С17 Оптимизация Квадратичное программирование

С17 Финансовая математика Задачи на оптимальный выбор

Дробно-линейное программирование

1)В пряничный цех поступил заказ на изготовление партии пряников.3 видов- с клубничной начинкой, с вишневой и с шоколадной. Цена пряников с клубничной и вишневой иначинкой одинаковы.Первых заказали на сумму 4000р, вторых- н 60шт Пряники с шоколадной начинкой стоят 150руб за шт Их заказали столько же сколько пряников с клубничной и вишневой иначинкой вместе Какова наименьшая стоимость заказа?

При какой цене на пряники с фруктовой начинкой она достигается? Отв

Решение. Обозначим количества пряников x –с клубничной начинкой,

Тогда x+ 60 количество пряников с шоколадной начинкой P –цена пряников с клубничной и вишневой иначинкой. Имеем

Исключим х имеем

Достигается при

№ 512381 Производство x тыс. ед продукции обходится в q = 0,5x² + 2x + 5 млн руб в год. При цене p тыс. руб за ед годовая прибыль от продажи этой продукц (в млн руб) составит  px − q. При каком наименьшем значении  p через 4 года сумм прибыль составит не менее 52 млн руб?

Решение Прибыль (в млн руб) за 1 год наиб зн при x = p – 2 и сост Через 4 года прибыль сост не менее 52 млн руб

т е при

1)В коллективе зарплата плата каждого рабочего Q руб. Число занятых на производстве мест – х. Зар плата и число рабочих мест связаны соотношением

Согласно «золотому правилу роста» найти х так, чтоб Q принимало наибольшее возможное зна-чение. При L 1500, a 16 000 найти по этому правилу число раб мест, если дополнительно известно, что трудовой коллектив располагает рабочими местами.

при

на отрезке 1; 25 производная Qх ,проходит через единственную стационарную точку x  20, меняет знак с + на -, то функция в этой т достигает наибольшего значения Т е, зарплата рабочих будет достигать наибольшего размера, если работодатель организует на участках 15, 18 и 20 рабочих мест

Квадратичное программирование

№ 511227 В распоряжении начальника имеется бригада раб в сост 24 чел. Их н распред на день на 2 объекта. Если на 1м объекте раб t чел, то их суточ зарпл сост 4t² у. е. Если на 2м объекте раб t чел, то их сут зарп сост t² у. е. Как надо распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточные зарпл оказ наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Реш Пусть на 1й объект будет направлено х раб, сут зарпл кот составит    Тогда на 2й объект б направлено  раб — сут зарплата составит    В день начальник должен платить рабочим 

Рассмотрим функцию   f(x) при   Это квадратичная ф старший коэфф положит, след она имеет наименьшее значение при x₀ = 4,8. т мин не является натуральным числом, поэтому исследуем на наименьшее значение в т 4 или в т 5. Найдем и сравним их:

на мн-ве нат зн арг наим зн функ в т 5. Поэтому н направ 5 раб на 1 объект, 19 раб — на2 объект. Зарпл раб сост 461 у. е.

Подобная https://easy-physic.ru/4-sposoba-resheniya-odnoj-zadachi-na-optimalnyj-vybor/

1)Г влад 2 завод в разных городах. производящих одинаковые товары, если раб на заводе1, трудятся суммарно  часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t  ед товара; если раб на заводе 2 , трудятся суммарно   час в неделю, то за эту неделю они производят  4t ед тов. За кажд час раб (на каждом из зав Г платит раб 500 руб. Г готов выдел 5 млн руб в нед на опл труда раб,. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих 2 заводах?

