Система эвристик первого уровня

7 класс

Место в системе уроков математики на уровне ООО

Раздел

Класс

Контекст

Эвристики

Алгебра (Решение уравнений и задач)

Гоша нашёл в кабинете естествознания 3 гири и весы. После того как он всё
взвесил, оказалось, что:
 Первая гиря в 4 раза тяжелее второй;
 Третья гиря в 3 раза тяжелее первой;
 Суммарный вес всех гирь – 340 грамм.
Определите вес первой гири. Ответ выразите в граммах

7

Данная задача идеально подходит для этапа закрепления темы «Решение задач с помощью линейных уравнений». Она требует от учащихся умения переводить словесное условие на математический язык, вводить переменную и составлять уравнение, связывающее известные величины. Также задача может быть использована на уроках для демонстрации метода решения задач «на части», что развивает гибкость мышления.

«Какая из трёх гирь связана с двумя другими? Попробуй обозначить её вес за неизвестное и выразить через него веса остальных гирь.»

«Представь, что вторая гиря – это одна часть. Тогда скольким частям будет равна первая гиря? А третья?»

«Как, используя соотношения между гирями, можно записать общий вес всех трёх гирь в виде одного выражения? Чему равна сумма этих "частей"?»

Логика и комбинаторика

В 7«А» учится 26 детей, которые на всех уроках сидят по двое за партой.
Однажды в этом классе провели самостоятельную работу, за которую каждый
получил четвёрку или пятёрку.
Все ученики заявили следующее:
«Все сидящие не за одной партой со мной получили четвёрки.»
Оказалось, что правду сказали только те ученики, которые получили пятёрку.
Сколько всего четвёрок было выставлено за эту самостоятельную работу?

7

Этап закрепления темы «Решение задач с помощью линейных уравнений». Развивает умение переводить словесное условие на математический язык, вводить переменную и составлять уравнение.

1. «Какая из трёх гирь связана с двумя другими? Попробуй обозначить её вес за неизвестное и выразить через него веса остальных гирь.»
2. «Представь, что вторая гиря – это одна часть. Тогда скольким частям будет равна первая гиря? А третья?»
3. «Как, используя соотношения между гирями, можно записать общий вес всех трёх гирь в виде одного выражения? Чему равна сумма этих "частей"?»

Логика и комбинаторика (Элементы теории графов)

В 10 кружков на картинке расставили целые числа от 1 до 10, каждое по разу.
Между некоторыми парами из них нарисовали стрелку или отрезок, руководствуясь
следующими правилами:

Если одно число делится на другое, то от большего числа нарисовали стрелку

к меньшему;

Если ни одно число не делится на другое, то между ними нарисовали отрезок.

Затем все исходные числа стёрли. Восстановите, где какое число стояло.

В ответ запишите в произвольном порядке 5 чисел, которые стояли в пяти серых

кружках.

7

Урок обобщения по теме «Дроби и действия с ними». Учит работать с динамическими процессами и искать инвариант (неизменную величину).

1. «Что происходит с общим количеством конфет у Пети и Васи после каждого дня обмена? Меняется ли оно?»
2. «Давай обозначим количество конфет у Васи в начале как *x*. Тогда сколько конфет у Пети? Попробуй записать, сколько конфет станет у каждого после первого дня обмена.»
3. «Может быть, не обязательно считать конфеты каждый день для каждого мальчика? Посмотри на разницу между их количествами – как она меняется?»

Логика и комбинаторика (Экстремальные задачи)

По кругу стоят 36 натуральных чисел (не обязательно различных). Известно, что
в каждой тройке подряд идущих чисел есть число, большее суммы двух других.
Какое наименьшее значение может принимать сумма всех 36 чисел?

7

Внеурочная деятельность, математические кружки, олимпиадная подготовка. Развивает системное мышление и умение строить логические цепочки.

