Решение задач с параметрами

f) корни разных знаков тогда и только тогда, когда

g) корень, равный нулю , тогда и только тогда, когда с = 0 ;

• ;

k)

М

М

М

m

М

m

M

• один корень внутри интервала (m; M) , а другой вне этого интервала тогда

• и только тогда, когда

m

M

M

m

m

M

Примеры решения уравнений с параметром

Решите уравнение а²(х-1) +6х=(5х-2)а

После преобразований данное уравнение примет вид (а-2)(а-3)х=а(а-2)

Исследуем случаи, когда коэффициент при х равен нулю и когда отличен от нуля.

Если а=2. То уравнение принимает вид 0х=0. Решением полученного уравнения является любое действительное число.

Если а=3, уравнение примет вид 0х=3. Решений нет.

Если а ≠ 3; а ≠2, то х=а:(а-3)

Ответ: при а=2 х -любое действительное число;

приа=3 решения нет;

при а ≠ 2 и а ≠3 , то х=а:(а-3)

Пример 4. При каких m все корни уравнения - (3m +1)x +(2+4m-6)=0 a)больше 1; б)меньше -1?

а) Решая систему

Решение .

 

 ;

б) Решая систему

получаем m

Замечание . Если выражение для корней уравнения

не содержит радикалов, то

удобно решать примеры и без применения теорем.

Так как корни квадратного трехчлена =m+3, =2m-2, то в случае

а) из системы ем m(;

б) решением системы является m

Графический подход к решению задач с параметром и модулем

Большинство задач удается решить графическими методами

• Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему можно «выделить» и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х;а) Сам процесс решения схематически выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, снимаем нужную информацию.
• Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах.
• Поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему можно «выделить» и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х;а)
• Сам процесс решения схематически выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, снимаем нужную информацию.

Найдите все значения параметра а , при которых уравнение имеет единственное решение.

у

4

2

А

В

х

0

- 2

- 4

РЕШЕНИЕ.

Правая часть этого уравнения задает неподвижный «уголок», левая – «уголок», вершина которого двигается по оси абсцисс.

Очевидно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, если вершина движущегося «уголка» попадет в точку А, или точку В. Имеем,

тогда А(-4; 0), В(-2; 0) и координаты этих точек удовлетворяют уравнению

у

В

2

А

х

0

- 2

- 4

Ответ:

Графический способ решения

задач с параметром

Задачу с параметром можно рассматривать как функцию f (x; a) =0

• 1. Строим графический образ

• 2. Пересекаем полученный график прямыми

параллельными оси абсцисс

• 3. «Считываем» нужную информацию

Найти количество корней уравнения в зависимости от параметра а

Данное уравнение равносильно совокупности следующих двух уравнений:

а

1

Количество решений данного уравнения - это число точек пересечения графика данного уравнения с горизонтальной прямой . По рисунку «считываем» ответ

0

х

- 1

Разбор задач ЕГЭ 2016

Задача №1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет не менее трех различных корней.

Решение Т.к. │2-х│=│х-2│, то уравнение можно записать так вводим замену =t

Получим уравнение 2-3(а-2)t+-3а=0

Уравнение квадратное при любом а.

19

19

6   19 19 " width="640"

Продолжение решения

D = ≥ 0 при любом а

t = a - 3 или t = 0,5 a

Введем обратную замену

= а - 3 или = 0,5а

а = +3

а =

а = 2

а =

Ответ: не менее трех различных решений при а = 4; ; а 6

19

19

Задача. При каких значениях а уравнение = имеет единственное решение?

Решение. Уравнение иррациональное, поэтому

После возведения в квадрат получим

2

Раскладываем на множители:

Х(х+1)(х-а)=0 Итак,

• Ответ: a

19

Метод областей в решении задач с параметром

Обобщённый метод областей

(«переход» метода интервалов с прямой на плоскость )

Неравенства с

Неравенства с

одной переменной

двумя переменными

Метод областей:

Метод интервалов:

• 1. Область определения
• 2. Граничные линии
• 3. Координатная плоскость
• 4. Знаки в областях
• 5.Ответ по рисунку.

• 1. Область определения
• 2. Корни
• 3. Ось
• 4. Знаки на интервалах
• 5. Ответ.

Алгоритм решения задач с параметром методом областей.

Задачу с параметром можно рассматривать как функцию

Схема решения:

1. Строим графический образ на координатной плоскости х О а

2. Пересекаем полученный график прямыми параллельными оси абсцисс

3. «Считываем» нужную информацию

На координатной плоскости изобразите множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству( х – у ) ( х у – 1) ≥ 0

Пример для понимания «метода областей»

Решение. На координатной плоскости нарисуем линии, определяемые равенствами

х – у = 0 ( у = х ) и

х  у - 1= 0 ( у = 1/х ), которые

разбивают плоскость на 6 областей.

у

3

При х = 1, у = 0 левая часть неравенства равна -1( отрицательна )

2

1

4

- 1

Следовательно, в 1 области, содержащей точку (1; 0), левая часть неравенства имеет знак минус, а в остальных областях её знаки чередуются.

0

х

1

- 1

1

5

6

Ответ: заштрихованные области на рисунке удовлетворяют условию ( х – у ) ( х у – 1) ≥ 0

Пример для понимания «метода областей»

На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству

Область определения неравенства:

Граничные линии:

Проводим граничные линии, с учётом области определения

у

Они разбивают плоскость на 8 областей

1

Определяем знаки на областях подстановкой в отдельных точках

+

+

+

х

- 1

1

0

+

Ответ: заштрихованные области

на рисунке.

