного учебника (А. Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11»), И.В. Ященко «ЕГЭ 4000 задач с ответами по математике»,Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Кулабухова «»Повторение курса в формате ЕГЭ», А.Н. Руруин «Контрольно-измерительные материалы».

4. Домашнее задание состоит из трех уровней сложности, направленной на развитие познавательного интереса учащихся и творческого мышления.