1. «Какое число (от 1 до 10) имеет больше всего делителей? А на какие числа делится оно само? Как это может помочь определить, какое число стоит в кружке, к которому ведёт больше всего стрелок?»
2. «Посмотри на кружок, который соединён отрезками (не стрелками) со всеми остальными. Что это означает для числа, которое там стоит? Какое число подходит под это описание?»
3. «Если от одного числа к другому идёт стрелка, что можно сказать об этих числах? Какое из них больше? Попробуй расставить числа, начиная с того, которое является «самым главным» (на которое никто не указывает).»

Геометрия (Периметр и площадь)

На рисунке изображены прямоугольники с одинаковыми периметрами: синие и
красные, причём одноцветные прямоугольники равны друг другу.
Два отмеченных отрезка равны 8 и 4 соответственно.

Найдите длину отрезка, обозначенного знаком «?»

7

Внеурочная деятельность, математические бои, факультативы. Развивает навык поиска оценок и граничных значений.

1. «Мы ищем наименьшую сумму. Значит, числа должны быть как можно меньше. Какое самое маленькое натуральное число мы можем взять?»
2. «Если мы поставим единицы во все кружки, будет ли выполняться условие про тройки? (В тройке 1, 1, 1: есть ли число, большее суммы двух других?) Чего не хватает?»
3. «Условие требует, чтобы в каждой тройке одно число было больше суммы двух других. Давай попробуем чередовать маленькие и большие числа. Какую последовательность можно построить, чтобы сумма была минимальной?»

Статистика и теория вероятностей (Среднее арифметическое)

На доске в строчку выписаны семь красных целых чисел, среднее арифметическое которых равно 18. Паша собирается записать под каждым красным числом
синее целое число, отличающееся от него не более чем на 3 (возможно, равное
красному). Сколько различных значений (не обязательно целых) может принимать
среднее арифметическое семи синих чисел?

7

Урок закрепления темы «Периметр прямоугольника». Задача на готовом чертеже учит переводить геометрические соотношения на алгебраический язык.

1. «Что значит "одноцветные прямоугольники равны"? Что можно сказать об их сторонах? Давай обозначим стороны синего прямоугольника буквами *a* и *b*, а красного – *c* и *d*.»
2. «Что означает "прямоугольники с одинаковыми периметрами"? Запиши это равенство с помощью наших обозначений. Что из него следует?»
3. «Посмотри на чертеж. Из каких отрезков состоят линии длиной 8 и 4? Вырази эти отрезки через *a*, *b*, *c*, *d*. У тебя получится система уравнений.»

Логика и комбинаторика (Комбинаторные задачи)

У Коли есть 100 монет и доска m × n, где m ≥ n и m 1. Он разложил все монеты
в клетки доски так, что в любых двух соседних по стороне клетках суммарно
оказалось ровно 10 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а
какие-то клетки могли оказаться пустыми). Какие значения может принимать m?
Укажите все возможные варианты.

7

Углубление темы «Среднее арифметическое». Учит оценивать границы изменения среднего и развивает комбинаторное мышление.

«Красные числа известны и в сумме дают 126 (18*7). Как может измениться эта сумма, если мы каждое красное число заменим на синее, которое отличается не более чем на 3?»
«На сколько самое большое может увеличиться сумма всех чисел? А на сколько уменьшиться? В каких случаях это произойдёт?»
«Если мы знаем, на сколько может измениться сумма, то на сколько может измениться среднее арифметическое? Какие значения он сможет принимать?»

8 класс

Место в системе уроков математики на уровне ООО

Алгебра (Действительные числа, степени)

8

Этап актуализации знаний при изучении темы «Степень с целым показателем». Учит представлять числа в разных формах.

1. «Как записать число 0,9...9 (с n девятками) в виде обыкновенной дроби или разности единицы и чего-то?»
2. «Наше неравенство приняло вид 1 - (1/10ⁿ) 2022/2023. Как его можно преобразовать, чтобы избавиться от дроби слева?»
3. «Мы получили, что 10ⁿ 2023. Какое наименьшее натуральное число n удовлетворяет этому неравенству? (10³ = 1000, 10⁴ = 10000)»

Алгебра (Системы линейных уравнений)

В очереди в буфет стоят несколько семиклассников и восьмиклассников. Если бы каждый семиклассник купил по 3 булочки, а каждый восьмиклассник – по 1, то
в буфете осталось бы 13 булочек. А если бы каждый семиклассник купил по 1 булочке,
а каждый восьмиклассник – по 3, то в буфете осталось бы 27 булочек. Сколько булочек
осталось бы в буфете, если бы каждый из школьников купил по 2 булочки?

