ШКОЛЬНЫЙ  ЭТАП  олимпиады по математике  2018-2019 уч. год 11 класс

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП 2018-2019 уч. год

11 класс

(3 часа или 4 урока)

1. Квадратный трехчлен не имеет корней и . Найдите знак выражения .

Ответ: .

Решение.Если квадратный трёхчлен не имеет корней, то, либо и все его значения положительны, либо и все его значения отрицательны. Ввиду того, что , имеем второй случай, тогда и .Поэтому произведение положительно.

Критерии.

Если ответ не обоснован – 0 баллов.

Верное решение – 7 баллов.

1. Можноли все натуральные числаот 1 до 2018 разбить на пары так,чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6?

Ответ.Нет.

Решение.Если требуемоев задаче возможно, то числа, кратные шести, должныразбиться на пары. Так как2018 = 371×6, чисел от1 до 2018, кратных шести,ровно 371. Противоречие: 371число нельзя разбить на пары.

Критерии.

Приведён только ответ — 0 баллов.

Утверждается, что «не сойдутся остатки чисел», но не приводятся конкретные противоречия. Например, говорится, что чисел, кратных 6, нечётное количество, но не объясняется почему — 2 балла.

Верно подсчитано количество чисел с теми остатками, на которыхосновано получение противоречия, но ошибочно указано количество чиселс какими-то другими остатками — 5 баллов.

Любое полное верное решение — 7 баллов.

1. Труппа состоит из 10 артистов. Сколькими способами можно выбрать из неё для двух вечеров по 6 человек для участия в спектаклях так, чтобы эти составы не совпадали друг с другом?

Ответ: .

Решение.Для первого вечера можно набрать 6 человек способами. Для второго вечера можно набрать 6 человек способами, так как нельзя повторять состав.По правилу произведения получаем:

Критерии.

Если дан только ответ без пояснений – 0 баллов.

Если при решении не учтено, что составы различны – 3 балла.

Верное решение – 7 баллов.

1. Дан остроугольныйтреугольник XYZ. Точка A является серединой стороны XZ, точка B – серединой XY, точка C – серединой YZ. Из этих точек проведены перпендикуляры к двум другим сторонам треугольника. Перпендикуляры из A и B пересекаются в точке K, перпендикуляры из B и C – в L, а перпендикуляры из C и A – в N.Найдитеплощадь шестиугольникаAKBLCN, если площадь треугольника XYZравнаS.

Ответ: 0,5S .

Решение.

Обозначим вершины исходного треугольника буквамиX, Y, Z, середины

сторон — буквамиА, В, С, точки пересечения перпендикуляров — K, L, N.

Площадь искомого шестиугольника равна суммеплощадей треугольника АВС итрёх маленьких треугольников, примыкающих к егосторонам: AKB, BLC, CNA.

Так как средние линии треугольника XYZ разбивают его на 4 равныхтреугольника, площадь треугольника АВС равна 0,25S.

Проведём в треугольнике ABC отрезки высотдо точки их пересеченияH. Таккак средняя линия BA параллельна сторонеYZ, проведённые к ним перпендикулярыСН и АNтакже параллельны.Рассуждая аналогично, получаем, что АН||СN, и, значит,АНСN — параллелограмм.

Диагональ АС разбивает параллелограмм АНСNна два равных треугольника,следовательно, площади треугольников АНС и АNС равны.Точно так же равныплощади треугольников АНВ и АКВ и площадитреугольников СНВ и CLВ.Отсюда получаем, что искомая площадьв два раза больше площадитреугольника АВС и равна 0,5S.

Замечание. Исходный треугольник долженбыть остроугольным, чтобы всевысоты проходили внутри соответствующих треугольников.

Критерии проверки.

Неверное решение – 0 баллов.

Верный ответ без обоснования — 1 балл

Приведено верное разбиение шестиугольника на части, но равенство фигур никак не обосновывается, а только утверждается, и получен верный ответ — 3 балла.

Равенство всех нужных фигур (и площадей) доказано, но площадь ненайдена — 4 балла.

Любое полное верное решение — 7 баллов.

1. Три пирата вечером поделили добытые за день бриллианты: по двенадцать Биллу и Сэму, а остальные — Джону, который считать не умел. Ночью Билл у Сэма, Сэм у Джона, а Джон у Билла украли по одному бриллианту. В результате средняя масса бриллиантов у Билла уменьшилась на один карат, у Сэма уменьшилась на два карата, зато у Джона увеличилась на четыре карата. Сколько бриллиантов досталось Джону?

Ответ. 9 бриллиантов.

Решение. Заметим, что количество бриллиантов у каждого пирата за ночь не изменилось. Так как у Билла — 12 бриллиантов, а их средняя масса уменьшилась на 1 карат, то сумма их масс уменьшилась на 12 каратов. Аналогично, у Сэма — также 12 бриллиантов, их средняя масса уменьшилась на 2 карата, поэтому сумма их масс уменьшилась на 24 карата. Поскольку масса бриллиантов у Билла и Сэма уменьшилась на 36 каратов, то у Джона она на те же 36 каратов увеличилась. Так как средняя масса бриллиантов Джона увеличилась на 4 карата, то у него было 36 : 4=9 бриллиантов.

Пример: у Билла 11 бриллиантов по 1 карату и один 37 карат, у Сэма 11 бриллиантов по 1 карату и один 25 карат, у Джона 9 бриллиантов по 1 карату.Ночью Билл украл у Сэма бриллиант в 25 карат, Сэм у Джона – бриллиант в 1 карат, Джон у Билла – бриллиант в 37 карат.

Критерии.

Ответ без обоснования – 0 баллов.

Приведён пример с правильным ответом (нет обоснования единственности ответа)– 2 балла.

С помощью верных рассуждений найден верный ответ, но не приведён пример для этого ответа – 5 баллов.

Верное решение – 7 баллов.