Решение задач по теме Теория вероятности

Решение задач по теме «Теория вероятности»

Артеева Елена Сергеевна,

учитель математики,

МБОУ «СОШ №10»,

г. Инта

2019г.

Задачи по теме «Теория вероятности»

Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

Ответ: 0,65.

Ре­ше­ние.

1 способ.

Пусть со­бы­тие А со­сто­ит в том, что яйцо имеет выс­шую ка­те­го­рию, со­бы­тия В 1 и В 2 со­сто­ят в том, что яйцо про­из­ве­де­но в пер­вом и вто­ром хо­зяй­ствах со­от­вет­ствен­но. Тогда со­бы­тия  и  — со­бы­тия, со­сто­я­щие в том, что яйцо выс­шей ка­те­го­рии про­из­ве­де­но в пер­вом и вто­ром хо­зяй­стве со­от­вет­ствен­но. По фор­му­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти, ве­ро­ят­ность того, что будет куп­ле­но яйцо выс­шей ка­те­го­рии, равна:

Р(АВ 1 ) + Р(АВ 2 ) = Р(Р(В 1 ) + Р(Р(В 2 ) = 0,4 Р(В 1 ) + 0,9(1 - Р(В 1 )) = 0,9 – 0,5 Р(В 1 )

По­сколь­ку по усло­вию эта ве­ро­ят­ность равна 0,6, по­это­му для ве­ро­ят­но­сти того, что куп­лен­ное яйцо про­из­ве­де­но в пер­вом хо­зяй­стве имеем:

Р(В 1 ) = (0,9 – 0,6) : 0,5 = 06

2 способ.

Это ре­ше­ние можно за­пи­сать ко­рот­ко. Пусть х — ис­ко­мая ве­ро­ят­ность того, что куп­ле­но яйцо, про­из­ве­ден­ное в пер­вом хо­зяй­стве. Тогда (1 – х)— ве­ро­ят­ность того, что куп­ле­но яйцо, про­из­ве­ден­ное во вто­ром хо­зяй­стве. По фор­му­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти имеем:

0,4х + 0,9(1 – х) = 0,6

0,4х – 0,9х + 0,9 = 0,6

- 0,5х = - 0,3

х = -0,3: (- 0,5)

х = 0,6

Ответ: 0,6.

Ре­ше­ние.

Найдем вероятность того, что перегорят три лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3·0,3 = 0,027.

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,027 = 0,973.

Ответ: 0,973.

3 августа

4 августа

Х

5 августа

Х

Х

Х

Х

6 августа

Х

О

О

О

Х

О

Х

О

О

О

О

0,2

0,8

0,8

0,8

0,8

0,2

0,2

0,2

0,2

0,8

0,2

0,8

Для по­го­ды на 4, 5 и 6 августа есть 4 ва­ри­ан­та: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хо­ро­шая, О — от­лич­ная по­го­да). Най­дем ве­ро­ят­но­сти на­ступ­ле­ния такой по­го­ды:

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

Ука­зан­ные со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

Ответ: 0,392.

Ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство ис­хо­дов, при ко­то­рых в ре­зуль­та­те брос­ка иг­раль­ных ко­стей вы­па­дет 7 очков, равно 15: 1+1+5; 1+2+4; 1+3+3;1+4+2; 1+5+1; 2+1+4; 2+2+3; 2+3+2; 2+4+1; 3+1+3; 3+2+2; 3+3+1; 4+1+2; 4+2+1; 5+1+1. Каж­дый из ку­би­ков может вы­пасть ше­стью ва­ри­ан­та­ми, по­это­му общее число ис­хо­дов равно 6·6·6  = 216.

Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 7 очков, равна

Ответ: 0,07.

Ре­ше­ние.

Коля вы­учил 40 – 4 = 36 во­про­сов. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос равна

Ответ: 0,9.

Решение.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,7 · 0,01 = 0,007.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,3 · 0,03 = 0,009.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,007 + 0,009 = 0,016.

Ответ: 0,016.