ШКОЛЬНЫЙ  ЭТАП  олимпиады по математике  2018-2019 уч. год 8 класс

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП 2018-2019 уч. год

8 класс

(2,25 часа или 3 урока)

1. Сколько решений имеет ребус БАХ+АХ=БУХ? Одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные буквы – разным цифрам.

Ответ:28 решений.

Решение. Так как Х+Х=Х, то Х=0 (1). Так как первый разряд остался равным Б, то перехода в новый разряд во втором разряде не происходит. Значит, 2А меньше 10, то естьА=1, 2, 3 или 4, причём А=0 не может быть, так как Х=0 (2). Определены три буквы, то есть заняты три цифры, в том числе и 0. Поэтому Б может принимать одно из 7 значений (3). Всего решений получаем 4×7=28.

Критерии.

Только ответ без обоснования – 0 баллов.

Обосновано только одно из трёх утверждений – 1 балл

Обосновано только два из трёх утверждений – 3 балла

Указаны все 28 способов (перечислены явно)– 5 баллов.

Указаны все 28 способов и обосновано, что других нет – 7 баллов.

1. Доктор Айболит раздал четырем заболевшим зверям 2018 чудодейственных таблеток. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот – на две больше, чем носорог, а слон – на три больше, чем бегемот. Сколько таблеток придется съесть слону?

Ответ:508 таблеток.

Решение: (2018 – (1+3+6)):4=502 таблетки получил крокодил. Значит, слону придётся съесть 508 таблеток.

Критерии.Если есть только верный ответ – 1 балл.

Если верно найден алгоритм решения, но есть вычислительная ошибка – 3 балла.

Верное решение – 7 баллов.

1. Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этихчисел?

Ответ.–2.

Решение.Дано: ,

.

Первый способ.

Используя условие , получаем, что (1). Отсюда , и изпервого уравнения получаем, что a + b = .

Второй способ.

,

.

Очевидно, все множители в приведённых равенствах не равны нулю. Разделимвторое уравнение на первое и обозначим искомую сумму a + b = х Тогда , откуда х = .

Критерии.

Неверное решение – 0 баллов

Только верный ответ без обоснования — 2 балла

Правильно получены уравнения (1) из любого способа, далее нет продвижения или вычислительная ошибка – 3 балла.

Верное решение — 7 баллов.

1. В треугольнике ABC провели биссектрисы AL и BK, которые пересекаются в точке I. Оказалось, что BI= LI. Найдите величину угла A, если величина угла C равна 30.

Решение.Пусть BAC=2α, а ABC=2β.

Тогда LBI= LI=β. По свойству внешнего угла треугольника β=α+30° (утверждение 1). По теореме о сумме углов треугольника получаем 2α+2β+30°=180° или 2α+(2α+60°)+30°=180°. Откуда 2α=45°.

Критерии.

Если верно доказано утверждение 1 – 3 балла.

Верное решение – 7 баллов.

1. В доме у крокодила Гены 10 ламп. Чебурашка сказал: «В доме есть 5 включённых ламп». Гена ему ответил: «Ты не прав, Чебурашка». И добавил: «В доме есть три выключенные лампы». Тогда Чебурашка сказал: «Включено чётное число ламп». Оказалось, что из четырёх сделанных утверждений только одно верное. Сколько ламп включено?

Ответ.9.

Решение.Первое и третье утверждения одновременно не могут быть оба неверными, иначе в комнате было бы меньше пяти включённых ламп и меньше трёх выключенных, т. е. всего меньше восьми ламп, что противоречит условию. Первое и второе утверждения также немогут быть одновременно неверными. Значит, среди утверждений1 и 3 есть верное, и среди утверждений1 и 2 естьверное. Поскольку верное утверждение всегоодно, это утверждение 1,а остальные утверждения неверны. Значит, в комнате меньше трёх выключенных ламп(так как утверждение 3неверно). Тогда включённыхламп хотя бы восемь,причём их количествонечётно (так как утверждение 4 неверно). Значит, ихдевять.

Критерии.

Приведён только ответ — 0 баллов.

Приведён верный ответ, и без обоснования указано,что при этом верно только утверждение 1, но не объяснено, почему не может быть верно другое утверждение и почему не возможен какой-либо другой ответ, — 2 балла.

Объяснено, что верным может быть только утверждение 1, но дальнейшие рассуждения неверны или в них сделано не менее двух ошибок при построении отрицаний — 2 балла.

Сказано, но не доказано, что верным можетбыть только утверждение 1,зато потом из этого факта верновыведено, что включённых ламп9, — 3 балла.

Объяснено, что верным может быть толькоутверждение 1, но далеесделана одна ошибка при построении отрицаний к одномуиз утверждений 2, 3,4, приводящая к неверному ответу(например, где-то «включено» перепутанос «выключено» или «чётное» не превращено в«нечётное»), — 3 балла.

Верное и полное решение, но дан ответ не на тот вопрос («1 выключенная лампа») — 6 баллов.

Любое полное верное решение — 7 баллов.