Задачи по теории чисел (С6 ЕГ)

3

Задача С6 ЕГ (з-чи по теории чисел)

Пример. Десятизн число на 1 больше квадрата нат числа. Доказать, что в нем есть одинаковые цифры.
Пусть верно обратное: все 10 цифр в этом числе разл. Тогда в записи числа исп все 10 цифр от 0 до 9. Сумма этих цифр 45, след, дел на 9, а точный квадрат, кот на 1 меньше , при дел на 9 дает остаток 8, что невозм. Получ противор. Значит, в десятич записи числа  есть одинак цифры.

Пример. Решить уравнение в простых числах:
Подбор легко найти одну пару реш:    Докажем, что др реш нет. Б отталк от возможных остатков, кот  м давать при дел на 7. Как догад, что н рассм именно остатки от дел на 7? Ну так других частн реш мы подобрать не смогли, а нач с чего-то нужно. распишем рассужде по пунктам.
1. Любой точный квадрат при делении на 7 дает остатки 0, 1, 2 и 4 (см. таблицу).
2. 1999 при делении на 7 дает остаток 4.
3. Если  то  Далее считаем, что не равно 7.
4. не делится на 7 (так как – простое число).5. След,  при делении на 7 м давать остатки 1, 2 и 4.
6.  при делении на 7 может давать остатки 5, 6 и 1.
7.   при делении на 7 может давать остатки 2, 4, 1 (докажите это самостоятельно).
8. Остатки при делении левой и правой частей на 7 равны друг другу, а значит, равны 1.
9. Однако  дает остаток 1 при делении на 7, только если    т.е. – составное число.
10. Следоват,    – единств реш в простых числах.

Зад10: a, b, c – нат числа, причем a + b + c делится на 6. Док, что a? + b? + c? тоже делится на 6.
Решение: Проверьте, что числа x? и x имеют одинаковые остатки от деления на 6.
Зад11: 3 простых числа p, q и r, большие 3, обр арифм прогр p = p, q = p + d, r = p + 2d. Док, что d дел на 6.
Реш: Если d – неч, то среди чисел p и q есть четн, что невозм. Если d не дел на 3, то среди p, q и r есть деляще на 3, что тоже невозм.
Зад12: Докажите, что сумма квадратов трех натур чисел, уменьшенная на 7, не делится на 8.
Реш: Выясните возможные остатки квадратов при делении на 8.
Зад13: Сумма трех натур чисел, явл точными квадратами, делится на 9. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.
Реш: Возм остатки квадратов от деления на 9: 0, 1, 4, 7. Проверьте, что если сумма трех из них делится на 9, то среди них есть два одинаковых.

Задача 20:  а) p, p + 10, p + 14 – простые числа. Найдите p.

Решение: Рассм остатки от деления на 3. Одно из этих чисел делится на 3. Доп p div 3=1

Тогда (p+10) div3 =2 (p+14) div 3=0 – дел . В этом сл p+14=3 не м.б. ;

Доп p div 3=2 тогда (p+10) div3 =0 p+10 =3 не м.б. Единств вар p div 3=0- p=3

б) p, 2p + 1, 4p + 1 – простые числа. Найдите p.В) p и – простые числа. Найдите p. Отв. P=3

Задача 24: 
а) Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?
б) Может ли сумма квадратов трех нечетных чисел быть квадратом целого числа?
Реш: Пров, что остаток квадрата нечетного числа от дел на 4 равен 1, а остаток кв четного числа – 0.

11 Док, что не существ нат чисел a и b таких, что

Указание: Рассмотрите остатки по модулю 3.

Зад.26 p, , – простые числа. Найдите p. Отв. P=3

Зад 28:  Док, чтоне явл кубом целого числа ни при каких нат a и b.
Решение: Выясните, какой остаток может давать число от деления на 9.

Зад 29: Док, что число 6n? + 3 не явл 6 степенью целого числа ни при каком натур n.
Решение: Выясните, какой остаток может давать число 6n? + 3 от деления на 7.