8

Урок изучения нового материала. Демонстрирует, как введение нескольких переменных помогает моделировать ситуацию и находить искомое без определения всех переменных.

1. «Сколько различных неизвестных величин в этой задаче? (Количество семиклассников, восьмиклассников и исходное число булочек). Давай обозначим их буквами.»
2. «Как записать первое условие про 13 оставшихся булочек в виде уравнения с нашими переменными? А второе условие про 27 булочек?»
3. «У нас есть два уравнения и три неизвестных. Мы не можем найти их по отдельности. Но нам и не нужно это делать. Что мы хотим найти? (Количество оставшихся булочек, если каждый купит по 2). Как можно выразить эту величину через наши переменные? (B - 2*(c+v)). Может быть, мы сможем найти это выражение, не зная самих переменных?»

Алгебра (Степень с натуральным показателем, теория чисел)

Натуральное число 𝑘 ⩽ 100 таково, что 𝑘𝑘 является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать 𝑘?

8

Внеурочная деятельность, факультатив по теории чисел. Требует глубокого понимания свойств степеней и делимости.

1. «Давай разложим число k на простые множители. Когда произведение (k^k) будет точным квадратом? Что для этого должно быть верно для показателей степеней в разложении?»
2. «Показатель степени числа k – это само k. Что это означает для показателей простых множителей, входящих в разложение числа k? Они должны быть чётными или нет?»
3. «Попробуй рассмотреть разные случаи: когда k – точный квадрат, когда k – это 2, умноженное на точный квадрат, и так далее. Вспомни, что число является точным квадратом, если все степени в его разложении чётные. Что можно сказать про показатель k?»

Геометрия (Треугольники, биссектрисы, подобие)

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с углом 𝐵, равным 60∘, проведены биссектрисы 𝐴𝑌 и 𝐶𝑋.
На отрезках 𝐴𝑋 и 𝐶𝑌 отмечены точки 𝐾 и 𝑁 так, что 𝐾𝑁 ∥ 𝐴𝐶. Прямая 𝐾𝑁 пересекает
отрезки 𝐶𝑋 и 𝐴𝑌 в точках 𝐿 и 𝑀 соответственно. Оказалось, что 𝐾𝐿 = 𝐿𝑀 = 𝑀𝑁. Известно,
что 𝐾𝑁 = 9.

(а) (1 балл) Найдите длину отрезка 𝐶𝑁.
(б) (3 балла) Найдите длину отрезка 𝐴𝐶.

8

Олимпиадная подготовка, итоговое повторение геометрии. Учит видеть сложные конфигурации и выражать одни отрезки через другие.

1. «У нас есть треугольник, биссектрисы и отрезок KN, параллельный AC. Какие подобные треугольники мы можем здесь найти, используя это условие?»
2. «Нам дано, что KL = LM = MN. Что это означает для отрезков на биссектрисах CX и AY? Попробуй ввести переменную, например, KL = x, и выразить через неё другие отрезки.»
3. «Используй подобие треугольников, чтобы связать известную длину KN (которая равна 3x) с другими отрезками, например, с AX или CY. Как это поможет найти CN?»

Логика и комбинаторика

По кругу сидят 70 детей. Каждый из них сказал, что сидит между двумя мальчиками. Оказалось, что 50 детей сказали правду, а остальные – соврали.
1
(а) (2 балла) Какое наибольшее количество мальчиков могло сидеть за столом?
(б) (2 балла) Какое наименьшее количество мальчиков могло сидеть за столом?

8

Математический бой, кружок. Учит анализировать конфигурации, строить примеры и доказывать экстремальность.

