Решение тригонометрических уравнений

Открытый урок по теме

"Методы решения тригонометрических уравнений"

10-й класс

Учитель Музыкантова Е.К.

Цели урока:

• Образовательные : повторить, обобщить, систематизировать и углубить знания о методах решения тригонометрических уравнений.

• Развивающие: развивать умения учебно-познавательной деятельности, умения выделять главное, логически излагать мысли, делать выводы, расширять кругозор.

• Воспитательные: воспитание ответственности, активности, побуждению интереса к математике, самостоятельности, умение работать в коллективе.

Тип урока: урок повторения и обобщения.

Ход урока

1.Организационный момент 

Приветствие. План урока

Сегодня мы проводим урок-обобщение по теме  «Общие методы решения тригонометрических уравнений ».

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения разными способами.

Прежде мы вспомним основные формулы тригонометрии и их применение для упрощения выражений, виды тригонометрических уравнений.

Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения первого  и второго порядка, а также неоднородные  уравнения первого порядка. Проведём разно уровневую проверочную работу, задания которой вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания,  умения и навыки. Проверим решения, и вы выставите себе оценку.  

Затем  получите домашнее задание и подведем итоги урока. Итак, приступаем.

2. Актуализация опорных знаний

1. Устный опрос(фронтально):

а) Какие простейшие тригонометрические уравнения мы знаем?

sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a

б) Как решаем эти уравнения?

в) Повторяем определения:

Арксинусом числа а называется число b, b  [–  ;  ], sin b = a

Арккосинусом числа а называется число b, b  [0; ], cos b = a

arcsin(– a) = – arcsinа; arccos (–a) =  – arccosa

arctg(– a) = – arctga; arcctg(– a) =  – arcctga.

(Все ответы можно пояснить на тригонометрическом круге.)

2.Решить уравнения: (задания записаны на доске, ответы закрыты “шторкой”, в конце выполнения самопроверка, критерии оценивания с.р.: 0 – 3 задания – незачёт, 4–5 заданий – зачёт )

Ответы:

3. Основная часть урока 

Учитель: Назовите известные вам методы решения тригонометрических уравнений.

«Методом универсальной подстановки»;

«Методом разложения на множители»;

«Методом введения вспомогательного угла»;

«Методом вспомогательных неизвестных»;

«Методом оценки обеих частей уравнения»;

«Графический способ».

Решение упражнений на известные методы, по известным алгоритмам:

*Задания можно выводить на экран, у меня они были подготовлены на листах формата А3 и крепились к доске на магнитах. Каждое задание выполняется по одному ученику на доске, с объяснением. Первым двоим, не рядом сидящим, при правильном решении и оформлении ставится оценка.

Задание №1.

Решить уравнение  sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение,  вводят замену

sin х = z,  ,

решая квадратное уравнение

z² + 5 z - 6 = 0,

находят

z₁  = 1

z₂  = -6 (не удовлетворяет условию )

Решением уравнение

sin х = 1

х =  π/2  +2 π k, k  Z.

Ответ: π/2  +2 π k, k  Z.

 Продолжим решать тригонометрические уравнения, применяя нужный метод.

Задание №2

Решите уравнение  2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk,  k  Z

х = - arctg 1,5 + πk,  k    Z

Ответ: - arctg 1,5 + πk,  k    Z.

Задание №3

Решите  уравнение 2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0

Учащиеся решают уравнение

2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0

2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0  | : cos²х ≠ 0

2 tg ²x - 3 tg x - 5 = 0

замена    tg x = t

2 t² – 3 t – 5 =0

t₁  = -1;  t₂  = 2,5

Выполняем обратную замену и решаем уравнения

1) tg х = -1

х = -π/2 + πk , k    Z.

2) tg х = 2,5

х = arctg 2,5+ πn,  n   Z.

Ответ: -π/2 + πk , arctg 2,5+ πn,  n, k    Z.

4. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой результатов работы

Решите уравнения.

1. 2 cosx - √2 = 0 (1б)

2. tg2x +1 = 0 (2б)

3. 2cos2x – 3cosx +1 = 0 (3б)

4. 3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 0 (4б

5. Решение более сложных уравнений

а)

Построим график . Рассмотрим функцию . Если , то , тогда .

Если , то , тогда

Итак,

График этой функции имеет такой вид.

А теперь изобразим оба графика в одной системе координат.

Оба графика пересекаются в двух точках, которые симметричны относительно прямой . Понятно, что абсцисса точки пересечения принадлежит интервалу ,тогда , а .

Ответ: ; .

б)

Если то

Пусть , а , тогда

Итак,

Ответ: ; где .

6.Домашнее задание

Решите уравнения разными способами:

а)cos2x +3sinx=3;

б)2sin23x – 5sin3xcos3x + 3 cos23x=0;

в) sin3x+cos3x = 0.

7.Рефлексия

Что нового вы узнали на уроке?

Каким методом лучше решать тригонометрическое уравнение?

Какое у вас настроение после проведённого урока?

Что бы вы пожелали?

Понравился ли вам урок?