Зад 30: x, y, z – натур числа, причем . Докажите, что xy делится на 12.
Реш: Если ни одно из чисел x, y не дел на 3, то z? дает остаток 2 при дел на 3, что невозм. квадрат неч числа при дел на 8 дает остаток 1, квадрат четного числа, не делящ на 4, – остаток 4, квадрат числа, делящ на 4, – остаток 0. Док, что либо x и y оба четны, либо среди них есть число, кратное 4.

Тип задач на многочлены с целыми коэфф

MU.С6.5. Квадр трехчлен имеет два разл целых корня. Один из корней трехчлена и его зн в т x=11 являются простыми числами. Найдите корни трехчлена.
Реш. Пусть х1 и х2 - разл целые корни многочл, f(x)=(x-x1)(x-x2).тогда

f(11)=(11-x1)(11-x2)=(x1-11)(x2-11)
Так как f(11) простое нат число, то одним из множи в его разлож будет +1 или - 1
а) пусть x1-11=1. Тогда х1=12 (не явл простым), а след, х2 явл простым числом. Учит, что мы рассм простые нат числа, то x2 11, а, след, быть четным не м, значит, х2 -нечетн число. Но f(11)=x2-11 тоже простое и предст четное число как разность нечет чисел.Поск единств простым четным числом явля 2, то f(11)=2. Тогда х2=13
b) пусть х1-11=-1 Тогда х1=10, след, х2

Похожая з-ча Квадр трехчлен имеет два разл целых корня. Один из корней трехчлена и его зн в т x=7 являются простыми числами. Найдите корни трехчлена.

Ответ a=6,b=2 и a=6, b=5

MU C68.Найдите все такие целые a и b, что корни уравн x^2+(2a+9)x+3b+5=0 явл разл целыми числами, а коэфф 2a+9 и 3b+5 - простыми числами.

Решение Пусть 2a+9=p, 3b+5=q, р и q - простые числа (б счит, что натур простые)Целые корни уравн х1 и х2 различны, по т Виета х1+х2=-р, х1*х2=qТ к q - простое число, то возм случаи 1)х1=1 2)х1=-1
Рассм 1 сл х1=1, тогда х2=q - простое число, х1+х2=-р , то есть 1+q=-p, что противор положит p.
Рассм 2 сл. х1=-1, x2=-q. Тогда -p=-1-q, откуда р=1+q. След, q и p - послед простые числа, а зн,q=2.p=3
2a+9=3 3b+5=2, откуда а=-3, b=-1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задачи ЕГ http://ucheba.pro/viewtopic.php?f=17&t=1314

Сложность 1

1. всегда будет составным.

2 Является ли число простым?

3 a-c|ab+cd a-c|ad+bc.

4. Целое число кратно 11 и при делении на 5 дает остаток 3. Найти его остаток от деления на 55

5. Целое число кратно 13 и при делении на 4 дает остаток 3. Найти его остаток от деления на 52

Сложность: 2

1. Найти все простые числа, одновр являющимися суммами и разностями 2 простых чисел

2.Найти все числа p для которых каждое из 6 следующих чисел простое P, p+2, p+6, p+8, p+12, p+14

3.Найти наименьшее нат ч-ло n кратное 200 сумма цифр которого=200

3.а Найти наименьшее нат ч-ло n кратное 150 сумма цифр которого=150

4. Найдите все простые числа вида , не превосходящие . Подсказка

Может ли число A, состоящее из 600 цифр 6 и нескольких нулей быть точным квадратом?

Подск а). Квадрат целого числа может оканчиваться четным количеством нулей.
б) Число, получ в результате выкидыв нулей из предыд числа - тоже точный квадрат.
в)В разл этого числа только одна степень двойки, поэтому это число не м б точным квадратом.

5. Уравнение не имеет целых решений.

Подсказки 1. 3|y. 2. 3|x. 3. Остатки квадрата выр при делении на 3 - первое свойство.

6. 9-значное число, в десятич записи кот встреч все цифры, кроме 0, не м б точным квадратом.

7.Найдите все простые числа b, на кот сократима дробь для всех целых a..