Решение. на 1 заводе работали  часов, а на 2м –  час.  Тогда на 1 заводе они произвели  3x продукции, а на 2м –4y 

 Если Г платит 5 млн в неделю, и в то же время 500 руб/час, то  итак задача сведась к нахождению

при

1 способ через производную

2 способ геом -окружность н отыск касат к окружн

Известно, чтобы прямые   и     перпендикулярны, должно выполняться

 . Поэтому, если у нашей прямой коэффициент при y =3/4 , то у касательной он должен быть  =-4/3 т е

3 способ аналит геом прямая причем С  и есть реш. Найдем расстояние от этой прямой до точки с коордтнатами   

4 способ тригон Переходим в полярные к-ты: тогда

максим зн при  и равно 500

№509184 Первичная информация разделена по серверам 1 и 2 и обрабатывается на них. С сервера1 при объёме Гб входящей в него информации выходит 20t Гб, а с сервера №2 при объёме   Гб входящей в него информации выходит 21t Гб обработанной информации , 25 t tм объёме входной информации в 3364 Гб?

Реш Пусть на серв 1 обраб   а на серв 2   Гбайт из всей первичн инф. Тогда 

а обраб будет Гб Н. найти мах при усл

(1) т к то

где

Максимальное значение суммы достигается при 

т е для значений, удовлетворяющих условию (1) 

2 сп. н найти мах

 X=40— т макс функ, при этом  Усл выполн

3 сп геом. Уравн зад окружн рад  58 с центром в нач коорд задает семейство параллельных прямых мах С при касании Проведем из начала координат в 1 квадрант вектор  перпендикулярный прямым Луч, коллиннеарный   пересечёт окружность в т Это и будет точка касания в коорой достиг мах С Условие для точки  выполненш

 511234 Два велосипед равном движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. 1q движется со скоростью 40 км/ч и находятся на расстоянии 5 км от перекрестка, 2й движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. через сколько мин расст меж велосипед станет наимнгьщим? Каково это наименьшее расстояние.

расст между ними м б выч по т Пифагора. Расс тf (t) — квадрат длины в каждый мом времени,

Итак,  У данной квадр функ есть наим зн, кот достиг при  мин.

Таким образом минимальное расстояние меж велосип   км,

и будет достигаться через .

511919Ал вышел из дома на прогулку со скор v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежал собака Ж, скорость кот б на 9 км/ч больше скорости Ал. Когда Ж догнала хозяина, они поверн назад и вместе возвр домой со скоростью 4 км/ч. Найдите зн v, при кот время прогулки Ал окаж наим. Ск при этом составит время его прогулки?

Реш Скорость сближ Ал и Ж (разн скор) Δv = 9 км/ч. Первонач разность расст меж Ал и Ж ΔS = 6 км. Найдем разност отн  часа. Это и есть время, кот потреб Ж, чтобы догнать Ал.С того времени, как Ж бежала за Ал, Ал прошел расст, 2/3  км. по с усл Ал прошел еще 6 км пока Ж была дома. Зн, в напр от дома Ал,, прошел  6+2/3км. Такой же путь Ал прошел после того, как Ж догнала его, но в обр напр. На преодол этого пути (со скор 4 км/ч) надо

   час. вся прогул Ал продлил Эта сумма =мин при это при =1 v = 6 км/ч. Время всей прогулки Ал  час.

 512339 Произведено x тыс. е продукц об в q = 0,5x² + x + 7 млн ру в год. При цене  тыс. руб за ед год прибыль от продажи этой продук (в млн руб) сост px − q. При каком наим зн p через 3 года сумма прибыль сост не менее 75 млн рубл?

Реш прибыль (в млн руб) за 1год 

Прибыль составит не менее 75 млн руб, если т е

При наим цена 9 тыс. руб

№ 512381 Произв x тыс. е продукц обх в q = 0,5x² + 2x + 5 млн руб в год. При цене p тыс. руб за ед годовая прибыль от продажи этой продукц (в млн руб) сост  px − q. При каком наим зн p через 4 года сумм прибыль сос не менее 52 млн руб?

Реше Прибыль (в млн руб) за 1 год наиб зн при x = p – 2 и сост Через 4 года прибыль сост не менее 52 млн руб

т е при

1)В колл зарпл плата каждого раб Q руб. Число занятых на произве мест – х. Зар плата и число раб мест связ соотнСогл «золот п-лу роста» найти х так, чтоб Q при наиб возм з. При L 1500, a 16 000 найти по этому правилу число раб мест, если до известно, что трудовой коллектив распол раб местами.