1. «Давай изобразим сидящих по кругу. Когда высказывание "я сижу между двумя мальчиками" является правдой, а когда ложью? Рассмотри все возможные варианты соседей у мальчика и у девочки.»
2. «У нас 70 детей, 50 сказали правду. Как связать число мальчиков с числом правдивых высказываний? Может быть, можно подсчитать количество "правдивых" мест?»
3. «Для поиска максимума попробуй расположить мальчиков так, чтобы как можно больше детей (и мальчиков, и девочек) говорили правду. А для поиска минимума – наоборот, чтобы правдивых было как можно меньше, но их всё равно должно быть ровно 50.»

Алгебра (Делимость чисел)

На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 включительно. Назовём
выписанное число особенным, если сумма всех остальных выписанных чисел делится на
него.
(а) (2 балла) Найдите наибольшее особенное число.
(б) (2 балла) Сколько всего особенных чисел на доске?

8

Исследовательская задача для внеурочной деятельности. Учит переформулировать условие и сводить его к поиску делителей.

1. «Давай посчитаем сумму всех чисел от 1 до 60. Чему она равна (S)? Условие говорит, что число N – особенное, если сумма остальных чисел (S - N) делится на N. Как можно переформулировать это условие для суммы S?»
2. «Если (S - N) делится на N, то и S делится на N. Почему? Верно ли обратное?»
3. «Значит, особенное число – это такой делитель числа S, который сам не больше 60. Какие делители у числа S? Найди среди них наибольший, не превышающий 60. Сколько всего таких делителей?»

Логика и комбинаторика (Метод "с конца")

У Егора есть доска 5× 5, в каждой клетке которой изначально было написано
число 0. Он поставил фишку в левую нижнюю клетку и увеличил число в ней на 1. Далее
Егор перемещал фишку по доске, каждый раз переставляя в соседнюю по стороне клетку. После каждого перемещения Егор увеличивал число в клетке, в которой оказалась
фишка, на 1.
После последнего перемещения фишка оказалась в правой верхней клетке доски. Числа, получившиеся в остальных клетках доски, указаны на рисунке. Чему равно число в
правой верхней клетке доски?

8

Олимпиадный практикум. Учит анализировать процесс, рассматривая его в обратном направлении (инверсия).

1. «Что происходит с числом в клетке, когда фишка её посещает? Оно увеличивается на 1. Значит, число в каждой клетке показывает, сколько раз фишка в ней побывала.»
2. «Мы знаем числа во всех клетках, кроме конечной. Мы также знаем, что фишка начала путь в левом нижнем углу и закончила в правом верхнем. Попробуй решить задачу с конца: представь, что фишка идет из правого верхнего угла в левый нижний. Что будет происходить с числами?»
3. «При движении с конца, в каждой клетке мы будем уменьшать число на 1. Какое число должно быть в правом верхнем углу, чтобы, двигаясь обратно по одному из возможных путей, мы смогли "обнулить" все клетки?»

Геометрия (Четырёхугольники, треугольники)

На диагонали 𝐴𝐶 выпуклого четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝑇 так,
что 𝐴𝐷 = 𝐵𝑇. Оказалось, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝑇, ∠𝐴𝐵𝑇 = ∠𝐶𝐴𝐷, ∠𝐴𝐵𝐶 = 132∘. Сколько
градусов составляет угол 𝐵𝐶𝐷?

8

Олимпиадная подготовка. Требует аккуратного анализа условия и последовательного вычисления углов.

1. «У нас много равных отрезков: AD = BT, AB = BC = CT. Какие треугольники в этой конфигурации являются равнобедренными? Что можно сказать об их углах при основании?»
2. «Обозначь известные углы. Пусть ∠CAD = α. Тогда чему равен ∠ABT? (по условию). Где ещё мы можем увидеть угол α, используя равенства отрезков и свойства треугольников?»
3. «Мы знаем угол ABC = 132°. Попробуй выразить все углы в треугольниках через α и другие переменные, используя суммы углов треугольника (180°) и свойства смежных углов. Это позволит составить уравнение для нахождения α, а затем и искомого угла BCD.»

9 класс

Место в системе уроков математики на уровне ООО

Алгебра (Формулы сокращенного умножения)

Про положительные числа a и b известно, что a2+ab = 36 и b2 + ab = 64. Найдите значение a + b.