Не совсем корр, т.к. не ясно, в каком см сократима. Напр дробь 2430 сократ на 2, на 3, из простых чисел, и также сократ на 6. Годится это число или н, чтобы дробь б сократима только на 1 простое число? Б счит, что 1й вар.Тогда н найти все простые делит НОД при всех a.Примен алг Евклида:

Ответ получается 2 и 3. Задача, при любой из формулировок тупая донельзя,

8. Найти все натуральные решения уравнения 1x+1y=1p, где p - простое

9. Уравнне имеет целых решений, кроме x=y=z=0. Доказать.

10 Не существует многочлена с целыми коэфф, такого, что f(7)=11,f(11)=13.

11. Известно, что корни ур x² + px + q = 0 — целые числа, а p и q — прост числа. Найд p и q.

12. Найти все квадратн трехчлены x² + px + q = 0 с целыми корнями если p+q=20

Найти все квадратн трехчлены x² + px + q = 0 с целыми корнями если p+q=30

13. Найти все квадратн трехчлены x² + px + q = 0 с целыми корнями если cумма кв корней=34

14. Дана посл-ть Сущ ли 5 ее членов идущих подряд и делящихся на 23?

15 Дана посл-ть Сущ ли 7 ее членов идущих подряд и делящихся на 130?

16. Найти все пары ненулевых цифр (a,b) при кот уравн ниже имеет целочисл реш. P-простое

(всего p слаг, последнее с p-1-нулями)

17. Найти все пары ненулевых цифр (a,b) при кот уравн ниже имеет целочисл реш. P-простое

(всего p слаг, последнее с p-1-нулями)

18. Табл умн – это кв табл на пересеч m-строки и n- ст-ца – число mn. Каждое ч-ло табл умножения

1mn

18. То же для 1mn

19. Уравн в целых числах

20. Уравн в целых числах

21 Уравн в целых положит числах

22 .Сумма кратна 231. Найти мин возм знач суммы положительных x+y

Сложность: 3

1. доказать что имеет минимум n различных простых делителей.

Подсказка Метод математической индукции

2.Найти все целые a при кот уравн и не целый ни для одного нат pa|

3. Решить в простых числах p , q уравнение

Отв. P=3, q=23

Решение: уравнение перепишем в виде откуда ясно что поэтому

P=3 получим уравнение его 1 корень q=23 – простое число

a,b,c - простые числа. Найдите все реш уравн: a+b+c+ab+bc+ca=1157

Все простые числа, кр 2 - нечет, произв двух нечет чисел - нечетно. Слева в ур сумма 6 неч чисел д б четна, но справа - нечет число. Зн, одно из чисел 2. Пусть а=2.Получ 2 + (b+c) +2(b+c) + bc = 1157

3(b+c) +bc = 1155.   Т.к. 1155=3*5*7*11, то  левая часть должна делиться на 3, 5, 7, 11.

Разделим на 3 обе части уравнения.(b+c) + bc/3 = 5*7*11 Одно из чисел (b или с) = 3, т.к. bс/3 - целое.  Пусть с=3. b+3 +b = 385  --  2b = 382  --b=191.Получили а=2,  b=191,  c=3.

Т.о. тройки чисел: 2,3,191       3,2,191         2,191,3            191,2,3        3,191,2      191,3,2   

Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения)

1. Решите уравнение xy + 2x + Зy = 7 в целых числах.

2. Решите в натур числах уравн

3. Решите в целых числах уравн

4. Решите в целых числах уравн: Зх + 2у = 7.

5. Решите в целых числах уравн х(х+1) = 4у(у + 1).

6. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 5.

7. Найдите три подряд идущих целых числа, сумма кубов кот р= кубу следующ за ними числа.

8. Найдите все прямоугольники с целыми сторонами, площадь которых равна их периметру.

