Решение уравнений с параметрами. Применение монотонности и ограниченности функции.

Решение уравнений с параметрами.

Применение монотонности и ограниченности функции.

1. Применение монотонности.

Теория.

Определения.

1. Функция у = f ( x ) называется возрастающей на интервале (а; в), если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. для любой пары таких, что справедливо неравенство f ( x₁ ) f ( x₂ ).

2. Функция у = f ( x ) называется убывающей на интервале (а; в), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. для любой пары таких, что справедливо неравенство f ( x₁ ) f ( x₂ ).

3. Функция у = f ( x ) называется монотонной на некотором интервале, если она на этом интервале или возрастает или убывает.

Необходимые условия возрастания (убывания) функции.

• Если дифференцируемая функция f ( x ) возрастает на интервале (а; в), то производная функции f ( x ) неотрицательна при х из интервала (а; в).

• Если дифференцируемая функция f ( x ) убывает на интервале (а; в), то производная функции f ( x ) неположительна при х из интервала (а; в).

Достаточное условие монотонности функции.

• Если производная функции f ( x ) положительна на интервале (а; в), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.

• Если производная функции f ( x ) отрицательна на интервале (а; в), то функция f ( x ) убывает на этом интервале.

Утверждения.

1. Если функция у = f ( x ) монотонна, то уравнение f ( x ) = А, где А – любое действительное число, имеет не более одного корня.

2. Если функция у = f ( x ) монотонно возрастает, а функция у = g (х) монотонно убывает, то уравнение f ( x ) = g (х) имеет не более одного корня.

Решение заданий.

1. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

не имеет корней.

Обратим внимание на то, что и левую и правую части уравнения описывает функция y(t) = t ³ + 3t. Функция возрастает на всей области определения, т. к.

у ^/ (t) = 3t ² + 3 0 при любом t. Значит, ( учитывая утверждение 1) каждое свое значение функция принимает только один раз. Т. е. y (t ₁ ) = y (t ₂ ) если t _{1 =} t ₂.

Переформулируем первоначальную постановку вопроса: найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 3х² = 2х – а не имеет корней. 3х² – 2х + а = 0 не имеет решений при отрицательном дискриминанте. Остаётся решить неравенство: 4 – 4 ∙ 3 ∙ а a 4, a .

Ответ: .

1. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение не имеет действительных решений.

Решение.

Обозначим g, тогда х² = 2g + 6x + 7a. Преобразуем данное уравнение:

4х – (2g + 6x + 7a) – а, = – 2g – 2x – 8a,

g + 2g = (x + 4a) + 2( – x – 4a), g + 2g = (– x – 4a) + 2( – x – 4a).

Обратим внимание на то, что и левую и правую части уравнения описывает функция y(t) = sin t + 2t. Функция возрастает на всей области определения, т. к.

y ^/ (t) = cos t + 2 0 при любом t. Т. е. y (t ₁ ) = y (t ₂ ) если t _{1 =} t ₂.

Переформулируем первоначальную постановку вопроса: найдите все значения а, при каждом из которых уравнение g = (– x – 4a) или (– x – 4a) не имеет действительных решений. Преобразуем полученное уравнение:

= – 2х – 8а, – 4х + а = 0, оно не имеет действительных корней при отрицательном дискриминанте. Остаётся решить неравенство: 16–4а 4.

Ответ: (4; +∞).

1. Определите, при каких значениях параметра а, уравнение

имеет ровно два решения.

Решение.

Обозначим = t 0 ( модуль не может равняться нулю, так как находится под знаком логарифма). Заметим, что при этом условии х принимает два различных значения. Переформулируем первоначальную постановку вопроса: определите, при каких значениях параметра a, уравнение t = a log₂ t имеет ровно одно решение.

1. Пусть а = 0, тогда уравнение t = 0∙ log₂ t корней не имеет.

2. Пусть а f(t) = t, а правую часть – функция g(t) = аlog₂ t. Причём функция f(t) является возрастающей на всей области определения, а функция g(t) при а утверждению 2, уравнение t = a log₂ t имеет ровно одно решение.

3. Пусть а 0, тогда левую часть уравнения описывае функция f(t) = t, а правую часть – функция g(t) = аlog₂ t. В данном случае, обе функции возрастают. Единственное решение уравнения будет при условии касания графиков функции. Т. е. Первое уравнение запишем как , а во втором уравнении к выражению применим формулу перехода к новому основаню, получим: Решая систему уравнений, получим t = e, a = e 0.

Ответ: a a = e

1. Применение ограниченности.

Теория.

Определения.

1. Функция f называется ограниченной на множестве Е, если найдётся такое число М 0, что для любого справедлива оценка

2. Функция f называется ограниченной сверху на множестве Е, если найдётся такое число М, что для любого справедлива оценка

3. Функция f называется ограниченной снизу на множестве Е, если найдётся такое число m, что для любого справедлива оценка

Утверждения.

1. Если функция ограничена сверху, причём max , а функция g(x)

ограничена снизу, причём min g(x) = A, то уравнение g(x) равносильно системе уравнений

1. Если функция ограничена сверху, причём max , а функция g(x)

ограничена снизу, причём min g(x) = A, то неравенство g(x) равносильно системе уравнений

Решение заданий.

1. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение = имеет хотя бы один корень.

Решение.

1. Рассмотрим квадратный трёхчлен, стоящий в правой части уравнения: =

2. Рассмотрим левую часть неравенства: Так как то ≤ .

3. Равенство правой и левой части достигается при условии: Переформулируем первоначальную постановку задания: найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет хотя бы один корень. Второе уравнение системы имеет единственное решение только a = 4. Первое уравнение 9 = имеет бесконечно много решений. Т. о. система имеет хотя бы один корень при единственном значении параметра а = 4, при других значениях параметра а система решений иметь не будет.

Ответ: 4.

2. При каком значении параметра a уравнение имеет хотя бы один корень

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде:

.

1. Рассмотрим функцию  и её поведение слева и справа от точки х = 2.

Если х

или

в обоих случаях угловые коэффициенты положительны, значит, при х возрастает.

Если х 2, то при раскрытии модуля, возможны два случая:

или

в обоих случаях угловые коэффициенты отрицательны, значит, при х 2 функция убывает.

Таким образом, в точке х = 2 функция f(x) принимает наибольшее значение.

1. Рассмотрим функцию g(x)= . Своё наименьшее значение функция принимает при наименьшем возможном значение показателя степени числа 7. Квадратный трёхчлен = (х – 2)² + 2 принимает наименьшее значение при х = 2.

Т. к. g(x), то единственным корнем уравнения будет число 2. Остаётся узнать при каком значении а это выполнимо.

,

a = - 7 или a = 7.

Ответ: -7; 7.