Решение уравнений с параметром.
-
Линейное уравнение с параметром.
Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.
Пример 1.
-
Если
, то
х – любое действительное число
-
Если
, то
Ответ: при
; при
Пример 2.
-
Если
, то
х – любое действительное число
-
Если
, то
Ответ: при
; при
Пример 3.
-
Если
т.е.
, то
уравнение корней не имеет
-
Если
, т.е.
, то
Ответ: при
корней нет; при
Пример 4.
-
Если
, то
х – любое действительное число
-
Если
, то
Корней нет
-
Если
, то
(единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.
Ответ: при
; при
корней нет; при
Примеры для самостоятельной работы:
Решить уравнение с параметром:
-
Квадратное уравнение с параметром.
Пример 1.
-
Если
, то
-
Если
, то решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
Если
, то
и уравнение не имеет действительных корней.
Если
, то
и уравнение имеет единственный корень:
Если
, то
и уравнение имеет два корня:
Ответ: при
; при
корней нет,
,
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
имеет 2 различных отрицательных корня?
-
Если
, то
Т.е. уравнение имеет 2 корня: положительный и отрицательный, что противоречит заданию.
-
Если
, то уравнение имеет два корня, при
. Находим дискриминант.
Так как
, то
В этом случае уравнение имеет 2 два корня. Воспользуемся теоремой Виета.
Так как по условию задачи
, то
В результате:
Значит, уравнение имеет два различных отрицательных корня при
Ответ:
Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.
-
Если
, то
и уравнение корней не имеет.
-
Если
, то уравнение имеет корни при
.
Находим дискриминант:
Так как
, то
Ответ:
Вопросы для закрепления:
-
При каком значении а уравнение
имеет один корень?
-
При каком значении а уравнение
имеет один корень?
-
При каких значениях а уравнение
имеет более двух корней?
-
При каких значениях а уравнение
имеет хотя бы один общий корень с уравнением
?
-
При каких значениях а уравнения
имеют хотя бы один общий корень?
-
При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения
равно 0?
-
При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения:
равна 0?
-
В уравнении
сумма квадратов корней равна 16. Найдите а.
-
При каком значении параметра т сумма квадратов корней уравнения
наименьшая?
-
При каком значении параметра т сумма квадратов корней уравнения
наибольшая?
-
Найдите сумму квадратов всех корней уравнения
-
При каких значениях р и q корни уравнения
равны
и
?
-
При каких значениях параметра а один из корней квадратного уравнения
в два раза больше другого?
-
Известно, что корни уравнения
на 1 меньше корней уравнения
. Найдите а и корни каждого уравнения.
-
Известно, что корни уравнения
равны соответственно квадратам корней уравнения
. Найти a, b и корни каждого уравнения.
-
При каких значениях параметра с уравнение
:
-
имеет различные действительные корни;
-
имеет один корень;
-
не имеет действительных корней;
-
имеет хотя бы один общий корень с уравнением
.
-
При каких значениях параметра b уравнение
:
-
имеет один из корней, равный 3;
-
имеет различные действительные корни;
-
имеет один корень;
-
не имеет действительных корней.
-
При каких значениях параметра b корни уравнения
равны по модулю?
-
Найдите наибольшее целое значение k, при котором уравнение
не имеет действительных корней.
-
Найдите наименьшее целое значение а, при котором уравнение
имеет два различных действительных корня.
-
При каком значении а уравнение
имеет один корень?
-
При каком значении а уравнение
имеет один корень
-
При каких значениях а уравнение
имеет более двух корней?
-
При каких значениях а уравнения
и
равносильны?
-
Докажите, что корни уравнения
, где p и q – нечётные числа, иррациональны.
Примеры для самостоятельной работы
-
Решить уравнения с параметром:
=0 имеет два различных действительных корня.
)=0 имеет более двух корней?
3