Решение систем уравнений с двумя переменными второй степени

Тема: «Решение систем уравнений с двумя переменными второй степени. »

Цели и задачи урока:

• рассмотреть интересные способы решения систем уравнений с двумя переменными второй степени;

• продолжить работу по формированию у учащихся умений решать системы уравнений с двумя переменными различными способами;

1) образовательные: Сформировать умение решать системы уравнений с двумя переменными различными способами;

2) развивающие: формирование умений групповой деятельности, развивать навыки реализации теоретических знаний в практической деятельности; развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

3) воспитательные: воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы, формировать ответственность за конечный результат.

Тип урока: комплексное применение знаний, умений и навыков по данной теме.

Оборудование: проектор, экран, компьютер, доска, раздаточный материал.

Ход урока.

1. Организационный момент. ( на партах заранее лежат карточки с домашним заданием. Домашняя работа в парах - по две одинаковые системы на двоих)

Несколько уроков назад мы начали изучать системы уравнений второй степени. Впервые с системами, только линейных уравнений, мы столкнулись в том же 7 классе. Поэтому способы решения систем нам известны, осталось только выбрать нужный способ при решении той или иной системы. В этом году вам предстоит итоговая аттестация и хочу отметить ,что системам уделяется внимание не только в более сложной ,но и в простой части экзаменационной работы. На сегодняшнем уроке мы продолжим говорить о системах и способах их решения. Запишите число и тему урока. ( слайд )

1. Проверка домашнего задания. ( слайд )

№233 Ответ: ( -1; 1); (3; 9) №237(б) Ответ: решений нет

№234 Ответ: ( -3; 4); (3; 4); (-1;-4,9);(1;-4,9) 238(а) Ответ: решений нет

(обсуждаются + и – графического способа решения систем )

III. Актуализация знаний учащихся. Устные задания. ( слайд )

а) Определить степень уравнение:

xy-7y=5; x²-y=3; x²+5y²=0 ; ( x²-3)²+5x(x+1)=15; x²-3x⁵ +2=0.

б) Является ли пара чисел (1;-2) решением уравнения:

x²+y=-1; -xy-1=x; x(y-5)=-8 ?

в) Что представляет собой график уравнения:

(x-1)²+(y+3)²=9; xy=-5; y-x²=2; y=3x+1?

г) Что значит решить систему? Что является решением системы ?

IV. Изучение нового материала.

Один из методов решения систем уравнений второй степени – способ подстановки. Он наиболее эффективен, когда система составлена из одного уравнения I степени и одного уравнения II степени. Т.к. в системе присутствует уравнение второй степени нам могут понадобиться формулы сокращенного умножения.

В чем заключался алгоритм решения систем способом подстановки? ( слайд )

1. Выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую.

2. Подставить полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению второй степени с одной переменной.

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной.

4. Найти соответствующие значения второй переменной.

Продолжим изучение способа подстановки, решив следующую систему уравнений:(слайд)

У доски решается система учеником способом подстановки с объяснениями.

Эта же система решается другим учеником (после обсуждения) разложением на множители с помощью формул сокращенного умножения (происходит понижение степени системы). ( ответ : ( 2;-1) )

Решение систем, содержащих два уравнения с двумя переменными второй степени весьма трудная задача, но в некоторых случаях системы могут быть решены с помощью простых и изящных приемов. Открыть некоторые из них – это цель сегодняшнего урока.

Рассмотрим следующую систему:

Весь класс обсуждает, что систему можно решить графическим способом, построив окружность и гиперболу, замечаем ,что система может иметь 4, 2 решения или не иметь вообще, т.е. она симметрична. Это и есть плюс графического способа, что сразу видно как графики могут располагаться в координатной четверти. Сложность здесь заключается в том ,чтобы построить окружность радиуса . С этой проблемой тоже можно справиться,если в тетради построить прямоугольный треугольник на катетах равных 2 и 1 клеткам , тогда гипотенуза как раз будет равна .

Ученик показывает решение системы уравнений

Это было для него индивидуальное , домашнее задание.

Сложим почленно первое уравнение системы  сначала с уравнением 2ху=4,а затем с уравнением -2ху=-4. Получим систему: Данная система будет равносильна четырем системам линейных уравнений.