Самостоятельные работы по геометрии 10 класс

Самостоятельная работа 1.1

Введение в стереометрию. Аксиомы стереометрии

Вариант 1

А1. Пользуясь изображением на рисунке 1, назовите:

а) точку пересечения прямой AD с плоскостью DD₁C;

б) линию пересечения плоскостей ADD₁ и D₁CD.

В какой из плоскостей ADD₁, A₁B₁B, ВВ₁С₁, ВСD не лежит точка А?

А2. Перечертите рисунок 2 в тетрадь и постройте:

а) точку пересечения прямой MH с плоскостью АВС;

б) линию пересечения плоскостей MHB и АBC.

_______________________________________________

В1. Точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Принадлежит ли точка С плоскости, в которой лежат точки А, В и О?

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

______________________________________________________________________

Самостоятельная работа 1.1

Введение в стереометрию. Аксиомы стереометрии

Вариант 2

А1. Пользуясь изображением на рисунке 1, назовите:

а) точку пересечения прямой МС с плоскостью В₁ВC₁;

б) линию пересечения плоскостей МС₁С и ВСВ₁.

В каких из плоскостей ADD₁, ABB₁, ABD, MD₁С₁, лежит прямая MD₁?

А2. Перечертите рисунок 2 в тетрадь и постройте:

а) точку пересечения прямой РК с плоскостью АВС;

б) линию пересечения плоскостей РКС и АDC.

______________________________________________

В1. Точка О – центр окружности, описанной около четырехугольника АВСD. Точки А, О и С принадлежат плоскости . Принадлежит ли этой плоскости вершина D?

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

Самостоятельная работа 2.1

Параллельность прямых, прямой и плоскости

Вариант 1

А1. На рисунке 1 точки М, Н и Р – середины соответственно отрезков AD, DВ, AС, PK || MH. Найдите периметр четырех угольника МНРК, если АВ = 8 см, СD = 10 см.

А2. Некоторая плоскость пересекает боковые стороны АВ и CD трапеции АВСD в точках М и К соответственно. Докажите, что AD || , если М и К – середины боковых сторон трапеции.

_______________________________________________

В1. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и СD, АС и ВD, АD и ВС, пересекаются в одной точке.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

___________________________________________________________________

Самостоятельная работа 2.1

Параллельность прямых, прямой и плоскости

Вариант 2

А1. На рисунке 1 точка А – середина отрезка PK, АВ || СD, ВC || AD, ВC || PM, CD || HK. Найдите PM и НК, если СD = 16 дм, ВC = 8 дм.

А2. Плоскость пересекает стороны ВА и ВC треугольника АВС в точках Н и К соответственно. Докажите, что AС || , если Н и К – середины сторон АВ и ВС.

_______________________________________________

В1. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любые две из трех прямых, соединяющие середины отрезков АВ и СD, АС и ВD, АD и ВС, лежат в одной плоскости.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

Самостоятельная работа 2.2

Взаимное расположение прямых в пространстве

Вариант 1

А1. Точка М не принадлежит плоскости треугольника АВС. Каково взаимное расположение прямых МА и ВС? Ответ обоснуйте.

А2. На рисунке 1 прямая НА пересекает плоскость АВС. Каково взаимное расположение прямых ОН и РК? Ответ обоснуйте.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

___________________________________________________________________

Самостоятельная работа 2.2

Взаимное расположение прямых в пространстве

Вариант 2

А1. Точка М не принадлежит плоскости четырехугольника АВСD. Каково взаимное расположение прямых МD и ВС? Ответ обоснуйте.

А2. На рисунке 1 прямая МВ пересекает плоскость АВС. Каково взаимное расположение прямых ОК и РН? Ответ обоснуйте.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

Самостоятельная работа 2.3

Параллельность плоскостей. Тетраэдр и параллелепипед

Вариант 1

А1. Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости . Через середину ВА – точку М проведена плоскость , параллельная плоскости и пересекающая ВС в точке К. Найдите МК, если АС = 10 см.

А2. В тетраэдре DABC постройте сечение плоскостью, проходящей через середину ребра DC, вершину В и параллельной прямой АС.

А3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки К, Р и М принадлежат соответственно ребрам АА₁, А₁В₁ и ВС. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью КРМ.

Задания А1-А3 соответствуют уровню обязательной подготовки.

___________________________________________________________________

Самостоятельная работа 2.3

Параллельность плоскостей. Тетраэдр и параллелепипед

Вариант 2

А1. Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости . Через середину АС – точку Р проведена плоскость , параллельная плоскости и пересекающая ВС в точке Е. Найдите АВ, если РЕ = 7 см.

А2. В тетраэдре DABC постройте сечение плоскостью, проходящей через вершину А, точку М ребра DВ, параллельной прямой ВС.

А3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки Р, Н и К принадлежат соответственно ребрам В₁С₁, СС₁ и АВ. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью РНК.

Задания А1-А3 соответствуют уровню обязательной подготовки.

Самостоятельная работа 3.1

Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант 1

А1. ВН – медиана треугольника АВС. Прямая МА перпендикулярна плоскости треугольника. Найдите угол между прямыми ВН и МА.

А2. Прямые АВ и СD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекают ее в точках В и В соответственно. Найдите АС, если АВ = 9, CD = 15, BD = 8.

______________________________________

В1. Все грани параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ – равные ромбы; углы между ребрами, имеющими общую точку А равны. Выясните, перпендикулярна ли прямая А₁С прямой B₁D₁.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

___________________________________________________________________

Самостоятельная работа 3.1

Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант 2

А1. СЕ – биссектриса треугольника АВС. Прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника. Найдите угол между прямыми CE и BD.