9

Этап актуализации знаний («эвристическая разминка») при повторении. Демонстрирует приём сложения уравнений.

1. «Что общего в левых частях этих двух уравнений? (Общий множитель ab). Что произойдёт, если мы сложим эти два уравнения?»
2. «После сложения у нас получилось a² + 2ab + b² = 100. Не напоминает ли тебе левая часть какую-то формулу сокращенного умножения?»
3. «Если (a+b)² = 100, и мы знаем, что a и b – положительные числа, чему тогда равно a+b?»

Логика и комбинаторика

Катя написала на доске натуральное число. За один ход она может
взять две подряд идущие цифры этого числа, произведение которых является
двузначным числом, и заменить их на это произведение.
Например, если бы число Кати было равно 1358, то она могла бы получить за
один ход из него 1158 или 1340.
Известно, что после того как Катя произвела 3 операции со своим числом, она
получила число 2345.
(а) (2 балла) Какое число Катя могла написать изначально? Приведите один
пример

9

Внеурочная деятельность, метод инверсии («с конца»). Развивает комбинаторное мышление.

1. «Мы знаем результат трёх операций – число 2345. Давай попробуем "отмотать" плёнку назад. Какие операции могли быть проделаны на последнем шаге, чтобы из какого-то числа получить 2345?»
2. «Что значит "обратная операция"? У нас есть двузначное число, которое получилось в результате умножения двух цифр. Чтобы вернуться назад, нужно это двузначное число заменить на две цифры, произведение которых равно этому числу.»
3. «Давай последовательно двигаться от конца к началу, рассматривая все возможные пары цифр в текущем числе, которые могут быть результатом такой замены. У нас три шага, нужно аккуратно перебрать варианты.»

Логика и комбинаторика

Петя и Вася плавают в бассейне размера 10 м × 17 м.
Известно, что кратчайшее расстояние от Пети до края бассейна равно 2 метра, а кратчайшее расстояние от Васи до края – 3 метра. Какое максимальное
расстояние может быть между Петей и Васей?

9

Урок по теме «Расстояние от точки до прямой» или внеурочное занятие. Учит строить области и находить экстремумы.

1. «Что означает "кратчайшее расстояние от Пети до края бассейна равно 2 метра"? Где может находиться Петя? Нарисуй внутри бассейна область, где он может быть.»
2. «То же самое для Васи: область, где он может находиться – это внутренность бассейна, отстоящая от всех стенок не менее чем на 3 метра.»
3. «Мы ищем максимальное расстояние между Петей и Васей. В каких точках своих областей они должны находиться, чтобы расстояние было наибольшим? (Наверное, в противоположных углах этих областей).»

Алгебра (Теория чисел)

В футбольном турнире участвовало десять команд, каждая сыграла с каждой один раз. Команды, занявшие первое и второе место, в
сумме набрали всего лишь на пять очков меньше, чем все остальные команды
вместе. Сколько очков набрала команда с минимальным количество очков? За
победу в футбольном турнире дают 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.

9

Математический бой, групповая работа. Учит системному подходу, оценке и поиску целочисленных решений.

1. «Сколько всего матчей было сыграно в турнире из 10 команд? (C(10,2)=45). Какое максимальное и минимальное количество очков может быть разыграно в одном матче? (3 или 2)»
2. «Обозначим сумму очков первых двух команд за X. Тогда, по условию, сумма очков остальных восьми команд равна X+5. Чему равна общая сумма очков всех команд? (2X+5). Эту же сумму можно найти, зная количество матчей и результаты в них.»
3. «Сумма очков всех команд (2X+5) должна быть целым числом, лежащим в определённых пределах (от 90 до 135, так как в каждом из 45 матчей разыгрывается 2 или 3 очка). Как это помогает найти X? Что можно сказать о команде с минимальным количеством очков?»

Алгебра (Обобщение и систематизация)

В футбольном турнире участвовало десять команд, каждая сыграла с каждой один раз. Команды, занявшие первое и второе место, в
сумме набрали всего лишь на пять очков меньше, чем все остальные команды
вместе. Сколько очков набрала команда с минимальным количество очков? За
победу в футбольном турнире дают 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.

