Сборник задач по астрономии часть 2.

http://afportal.kulichki.ru

Астрономические наблюдения.

1. Меняется ли вид звезды при наблюдении в телескоп в зависимости от увеличения?

Нет. Вследствие большой удаленности звезды видны как точки даже при наибольшем возможном увеличении.

2. Почему при наблюдении с Земли вам кажется, что в течение ночи звезды перемещаются по небесной сфере?

Потому что Земля вращается вокруг своей оси внутри небесной сферы.

3. Чтобы вы посоветовали астрономам, которые хотят изучать Вселенную, используя гамма-лучи, рентгеновские лучи и ультрафиолетовое излучение?

Поднять инструменты над земной атмосферой. Современная техника делает возможным наблюдение в этих участках спектра с воздушных шаров, искусственных спутников Земли или даже с лунных обсерваторий.

4. Объясните, в чем основное между телескопом – рефлектором и телескопом – рефрактором.

В типе объектива. В телескопе – рефлекторе используется зеркало, в то время как в телескопе – рефракторе – линза.

5. Назовите две основные части телескопа и объясните их назначение.

Объектив – собирает свет и строит изображение. Окуляр – увеличивает изображение, построенное объективом.

Созвездия. Звездные карты. Небесные координаты.

1. Опишите, какие суточные круги описывали бы звезды, если бы астрономические наблюдения проводились: а) на Северном полюсе; б) на экваторе.

а) Видимое движение всех звезд происходит по кругам, параллельным горизонту. Северный полюс мира при наблюдении с Северного полюса Земли находится в зените. б) Все звезды восходят под прямыми углами к горизонту в восточной части неба и также заходят в западной. Небесная сфера вращается вокруг оси, проходящей через полюса мира, на экваторе расположенные точно на линии горизонта.

2. Выразите 10 ч 25 мин 16 с в градусной мере.

Земля за 24 ч совершает один оборот – 360^о. Следовательно, 360^о соответствуют 24 ч, тогда 15^о соответствует 1 ч, 1^о – 4 мин, 15^/ – 1 мин, 15^// – 1 с. Таким образом 10 ч 25 мин 16 с составляют 156^о 19^/.

3. Определите по звездной карте экваториальные координаты Веги.

Заменим название звезды буквенным обозначением  Лиры и найдем ее положение на звездной карте. Через воображаемую точку проводим круг склонения до пересечения с небесным экватором. Дуга небесного экватора, которая лежит между точкой весеннего равноденствия и точкой пересечения круга склонения звезды с небесным экватором, является прямым восхождением этой звезды, отсчитанным вдоль небесного экватора навстречу видимому суточному обращению небесной сферы. Угловое расстояние, отсчитанное по кругу склонения от небесного экватора до звезды, соответствует склонению. Таким образом,  = 18 ч 35 мин  = +38^о.

4. Определите моменты восхода и захода звезды  Большого Пса 22 декабря.

Накладной круг звездной карты поворачиваем так, чтобы звезда пересекала восточную часть горизонта. На лимбе напротив отметки даты 22 декабря находим местное время ее восхода. Располагая звезду в западной части горизонта, определяем местное время захода звезды. Получаем T_{м. восх} = 20 ч 20 мин; T_{м. зах} = 5 ч.

5. Определить дату верхней кульминации звезды Регул в 21 час по местному времени.

Устанавливаем накладной круг так, чтобы звезда Регул ( Льва) находилась на линии небесного меридиана (0^h – 12^h шкалы накладного круга) на юг от северного полюса. На лимбе накладного круга находим отметку 21 и напротив ее на краю накладного круга определяем дату – 10 апреля.

6. Вычислить, во сколько раз Сириус ярче Полярной звезды.

Принято считать, что при разности в одну звездную величину видимая яркость звезд отличается примерно в 2,5 раза. Тогда разность в 5 звездных величин соответствует различию в яркости ровно в 100 раз. Так, звезды 1-й величины в 100 раз ярче звезд 6-й величины. Следовательно, разность видимых звездных величин двух источников равна единице, когда один из них ярче другого в (эта величина примерно равна 2,512). В общем случае отношение видимой яркости двух звезд I₁:I₂ связано с разностью их видимых звездных величин m₁ и m₂ простым соотношением

.

Светила, яркость которых превосходит яркость звезд 1^m, имеют нулевые и отрицательные звездные величины (0^m, –1^m и т. д.). Звездные величины Сириуса m₁ и Полярной звезды m₂ находим из таблицы. m₁ = –1,6, а m₂ = 2,1. Прологарифмируем обе части указанного выше соотношения

.

Таким образом

.

Сириус ярче Полярной звезды в 30 раз.

7. Как вы думаете, можно ли долететь на ракете до какого-нибудь созвездия?

Созвездие – это условно определенный участок неба, в пределах которого оказались светила, находящиеся от нас на разных расстояниях. Поэтому выражение «долететь до созвездия» лишено смысла.

Эклиптика. Видимые движения Солнца и Луны. Солнечные и Лунные затмения.

1. На сколько смещается Солнце по эклиптике каждый день?

В течение года Солнце описывает по эклиптике круг в 360^о, поэтому .

2. Почему солнечные сутки на 4 мин длиннее звездных?

Потому что, вращаясь вокруг собственной оси, Земля также движется по орбите вокруг Солнца. Земля должна сделать чуть больше одного оборота вокруг своей оси, чтобы для одной и той же точки Земли. Солнце вновь наблюдалось на небесном меридиане.

3. Объясните, почему Луна ежедневно восходит в среднем на 50 мин позже, чем накануне.

В данный день в момент восхода Луна находится в определенном созвездии. Спустя 24 ч, когда Земля завершит один полный оборот вокруг своей оси, это созвездие снова взойдет, но Луна за это время переместится примерно на 13^о в восточном направлении по отношению к звездам, и ее восход, поэтому наступит на 50 мин позже.

4. Почему до того, как космические аппараты облетели Луну и сфотографировали ее обратную сторону, люди могли видеть лишь одну ее половину?

Период вращения Луны вокруг оси равен периоду ее обращения вокруг Земли, так что она всегда обращена к Земле одной и той же стороной.

5. Какой наибольшей высоты достигает Вега ( = +38^о42^/) в Бобруйске ( = 53^о)?

В оспользуемся для решения задачи чертежом небесной сферы в проекции на плоскость меридиана. ZZ^/ – отвесная линия; PP^/ – ось мира; QQ^/ – небесный экватор; NS – линия горизонта.

h – высота светила M в верхней кульминации;  – склонение светила;  – широта местности.

Если географическая широта известна, то легко вычислить высоту светила в верхней кульминации:

h = 90^o –  + .

Тогда

h = 90^o – 53^o +38^o42^/ = 75^o42^/.

6. Почему в новолуние Луна с Земли не видна?

Луна в это время находится по туже сторону от Земли, что и Солнце, поэтому к нам обращена темная, не освещенная Солнцем половина лунного шара. В таком положении Земли, Луны и Солнца для жителей Земли может произойти солнечное затмение. Оно бывает не каждое новолуние, так как Луна проходит обычно в новолунии выше или ниже диска Солнца.

7. Опишите, как изменилось положение Солнца на небесной сфере с начала учебного года до 27 октября.

По звездной карте находим положение Солнца на эклиптике 1 сентября и 27 октября. 1 сентября Солнце находилось в созвездии Льва и имело склонение  = +10^о. Двигаясь по эклиптике, солнце 23 сентября пересекло небесный экватор и перешло в южное полушарие, 27 октября оно находится в созвездии весов и имеет склонение  = –13^о. То есть к 27 октября Солнце движется по небесной сфере, все меньше поднимаясь над горизонтом.

8. Наблюдатель увидел яркую звезду на высоте 49^о над горизонтом. Что за звезду видит человек, если известно, что он проводит свое наблюдение в г. Бобруйске.

Из условия задачи известно, что наблюдатель находится в городе Бобруйск, следовательно, широта местности нам известна –  = 53^о. Ось мира будет расположена под углом соответствующим широте местности (теорема о высоте полюса мира).

Нарисуем рисунок. Изобразим основные точки небесной сферы. Из рисунка находим

.

Из этого уравнения легко найти склонение звезды

.

Подставим значения и определим склонение

.

Из таблицы находим, что склонение 12^о соответствует звезде Регул,  Льва.

8. Почему затмения не наблюдаются каждый месяц?

Поскольку плоскость лунной орбиты наклонена к плоскости земной орбиты, то, например, в новолунии Луна не бывает на линии, соединяющей центры Солнца и Земли, а поэтому Лунная тень пройдет мимо Земли и солнечного затмения не будет. По аналогичной причине Луна не в каждое полнолуние проходит через конус земной тени.

9. Во сколько раз Луна быстрее Солнца перемещается по небу?