при на отр1; 25 произв Qх ,прох через единств стац т x  20, меняет з с + на -, то функция в этой т достигает наиб з Таким обр, зар пл рабоч б достиг наиб разм, если работодат организ на участках 15, 18 и 20 раб мест

2)Завод изготавливает и продает полупроводниковые приборы. Удельные расходы (в расчете на 1 прибор) зависят от объема производства и включают в себя постоянную часть в размере 

1000 (руб/прибор) и переменную часть 2n (руб/прибор), где n − число приборов, изготовленных

за месяц. Цена прибора, в свою очередь, зависит от объема производства по закону p(n)=10000−n 

(руб/прибор). Определить, при каком объеме производства прибыль будет максимальной?
Решение. Доход от продажи приборов, изготовленных в течение месяца,

.

Месячные расходы при этом Тогда прибыль

Исследуем функцию прибыли на экстремум. будем считать, что n  действительное число. Дифференцируя по n, получаем:

2 производная всюду

3)На изготовление x единиц товара фирма затрачивает руб,где a и b − действительные числа. Товар продается по цене p руб за штуку. Определить объем продаж, при котором прибыль наибольшая

Решение. При продаже x ед товара фирма получает доход , прибыль фирмы

Найдем производную функции P(x)

Рассмотрим 2ю производную: Т к она  -точка максимума, т.е. при данном объеме продаж прибыль фирмы будет наибольшей. 

4) Зависимость объема производства Q от количества работников L описывается функцией Q(L) (рис).

Показать, что если производные удовлетворяют условиям то

существует оптимальное число работников L∗, при котором прибыль будет наибольшей.

Решение. Условия Q′(L)0,Q′′(L)

где p − цена продажи ед продукции, Q(L) − объем производства, qL − часть расходов, связанная с работниками, C − постоянная часть расходов, не зависящая от числа работников

Исследуем возможный экстремум этой функции. 1я производная имеет вид:

Функция прибыли P(L) имеет критическую точку L∗ при условии

Так как 2я производная L, то критическая точка является точкой максимума. в заданной системе всегда существует оптимальное количество работников L∗, при котором прибыль предприятия максимальна

5) Завод состоит из нескольких цехов, производящих однотипную продукцию в 2016г увеличил к концу года ежедневный объем выпуска продукции на p1% по сравнению с началом года. Но с 1-го дня 2017 г несколько цехов достигшие сумм к концу предыдущего года ежедневного объема вып =0.5 вып продукции всего завода закрыли на реконструкцию. до начала следующего года. Остаток цеха увеличил к концу 2017 г ежедневный выпуск своей продукции на р2% по сравнению с началом года. Известно что p1+p2=60 При каком значении р1 обший ежедневный объем вып продукции заводом к концу 2017 гб будет иметь максимальное значение ? отв 55%

Реш Объем произв к начале 17 г с учетом закрытия цехов

Объем производства к концу 17 г

1,1025V при

1)Зависимость объёма Q (в шт.) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражена формулой Где .

Доход от продажи товара = РQ руб. Затраты на производство Q е товара = руб. Прибыль= разности дохода от продажи и затрат на произв., фирма уменьшила цену товара на 20%, но её прибыль не изменилась. На сколько % надо увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

521804 На счет, который вкладчик имел в начале 1 кв, начислено в конце этого кв r₁%, а на счет, который вкладчик имел в начале 2 квартала, начислено в конце этого квартала  r₂%, причем . Вкладчик положил на счет в начале 1 кв некоторую сумму и снял в конце того же квартала половину этой суммы. При каком  r₁ счет вклалчика в конце 2 кв окажется максимально возможным?

Реш. Допустим вкладчик положил  и его вклад б умн на   тогда во 2 кв умн произ на  Размер счета после 2 кв сост   Наибольшее зачение 2 скобки достигается при  такое зн доп — оно соответствует ситуации  

1) Вкладчик положил на счет в начале 1 кв некоторую сумму и снял в конце того же квартала 0,1 этой суммы

При каком х счет вкладчика в конце 2 квартала окажется максимально возможным отв