- 1

Метод областей при решении задач с параметрами

Ключ решения:

Графический прием

Свойства функций

Параметр – «равноправная» переменная  отведем ему координатную ось т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию a = f (x )

Общие признаки задач подходящих

под рассматриваемый метод

В задаче дан один

параметр а и одна

переменная х

Графики уравнений

F(x;a) =0, G(x;a) =0

строятся несложно

Они образуют некоторые

аналитические выражения

F ( x ; a ) , G ( x ; a )

• 1. Строим графический образ

• 2. Пересекаем полученный график прямыми

перпендикулярными параметрической оси

• 3. «Считываем» нужную информацию

Найти все значения параметра р , при каждом из которых

множество решений неравенства ( р – х 2 )( р + х – 2) не содержит ни одного решения неравенства х 2 ≤ 1

Применим обобщенный метод областей.

р = х 2 и р = 2 - х

1) Построим граничные линии

р

2) Определим знаки в полученных пяти областях, и укажем решение данного неравенства.

5

2

3) Осталось из полученного множества

исключить решения неравенства х 2 ≤ 1

р = 3

3

.

│ x│≤ 1 , - 1 x

2

1

1

х

3

По рисунку легко считываем ответ

р = 0

0

2

-1

1

При р ≤ 0, р ≥ 3 в решениях исходного неравенства нет решений неравенства х 2 ≤ 1.

4

Ответ: р ≤ 0, р ≥ 3

ПРИМЕР . Указать множество точек плоскости ( X ; Y ), удовлетворяющих неравенству

Построим границы (графики функций)

Проверим знак одной из областей. Возьмем точку (1;0)

Пример . Указать множество точек плоскости ( X ; Y ), удовлетворяющих неравенству:

Построим границы

Проверим знак одной из областей и выделим решение неравенства.

ПРИМЕР . Указать множество точек плоскости (X;Y), удовлетворяющих неравенству:

у = х

Преобразуем неравенство :

у =0

Построим границы

Проверим знак одной из областей и выделим решение неравенства.

Пример . Найти наименьшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение:

1. На плоскости хОа

строим границу

2 . Определим знаки областей и выделим решение первого неравенства

Пример . Найти наименьшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение:

1. На плоскости хОа

строим границу

2 . Определим знаки областей и выделим решение первого неравенства

3. Т ак же для второго неравенства

4. Ограничим область решения системы неравенств.

5. Наименьшее значение параметра а , при котором система имеет решение равно

Пример . Найти все значения параметра р , при каждом из которых множество решений неравенства

не содержит ни одного решения неравенства

Применим метод областей.

р

1.Строим граничные линии в плоскости хОр

2. Определяем знаки в полученных областях. Выделяем решение данного неравенства .

3

.

2

1

х

1

-1

2

0

Пример . Найдите все значения а, при каждом из которых система

не имеет решения.

Решим систему методом областей.

1. Построим границы для первого неравенства

а

4

и

2. Определяем знаки в полученных областях.

2

1

3. Выбираем области, соответствующие знаку неравенства

0

-3 -2 -1

1 2 3

х

-2

-4

Пример . Найдите все значения а, при каждом из которых система

не имеет решения.

Решим систему методом областей.

1. Построим границы для первого неравенства

а

4

и

2. Определяем знаки в полученных областях.

2

1

3. Выбираем области, соответствующие знаку неравенства

0

-3 -2 -1

1 2 3

х

4. Построим границы и области для второго неравенства.

-2

-4

5. Считываем информацию.

Ответ: система не имеет решения при

При каких значениях параметра а сумма log a (cos 2 x + 1) и log a (cos 2 x + 5) равна 1 хотя бы при одном значении х ?

Решение. Рассмотрим сумму данных выражений

заметим, 0 ≤ cos 2 x ≤ 1

log a (cos 2 x + 1) + log a (cos 2 x + 5) = 1;

Пусть с os 2 x + 1= t ; t ϵ [1; 2];

у

тогда уравнение примет вид

log a ( t∙ ( t + 4)) = 1; откуда

у = а

12

t 2 + 4 t = a

Построим в прямоугольной системе координат график функции у (t) = t 2 + 4 t, учитывая, что t  [1;2]

у = а

5

t

и прямые у = а

-4

0

2

1

Сумма данного выражения равна 1, при пересечении параболы с горизонтальной прямой . По рисунку «считываем» ответ:

5 ≤ а ≤ 12

Ответ: при всех a  [5;12]

рЕФЛЕКСИЯ

Конечно, обдумывай «что», но еще больше обдумывай «как»!

(Иоганн Гете)

Опыт берет большую

плату за учение, но учит

он лучше всех учителей.

(Карлейль)

Мне всегда было интересно,

почему кто-нибудь этого не

сделает. Потом я поняла, что

этот кто-то — я сама.

(Лили Томлин )

Сокол высоко поднимается, когда летит против ветра, а не по ветру.

(Уинстон Черчилль)

ПОИСК

ПОЛЕЗНЫХ

СОВЕТОВ

Если путник, взбираясь на гору, слишком занят каждым шагом и забывает сверяться с путеводной звездой, он рискует ее потерять и сбиться с пути.

(Антуан де Сент- Экзюпери)

«К черту все! Берись и делай!

(Ричард Брэнсон)

Источник нашей мудрости—

наш жизненный опыт.

Источник нашего опыта —

наша глупость.

(С. Гитри)

Друзья, предлагаем заняться поиском полезных советов. У вас на партах находятся «пакетики с премудростями» За 2 минуты каждая группа путем обсуждения выбирает самый ценный совет из представленных в пакете и аргументирует свой выбор. Если ни один из представленных советов не понравился, группа может предложить свой совет или скомбинировать новый совет из нескольких представленных.

Кто сильно желает подняться наверх, придумает лестницу. (Коносукэ Мацушита)

Опыт — самый

лучший наставник.

(Овидий)

40