Солнце и Луна движутся по небу в направлении, противоположном суточному вращению неба. За сутки Солнце проходит приблизительно 1^о, а Луна – 13^о. Следовательно, Луна перемещается по небу в 13 раз быстрее Солнца.

10. Чем отличается по форме утренний серп Луны от вечернего?

Утренний серп Луны имеет выпуклость влево (напоминает букву «С»). Луна находится на расстоянии в 20 – 50^о к западу (вправо) от Солнца. Вечерний серп Луны имеет выпуклость вправо. Луна находится на расстоянии в 20 – 50^о восточнее (левее) Солнца.

Видимые движения планет. Законы Кеплера.

1. Как отличить по внешнему виду планету от звезды.

Внешние отличия следующие: звезды мерцают, а свет от планет ровный, спокойный. При наблюдении в телескоп у планет видны диски, а звезды выглядят светящимися точками.

2. Какую планету, хорошо видимую невооруженным глазом, трудно отыскать на небе? Почему?

Меркурий – самую близкую к Солнцу планету. Из-за своей близости к Солнцу эта планета большую часть года видна на светлом фоне зари и плохо заметна.

3. Определите синодический период обращения Меркурия, зная, что его звездный период обращения вокруг Солнца равен 0,24 года.

Угловая скорость вращения Земли (угол, описываемый ею за сутки) составляет , угловая скорость Меркурия – , где – число суток в году (сидерический период Земли), T – звездный период обращения планеты, выраженный в сутках. Следовательно, за сутки Земля обгоняет планету на

.

Если S – синодический период планеты в сутках, то через S суток Земля обгонит планету на 360^о, т. е.

.

Для внутренних планет, обращающихся быстрее, чем Земля, (планета будет обгонять Землю), надо писать:

.

Откуда получаем

.

4. Вычислите период обращения Нептуна вокруг Солнца, зная, что его среднее расстояние от Солнца равно 30 а. е.

Воспользуемся третьим законом Кеплера:

,

где T_H – звездный период Нептуна, a_H – среднее расстояние от Солнца (большая полуось орбиты), – звездный период Земли, – большая полуось земной орбиты (1 а. е.)

Тогда

.

5. Определите расстояние от Солнца до Урана, зная, что период обращения Урана вокруг Солнца равен 84 г.

По третьему закону Кеплера

,

откуда

.

6. Синодический период планеты 500 сут. Определите большую полуось ее орбиты и звездный период обращения.

Большую полуось орбиты можно определить из третьего закона Кеплера:

, откуда ,

а звездный период – из соотношения между сидерическим и синодическим периодами:

(если планета внешняя)

(если планета внутренняя).

Тогда (для внешней) и (для внутренней).

(внешняя планета)

(внутренняя планета)

– планета внешняя,

– планета внутренняя.

Наземные и орбитальные телескопы. Исследование электромагнитного излучения небесных тел.

1. Объяснить, почему звезда, которая для невооруженного глаза выглядит одиночкой, при наблюдении в телескоп может разделиться на две близко расположенные звезды, то есть оказаться двойной звездной системой.

Разрешающая сила человеческого глаза составляет примерно 1^/. Разрешающая сила телескопа пропорциональна диаметру объектива, а диаметр объектива телескопа намного больше диаметра зрачка.

2. Почему инфракрасные телескопы располагаются в высокогорных засушливых районах?

В любом другом месте водяной пар, содержащийся в атмосфере, сильно поглощает инфракрасные лучи. К тому же высоко в горах не так сильно проявляет себя излучение Земли.

3. Перечислите достоинства радиотелескопов.

– Обнаруживают радиоисточники – объекты, которые излучают в основном в радиодиапазоне.

– Выявляют, источники, расположенные за облаками межзвездной пыли в области Млечного пути, недоступные для оптических телескопов.

– Работают при облачной погоде и в дневное время.

– Выявляют источники радиоволн, которые находятся за пределами возможностей наших органов чувств.

4. Предположим, что вы наблюдаете на небе две звезды: голубую и красную. Объясните, как можно узнать, какая из них горячее.

Голубая звезда горячее. По закону излучения Вина, чем короче длина волны, на которой звезда излучает максимум энергии, тем она горячее. У голубого цвета длина волны короче, чем у красного.

5. В спектре звезды желтая линия паров натрия с длиной волны 586 нм смещена на 0,056 нм к красному концу спектра. Определите направление и модуль скорости звезды.

