Решения задач олимпиады имени Леонарда Эйлера

Решения задач X олимпиады имени Леонарда Эйлера

1. Винтик и Шпунтик смастерили машину «Тяни-толкай», которая едет вперед на сиропчике с расходом топлива 3л/км, а назад – на апельсиновом соке с расходом топлива 5л/км. Выехав из дома, они вели машину по очереди. Винтик проехал за рулём в обе стороны 12 км. Шпунтик ехал вперед вдвое меньше, чем Винтик, а назад проехал вдвое больше, после чего имевшиеся 75 литров топлива закончились. Сколько километров Винтику и Шпунтику придется возвращаться домой пешком?

Ответ. 9 км. Решение. Пусть Винтик проехал 2x км вперед и y км назад, тогда 2x+y = 12 и 9x+15y = 75 (так как вместе они проехали 3x км вперед и 3y км назад). Решая систему, получаем x = 5, y = 2. Осталось посчитать 3x–3y = 9.

2. Натуральное число заканчивается на ноль, а наибольший из его делителей, не равных ему самому, является степенью простого числа. Найдите предпоследнюю цифру этого числа.

Ответ. 1 или 5. Решение. Натуральное число делится на 2 и 5. Тогда его наибольший собственный делитель — половина числа, а само число имеет вид 25^k. При k = 1 предпоследняя цифра будет 1, а при k  1 будет 5, так как 5^k в этом случае оканчивается на 25.

3. В выпуклом пятиугольнике ABCDE AB параллельно DE, CD = DE, CE перпендикулярно BC и AD. Докажите, что прямая, проходящая через A параллельно CD, прямая, проходящая через B параллельно СЕ, и прямая, проходящая через E параллельно BC, пересекаются в одной точке.

Решение. Треугольник CDE равнобедренный, а AD — высота к его основанию. Значит, AD — биссектриса треугольника CDE, углы ADE и ADC равны. Углы ADE и BAD равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и DE секущей AD. Тогда углы ADC и BAD равны. Так как прямые BC и AD перпендикулярны одной прямой, то они параллельны, и ABCD — равнобокая трапеция, откуда AB = CD = DE. Значит, ABDE — параллелограмм. Пусть О — точка пересечения его диагоналей AD и BE, тогда АО = ОD, BO = OE.

Пусть X — точка пересечения прямой, проходящей через B параллельно СЕ, и прямой, проходящей через Е параллельно BС. Тогда ВCЕX — параллелограмм. Точка О — середина его диагонали BE, значит она же является серединой диагонали CX. Тогда диагонали AD и CX четырехугольника АСDХ точкой пересечения делятся пополам. Значит, АСDХ — параллелограмм, то есть АX параллельно CD, и все три указанные в условии задачи прямые пересекаются в одной точке.

4. В городе лжецов и рыцарей 366 жителей, все родились в разные дни високосного года. Все жители города ответили на два вопроса. На вопрос «Вы родились в феврале?» утвердительно ответили 100 человек, а на вопрос «Вы родились 30-го числа?» утвердительно ответили 60 человек. Сколько рыцарей родилось в феврале?

Ответ. 29. Решение. На первый вопрос утвердительно ответили рыцари, родившиеся в феврале, и лжецы, родившиеся в другие месяцы. Пусть в феврале родились x рыцарей, x не превосходит 29. Тогда в феврале родились 29 – x лжецов, а в другие месяцы родились 100 – x лжецов. Всего лжецов получается 129 – 2x, то есть от 71 до 129 человек.

На второй вопрос утвердительно ответили рыцари, родившиеся 30-го числа, и лжецы, родившиеся в другие числа. Пусть 30-го числа родились c рыцарей, c не превосходит 11. Тогда 30-го числа родились 11 – c лжецов, а в другие числа родились 60 – c лжецов. Всего лжецов получается 71 – 2c, то есть от 49 до 71 человека.

Значит, число лжецов равно 71, откуда x = 29.

5. В некоторые клетки доски 88 вписаны треугольники, у которых одна сторона совпадает со стороной клетки, а третья вершина лежит на противоположной стороне клетки. У треугольников нет общих точек. Каково наименьшее возможное число пустых клеток?

Ответ. 24. Решение. Оценка. На стороне каждого треугольника лежит не менее двух вершин клеток, всего вершин 9*9=81. Тогда всего треугольников не более 40, а свободных клеток не менее 24. Пример. Чередуются заполненные и незаполненные концентрические кольца (см. рисунок).