9. Решите уравн в целых числах: а) ; б) .в) Указание

б)подск рассм ост при дел на 5 y=5n+1, y=5n+2,..y=5n+4

В)При всех целых y пр ч нат ч-ло-только при неотр целых x, рассм 2 сл. А)x=y=0 б)x0Чтобы ур имело реш, н, чтобы п ч делил без ост на 3. y=3n+1 - даёт ост 2 - не подх. y=3n+2 даёт ост 2 - не подх. y=3n , даёт ост 1 - не подходит.те ни при каких целых y нет реш в цел числах. Таким образом, единственное решение - `(0;0)`.

1. Док, что прямая 4x + 6y - 7 = 0 не проходит через точки, обе коорд которых — целые числа.

2. Решите в нат числах ур: `1/x + 1/y = 1/239`. Указание 1/x+1/y=1/a. прив к виду Далее рассм случаи.отв. (240 ;239*240) ( 478;478) (239*240;240)

3. Решите уравн в натур числах: . Указание Отв: (1;3). Пусть x 1. Рассм остатки от дел л ч ур от дел на 3, получ, что x - неч. Рассм остатки той же л ч от дел на 8, получ, что x - четно и 2 2. Противоречие.

4. Решите уравн в нат числах: а) б)` . Указание а) при дел на 3 в л ч нач с х=з остаток =0 , а в правой ост = 1 или 2 = нач с х=3 нет решений

5. Реш в нат числ сму: a) `{(x+y=180),((x; y)=30):}; б){(7x=11y),((x; y)=45):}`; в){(xy=720),((x; y)=4):} Указание (x,y)=HОД(x,y). Тогда а)x+y=6 б)x=45u y=45v 7u=11v u=11c v=7c x=45*11c=495c y=45*7c=325c в)XY=180

6. Решите в натуральных числах уравнение: ху(х + у) = 120.

7. Решите в целых числах уравнение:

8. Решите в натуральных числах уравнение: `x+1/(y+1/z)=10/7`.

9. Решите в целых числах уравнение:

10. Найдите все пары различных натуральных чисел х и у такие, что.

11. Решите в целых числах уравнение:

12. Решите в целых числах уравнение:

13. Решите ур в целых числах: `.

14. Решите ур в целых числах:

15. Решите уравнение в целых числах:

16. Решите в целых числах уравнение:

17. Решите в натуральных числах уравнение: `1/x+1/y+1/z = 1` при `x le y le z`.

18. Решите в целых числах уравнение:

19. Найдите сумму всех трехзн нат чисел n, таких, что первая и посл цифры числа n^2 = 1

20. Число P равно произвед 11 разл нат чисел, 1. Какое наименьшее число нат делителей (включая 1 и само число) может иметь число P?

21. Найдите НОД всех чисел вида р²-1, где р - простое число, большее 3, но меньшее 2011.

22. Наибольшее целое число, не превосх число х, равно (x^2+6)/7 Найти все такие x.

23. Найдите все нат числа, не предст в виде суммы 2 вз простых чисел, отличных от 1.

Реш. Каждое натуральное число может быть либо четным (2*k), либо нечетным (2*k+1).
1. Если число нечетное: n = 2*k+1 = (k)+(k+1). Числа k и k+1 всегда вз простые
(если есть нек число d, явл делит x и y, то число |x-y| тоже д дел на d. (k+1)-(k) = 1, т е 1 д делить на d, то есть d=1, а это и есть дока взаим простоты)мы дока, что все неч числа м б предст в виде суммы2 вз простых.Искл по усл б явл числа 1 и 3, поск 1 вообще нельзя предст в виде суммы нат, а 3 = 2+1 и никак иначе, а 1 в кач слаг не подходит по усл.
2. Если число четное: n = 2*k Тут придется рассмотреть два случая:
2.1. k - четное, т.е. предст в виде k = 2*m. Тогда n = 4*m = (2*m+1)+(2*m-1).
Числа (2*m+1) и (2*m-1) м иметь общий делитель только такой (см. выше), на кот дел число (2*m+1)-(2*m-1) = 2. 2 делится на 1 и 2.Но если делит = 2, то получ, что неч число 2*m+1 д дел на 2. Этого не м б, поэтому остается только 1.
Так мы док, что все числа вида 4*m (т е крат 4) тоже м б предст в виде суммы 2 вз простых.
Тут искл - число 4 (m=1), кот хотя и м б предст в виде 1+3, но 1 в кач слаг нам по-пр не подходит.
2.1. k - неч, т.е. предст в виде k = 2*m-1. Тогда n = 2*(2*m-1) = 4*m-2 = (2*m-3)+(2*m+1)
Числа (2*m-3) и (2*m+1) м иметь общий делитель, на кот дел число 4. Т е либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поск (2*m+1) - число неч, и ни на 2, ни на 4 делиться не может.
Так мы док, что все числа 4*m-2 (т е все кр 2, но не кр 4) тоже м б предст в виде суммы 2 вз простых Тут искл - числа 2 (m=1) и 6 (m=2), у кот одно из слаг в разл на пару вз простых = 1.