Лучевые скорости (скорости движения небесных светил относительно Земли по лучу зрения) определяются с помощью спектрального анализа. При этом используется эффект Доплера, суть которого состоит в том, что линии в спектре источника, приближающегося к наблюдателю, смещаются к фиолетовому концу спектра, а линии в спектре удаляющегося источника смещены к красному концу спектра.

Эта зависимость выражается формулой

,

где v – лучевая скорость, _о – длина волны, которую принимает наблюдатель от неподвижного источника,  – длина волны, которую наблюдатель принимает от движущегося источника, c – скорость света.

Лучевая скорость равна ,

откуда

.

6. Вычислите доплеровское смещение линии водорода (_о = 486,13 нм), вызванное приближением звезды вдоль луча зрения со скоростью 40 км/с.

Используя зависимость

,

находим, что

.

Следовательно,

.

Поскольку звезда приближается к наблюдателю, то смещение линии водорода происходит к фиолетовому концу спектра.

Планеты земной группы.

1. Почему некоторые планеты кажутся ярче, чем самые яркие звезды?

Планеты несравненно ближе к нам, чем звезды, поэтому отраженный планетами свет Солнца ярче, чем собственный свет далеких звезд. Например, планета Венера в среднем ярче самой яркой звезды неба Сириуса в 10 раз.

2. Зависит ли смена года от расстояния Земли от Солнца (в перигелии Земля бывает около 3 января, а в афелии – 5 июня)?

Не зависит. Известно, что в январе в северном полушарии зима, а в июле – лето. Смена времен года на Земле (и других планетах) связана с углом наклона оси к плоскости орбиты.

3. Что было бы доступнее – наблюдать поверхность Земли с Марса или поверхность Марса с Земли?

Поверхность Марса доступнее для наблюдения. Во-первых, она в отличие от поверхности Земли, редко бывает скрыта облаками. Во-вторых, при минимальном расстоянии от Земли Марс находится в противостоянии и с Земли видно целое полушарие планеты. Земля же для наблюдателя, располагающегося на Марсе, имеет при том же расстоянии вид узкого серпа, так как находится близ соединения с Солнцем.

4. Масса голубой планеты в 6 раз больше массы Земли. Каков радиус этой планеты, если ускорение свободного падения на ее поверхности такое же, как на Земле.

Как следует из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения,

,

m – масса тела, находящегося на поверхности Земли.

Отсюда

.

Аналогично получаем

,

здесь a – ускорение свободного падения на планете.

Приравняв выражения для a и g, находим

.

Таким образом, радиус планеты равен 15700 км.

5.Во сколько раз надо увеличить скорость вращения Земли вокруг своей оси, чтобы тела на экваторе весили вдвое меньше, чем на полюсе? Считайте, что форма Земли не изменилась бы.

Тела на экваторе участвуют в суточном вращении Земли, при этом их центростремительное ускорение

,

направлено к центру Земли и вес тела равен N = m(g – a). Здесь  и T – угловая скорость и период суточного вращения Земли. Согласно условию , откуда .

Подставив числовые значения, получим T = 2 ч. Таким образом, чтобы тела на экваторе весили вдвое меньше, чем на полюсе, скорость вращения Земли необходимо увеличить в 12 раз.

Заметим, что на самом деле форма столь быстро вращающейся планеты сильно отличалась бы от сферической – планета была бы сильно сплюснута у полюсов.

6. Во сколько раз следует укоротить сутки, чтобы на экваторе ощущалась невесомость? Не будет ли каких-либо неприятных побочных эффектов от этого?

Невесомость на экваторе будет наблюдаться при a = g, где a – центростремительное ускорение точек на экваторе. Именно при таком ускорении тела на экваторе будут фактически находиться в состоянии свободного падения. Поскольку

,

R – радиус Земли, T – продолжительность суток,

.

То есть сутки следует укоротить в

раз,

T_o = 24 ч.

Подстановка дает T = 5080 c = 1 ч 25 мин и n = 17.

«Побочные эффекты» будут ужасающие! Молекулы атмосферы из-за трения о Землю будут разгоняться, и даже при гораздо меньшем увеличении скорости вращения Земли значительная часть получит возможность преодолеть земное тяготение и улететь в окружающее космическое пространство. Земля начнет быстро терять атмосферу. При наступлении на экваторе невесомости этот процесс станет катастрофически быстрым – возникнут могучие воздушные потоки от полярных областей к экватору, а от экватора – в открытый космос.

12