А2. Отрезок МН не имеет общих точек с плоскостью. Прямые МР и НО, перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках Р и О соответственно, МР = 12 дм, РО = 5 дм, НО = 24 дм. Найдите МН.

______________________________________

В1. В параллелепипеде МРКНМ₁Р₁К₁Н₁ все грани – ромбы;

. Выясните, перпендикулярна ли прямая Р₁Н прямой МК.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

Самостоятельная работа 3.2

Перпендикуляр и наклонные

Вариант 1

А1. В треугольнике АВС АС = ВС = 10 см, . Прямая BD перпендикулярна плоскости треугольника, BD = 5см. Найдите расстояние от точки D до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости ADC.

А2. Отрезок АМ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника АВСD. Угол между прямой МС и этой плоскостью равен 30⁰, , CD = 2. Найдите АМ.

______________________________________

В1. Даны две параллельные плоскости и множество треугольников таких, что в каждом треугольнике две вершины принадлежат первой из двух данных плоскостей, а третья вершина – второй . Какую фигуру образует множество всех точек пересечения медиан треугольников?

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

___________________________________________________________________

Самостоятельная работа 3.2

Перпендикуляр и наклонные

Вариант 2

А1. В треугольнике АВС угол С прямой, а . Через точку С проведена прямая СМ, перпендикулярная плоскости треугольника, АС = 18см,

СМ = 12 см. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ и расстояние от точки В до плоскости ACМ.

А2. Отрезок ВМ является перпендикуляром к плоскости параллелограмма АВСD. Угол между прямой МА и этой плоскостью равен 60⁰. , АВ = 20 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

______________________________________

В1. Даны две параллельные плоскости и и множество треугольников таких, что одна сторона каждого треугольника лежит в плоскости , а середина другой – в плоскости . Какую фигуру образует множество вершин этих треугольников, не принадлежащих плоскости ?

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

Самостоятельная работа 3.3

Перпендикулярность плоскостей

Вариант 1

А1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание АВCD – квадрат, . а) Найдите СC₁. б) Докажите, что плоскости АСC₁ и ВB₁D₁ взаимно перпендикулярны.

А2. Отрезок АМ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника АВСD. Угол между прямой МС и этой плоскостью равен 30⁰, , CD = 2. Найдите двугранный угол MCDA.

______________________________________

В1. Точки М, Н и Р – являются соответственно серединами ребер А₁В₁, В₁С₁ и АD куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Периметр сечения куба плоскостью МРН равен . Докажите, что плоскости МНР и ВDD₁ взаимно перпендикулярны.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

___________________________________________________________________

Самостоятельная работа 3.3

Перпендикулярность плоскостей

Вариант 2

А1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ . а) Найдите АC₁. б) Докажите, что плоскости АA₁C₁ и АВС взаимно перпендикулярны.

А2. В треугольнике АВС угол С прямой, BC =2. Проекцией этого треугольника на некоторую плоскость является треугольник BCD, , двугранный угол АВСD равен 45⁰. Найдите угол между прямой АС и плоскостью ВСD.

______________________________________

В1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ диагональ . Точки М, Н и Р – середины соответственно ребер B₁C₁, C₁D₁ и DD₁. Докажите, что плоскости АA₁C₁ и МНР взаимно перпендикулярны.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

Самостоятельная работа 4.1

Призма

Вариант 1

А1. В правильной треугольной призме длины всех ребер равны 2 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и середину противолежащей стороны основания.

А2. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ . Найдите площади боковой и полной поверхности параллелепипеда.

______________________________________

В1. В наклонной треугольной призме площади двух боковых граней равны

40 см² и 80 см². Угол между ними равен 120^о. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если длина бокового ребра равна 10 см.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

___________________________________________________________________

Самостоятельная работа 4.1

Призма

Вариант 2

А1. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 4 см, а боковое ребро см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро АA₁ и середину стороны CD основания.

А2. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ . Найдите площади боковой и полной поверхности параллелепипеда.

______________________________________

В1. В наклонной треугольной призме площади двух боковых граней равны

. Угол между ними равен 135^о. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если длина бокового ребра равна 3 см.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

Самостоятельная работа 4.2

Пирамида

Вариант 1

А1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 5 см, а высота 7 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

А2. В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45^о. Расстояние от центра основания до боковой грани равно . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

______________________________________

В1. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 10 и 8 см, а высота равна . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

___________________________________________________________________

Самостоятельная работа 4.2

Пирамида

Вариант 2

А1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а высота 6 см.. Найдите площадь поверхности пирамиды.

А2. В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60^о. Расстояние от центра основания до боковой грани равно 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

______________________________________

В1. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 6 и 3 см, а высота равна см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

.

Задания А1-А2 соответствуют уровню обязательной подготовки.

Самостоятельная работа 4.3

Правильные многогранники

Вариант 1

А1. Найдите площадь поверхности правильного октаэдра, ребро которого равно 4 см.

А2. Ребро куба равно 8 см. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали трех его граней.

А3. Сколько осей симметрии и сколько плоскостей симметрии имеет правильный тетраэдр?

______________________________________

В1. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.

Задания А1-А3 соответствуют уровню обязательной подготовки.

___________________________________________________________________

Самостоятельная работа 4.3

Правильные многогранники

Вариант 2

А1. Найдите площадь поверхности правильного октаэдра, ребро которого равно см.

А2. Ребро куба равно 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.

А3. Сколько осей симметрии и сколько плоскостей симметрии имеет куб?

______________________________________

В1. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.

.

Задания А1-А3 соответствуют уровню обязательной подготовки.