33. Произв неск разл простых чисел делит на каждое из этих чисел, уменьш на 1. Чему м б равно его произведение? Реш. Произв неск разл простых чисел м дел только на эти же самые прост числа и на 1.Это зн, что кажд из этих прост чисел, уменьш на 1, явл либо др прост числом из набора, либо произв неск из них, либо 1. Единс простое число, при уменьш кот на 1 получ также простое число - это 3.А единств простое число, при уменьш кот на 1 получ 1 - это 2. Так что, первый ответ - 2*3 = 6.
След ответ м получ если предыд ответ, увел на 1, явл простым числом. 6+1 = 7 - это простое число, поэтому 2 ответ - 2*3*7 = 42.След членом произв м стать либо 2*7+1, либо 3*7+1, либо 2*3*7+1, если это простые числа. 2*7+1=15, 3*7+1=22 - не прост. 2*3*7+1 = 43 - а вот это простое число (тут уж прид проверять, перебирая делители). Значит, третий ответ - 2*3*7*43 = 1806.
Чтобы доказать, что больше таких чисел нет, надо убедиться, что
2*43+1, 3*43+1, 7*43+1, 2*3*43+1, 2*7*43+1, 3*7*43+1 и 2*3*7*43+1 - не простые числа.

Тип задач ЕГ2011 многочлен

Существует ли многочлен `P(x)` с целыми коэф, что а) `P(0)=11`, `P(1)=201`, `P(2)=2011`.

Пусть сущ многочл 2 cтепени P(x) такой, что P(0)=11, P(1)=201, P(2)=2011, тогда справ система:

откуда
`c=11 ,a+b+11=201, 4a+2b+11=2011 a+b=190,2a+b=1000 a=810 b=-620
коэф целые. ответ: сущ. повезло, что нашёлся многочл 2-й ст

Б) P(1)=11, P(11)=102

.

Разность первого со вторым делиться на 10 , а 102-11 не делиться на 10 = противоречие

С6. Теория чисел 2012http://shevkin.ru/?action=Page&ID=752

1_Все члены посл-ти нат.числа. Каждый член нач с 2-го либо в 11 р больше либо меньше предыд.

S=3887 А)м ли посл-ть состоять из 2 членов б)из 3 членов в)какое мин ч-ло членов

2_то же с 13 и S=6075

3)беск дробь устроена так. Перед зпт 0 после зпт подряд члены ар прогрессии d-целое

Из записи удалены минусы если есть Найти число

4) беск дробь устроена так. Перед зпт 0 после зпт подряд члены ар прогрессии d-целое

Получ рац число. Найти число

5)Перед кажд из чисел 4,5,…12 и 10,11,…16 случ стоит + или - К кажд из образ чисел 1 набора прибав число 2-го набора а затем все 63 рез склад. Какую мин по мод сумму и наиб сумму м получ?

6)Произвед всех делителей N оканч на 333 нуля. На ск нулей м оканч n?

7)Cравн.по мод док, что при любом нат n число 37 ⁿ⁺² +16 ⁿ⁺¹ +23 ⁿ делится на 7 .

37 є 2(mod 7), 16 є 2(mod 7), 23 є 2(mod 7)

Найдите все целые значения m и k такие, что