Курсы для учителей от 800 ₽ (72 часа). Документы об окончании по почте БЕСПЛАТНО, комфортное обучение из дома

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до 22.05.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 14.05.2025 03:59

Иванова Саргылана Семеновна

Учитель математики

49 лет

2 335

25 800

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Покровск

Специализация

Математика

Классному руководителю

Алгебра

Геометрия

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

Категория: Математика

17.11.2018 14:37

Просмотр содержимого документа
«Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля»

МБОУ покровская средняя общеобразовательная школа № 1 с УИОП Иванова Саргылана Семеновна учитель математики МБОУ «ПСОШ № 1 с УИОП» Стаж работы: 15 лет Категория: высокая

решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля

способы решения уравнений

ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с модулем, рекомендациями к решению, алгоритмирование процесса решения уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

ВВЕДЕНИЕ

Решение уравнений.

1.1.Определение модуля. Решение по определению

1.2. Решение уравнений по правилам

1.3. Задачи с несколькими модулями. Последовательное и параллельное раскрытие модулей

1.4. Метод интервалов в задачах с модулями

1.5. Вложенные модули

1.6. Модули и квадраты

1.7. Модули неотрицательных выражений

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Решение уравнений по правилам

1-е правило: | f ( x )| = g ( x ) 

2-е правило: | f ( x )| = g ( x ) 

2 способ:

1 способ:

Пример. Решить уравнение | x 2 – 7 x + 11| = x + 1. Решение. Избавимся от модуля двумя описанными выше способами:

Как видим, в обоих случаях приходится решать те же самые два квадратных уравнения , но в первом случае их сопровождают квадратные неравенства , а во втором – линейное. Поэтому второй способ для данного уравнения проще. Решая квадратные уравнения, находим корни первого , оба корня удовлетворяют неравенству . Дискриминант второго уравнения отрицателен, следовательно, уравнение корней не имеет.

Ответ : .

Способ освобождения от модуля –

замена переменной

Пример . Решить уравнение:

Решение. Заметим, что , тогда уравнение примет вид:

Пусть , тогда решим квадратное уравнение:

Его корни , условию удовлетворяет первый корень.

Возвращаясь к переменной х , получаем уравнение

решая которое находим:

Ответ : .

Задачи с несколькими модулями.

Два основных подхода к решению.

«последовательное»

раскрытие модулей

«параллельное» раскрытие модулей

Сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства) и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей.

Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. При снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. Эти области определяются знаками выражений под модулями.

Пример . Решить уравнение:

Решение.

Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом , то есть просто определением абсолютной величины :

К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля:

Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам :

Ответ: -1;

Пример . Решить уравнение:

Решение.

Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями.

Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению.

Ответ: -1;

Метод интервалов в задачах с модулями.

Пусть имеется уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений; например: | x – a | + | x – b | + | x – c | = m .

Первый модуль равен x – a при x ³ a и a – x при x a . Второй равен x – b или b – x при x ³ b и x b соответственно. Аналогично раскрывается и третий модуль. Нарисуем эти области и возьмем их пересечения.

В частности , если все выражения под модулями рациональны, то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства.

Пример . Решить уравнение:

Решение.

Найдем нули функции x+2=0 или x+3=0 , откуда x=-2 , x=-3 . Рассмотрим 3 возможных набора знаков выражений под модулями.

Решаем задачу на каждом интервале:

Ответ:

Итак, данное уравнение не имеет решений.

Вложенные модули

Последовательное раскрытие модулей наиболее эффективно в "задачах-матрешках", где внутри одного модуля находится другой, а то и несколько.

Пример . Решить уравнение:

Решение.

Освободимся от внешнего модуля, получим:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как модуль всегда положителен, а первое уравнение

равносильно совокупности:

Ответ: 0; 2.

Модули неотрицательных выражений.

Пример 1 . Решить уравнение:

Решение.

Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаком второго, третьего и т.д. модулей положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим

Ответ: 0

Пример 2 . Решить уравнение:

Решение.

Воспользуемся тождеством , и получим уравнение , решая которое методом интервалов получим ответ

Ответ:

В процессе работы над темой «Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» :

Изучили литературу по данному вопросу. Познакомились с алгебраическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие.
Изучили литературу по данному вопросу.
Познакомились с алгебраическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.
Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие.

и пришли к выводу:

В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам.