Решение уравнений и неравенств с модулями

Дата 30.03.2020

Тема урока: Уравнения и неравенства с модулями.

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся о модуле и его свойствах; выработать умения решать различные уравнения и неравенства, содержащие модуль, с помощью метода промежутков.

Ход урока

1. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Мы с вами начинаем изучать раздел «Метод промежутков для уравнений и неравенств». Откройте свои тетради и запишите сегодняшнее число и тему сегодняшнего урока.

Чтобы настроиться на продуктивную работу на уроке поработаем устно и вспомним решение уравнений и неравенств.

1. Решить уравнения:

а) 2х-5=0;

б) х²-2х+1=0;

в) (4х-16)(7х+)=0;

г) 2^х=8.

2. Решить неравенства:

а) х+5≥7; б) 2х-8≤0; в) (5х+15)(4х-8)0; г) 3^х

Надеюсь, что все успешно справились с устными заданиями. Для дальнейшего изучения темы сегодняшнего урока давайте вспомним определение модуля.

Например, , так как 7≥0, а , так как 15

Вспомним, как раньше мы решали уравнения с модулем.

Пример 1. Решить уравнение, используя определение модуля

Ответ: 1; 9.

Пример 2. Решить неравенство, используя определение модуля

Ответ: (-3; 3).

1. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Рассмотрим алгоритм решения уравнения, содержащего модуль, с помощью метода промежутков на конкретном примере. Уравнения могут иметь 1 корень, 2 корня и т.д., а могут не иметь вовсе.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение .

1 шаг. Найдем значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль:

2 шаг. Заданное уравнение рассматривается на всей числовой прямой (-∞; +∞), но, учитывая 1 шаг, то вся числовая прямая разбивается на 3 промежутка

Важно!!! Обратите, пожалуйста, внимание на скобки! Чтобы не нарушать непрерывность всей числовой прямой, то рассматривают именно такой порядок скобок.

3 шаг. Найдем решение на первом промежутке и раскроем на нем каждый модуль по определению. Для этого выберем из промежутка любое число, принадлежащее ему. Например, х= 10 .

Значит, используя определение модуля, на промежутке откроется со знаком «». Т.е. .

Аналогично, .

Тогда первоначальное уравнение перепишем в виде

Получив значение корня уравнения необходимо проверить, принадлежит ли он тому промежутку, на котором мы рассматривали уравнение. У нас не принадлежит , а значит, не является корнем исходного уравнения.

4 шаг. Найдем решение на первом промежутке и раскроем на нем каждый модуль по определению. Для этого выберем из промежутка любое число, принадлежащее ему. Например, х= 2,5 .

Значит, используя определение модуля, на промежутке откроется со знаком «». Т.е. .

Применяя аналогичные рассуждения, .

Тогда первоначальное уравнение перепишем в виде

Получив значение корня уравнения необходимо проверить, принадлежит ли он тому промежутку, на котором мы рассматривали уравнение. У нас не принадлежит , а значит, не является корнем исходного уравнения.

5 шаг. Найдем решение на первом промежутке и раскроем на нем каждый модуль по определению. Для этого выберем из промежутка любое число, принадлежащее ему. Например, х= 10 .

Значит, используя определение модуля, на промежутке откроется со знаком «+». Т.е. .

Аналогично, .

Тогда первоначальное уравнение перепишем в виде

Получив значение корня уравнения необходимо проверить, принадлежит ли он тому промежутку, на котором мы рассматривали уравнение. У нас не принадлежит , а значит, не является корнем исходного уравнения.

6 шаг. Ответ: решений нет.

Рассмотрим алгоритм решения неравенств, содержащих модуль, с помощью метода промежутков на конкретном примере. Но сначала рассмотрим равносильные переходы.

1 случай . Это неравенство равносильно совокупности систем неравенств:

2 случай . Это неравенство равносильно совокупности систем неравенств:

ПРИМЕР 4. Решим неравенство .

1 шаг. Найдем значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль:

2 шаг. Заданное уравнение рассматривается на всей числовой прямой (-∞; +∞), но, учитывая 1 шаг, то вся числовая прямая разбивается на 3 промежутка

3 шаг. Найдем решение на первом промежутке и раскроем на нем каждый модуль по определению. Для этого выберем из промежутка любое число, принадлежащее ему. Например, х= 0 . Используя определение модуля получим, что и .

Тогда первоначальное неравенство перепишем в виде

Учитывая, что мы находили решение неравенства на промежутке , получим ответ (-∞; -1).

4 шаг. Найдем решение на первом промежутке и раскроем на нем каждый модуль по определению. Для этого выберем из промежутка любое число, принадлежащее ему. Например, х= 3 . Используя определение модуля получим, что и .

Тогда первоначальное неравенство перепишем в виде

Числовое неравенство неверное, значит на само неравенство решений не имеет.

5 шаг. Найдем решение на первом промежутке и раскроем на нем каждый модуль по определению. Для этого выберем из промежутка любое число, принадлежащее ему. Например, х= 10 . Используя определение модуля получим, что и .

Тогда первоначальное неравенство перепишем в виде

Учитывая, что мы находили решение неравенства на промежутке , то получим ответ (7; +∞).

6 шаг. Необходимо записать общий ответ в виде объединения полученных на каждом шаге решений, т.е. .

Ответ: .

ЧТОБЫ РАЗОБРАТЬСЯ БОЛЕЕ ПОДРОБНО ПОСМОТРИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, ВИДЕОУРОК

https://vk.com/away.php?to=http%3A%2F%2F1tvcrimea.ru%2Fcontent%2Fdomashnee-zadanie-algebra-25032020&cc_key=

Для 11 класса видеоурок начинается на момент времени на видео 13:05.

1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Открываем учебники на странице 306 и выполняем письменно в рабочей тетради №12.1(а, в, г), 12.10(а, в).

1. Подведение итогов урока. Рефлексия

Домашнее задание:

№ 12.2(а) и 12.11(а) – обязательно для всех,

№ 12.13(а) – для учащихся, претендующих на отметки «4» и «5».