9

Исследовательская работа, олимпиадный практикум. Учит применять разность квадратов для решения уравнений в целых числах.

1. «Давай введём обозначения: 15p - 15 = a², 16p - 15 = b². Что можно сделать с этими двумя уравнениями? (Например, вычесть одно из другого).»
2. «После вычитания мы получим: (16p - 15) - (15p - 15) = b² - a², или p = b² - a² = (b-a)(b+a). Что нам это даёт? Ведь p – простое число.»
3. «Если p – простое и равно произведению двух натуральных чисел (b-a) и (b+a), то что можно сказать об этих множителях? (Один из них равен 1). Так как a и b положительные, b-a

Логика и комбинаторика

Петя выписал на доску выражение 1 + 2 + . . . + 1000.
Его младший брат Вася в каждом числе вставил между всеми соседними цифрами знак умножения. Например, число 547 превратилось в 5 · 4 · 7. Чему равно
значение полученного выражения?

9

Этап обобщения знаний, небольшая исследовательская работа. Учит анализировать структуру чисел и группировать их.

1. «Давай не будем пытаться посчитать всё сразу. Посмотрим, что происходит с числами по отдельности. Как изменится число 5? А число 23? А число 456?»
2. «Разбей все числа от 1 до 1000 на группы: однозначные (1-9), двузначные (10-99), трёхзначные (100-999) и число 1000. Что происходит с числами в каждой группе?»
3. «В каждой группе подумай, сколько всего единиц, двоек, троек и т.д. встречается во всех разрядах (единиц, десятков, сотен). Например, в двузначных числах цифра в разряде единиц меняется от 0 до 9 в каждом десятке. Это поможет найти общую сумму произведений цифр для всех чисел группы.»

Геометрия (Окружность, треугольники)

Лёня мечтает в будущем полететь на Марс и основать там свою
страну. Пока он хочет придумать флаг этой страны. Он собирает различные
варианты флага размером 8 × 8 из плиток 1 × 1 серого, бурого и малинового
цветов, причём плитки каждого из цветов должны присутствовать.

(а) (1 балл) Лёня решил, что плитки каждого цвета должны образовывать
прямоугольник. Кроме того, плитки серого и бурого цвета в объединении тоже
должны образовывать прямоугольник, а также плитки бурого и малинового
цвета в объединении должны образовывать прямоугольник. Сколько вариантов
флага придётся рассмотреть Лёня?
(б) (3 балла) Лёне не понравился ни один вариант флага из пункта (а), и он
решил отказаться от условий про объединения цветов. Осталось лишь требование, что клетки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Сколько
новых вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?

9

Внеурочная деятельность, олимпиадная подготовка. Требует абстрактного мышления и системного перебора конфигураций.

1. «Представь, что мы раскрашиваем доску 8x8 в три цвета. Каждый цвет должен образовывать прямоугольник. Как могут располагаться эти прямоугольники? (Они могут быть вложены друг в друга или разделены линиями).»
2. «В пункте (а) есть дополнительные условия про объединения. Это значит, что границы между цветами – это просто горизонтальные и вертикальные линии. Попробуй представить, как линии разрезают большой прямоугольник 8x8 на три меньших прямоугольника. Сколько способов провести две линии (горизонтальные и/или вертикальные)?»
3. «В пункте (б) условия проще. Три прямоугольника могут располагаться как угодно, лишь бы они заполняли всю площадь. Какие есть варианты их расположения? (Например, один вертикальный во всю высоту, и два горизонтальных рядом, и так далее). Важно не забыть про все возможные конфигурации и симметрию.»

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты
BB1 и CC1. Точки M и N являются серединами сторон AC и AB соответственно. Прямая C1M повторно пересекает описанную окружность треугольника BCC1 в точке X. Точка O является центром описанной окружности треугольника B1MX. Найдите ON, если AB = 10, B1M = 3, ∠A = 60◦.

9

Олимпиадный практикум. Требует комплексного применения множества геометрических фактов и анализа сложных конфигураций.

1. «У нас есть треугольник, его высоты, середины сторон. Это наводит на мысль о средней линии, о свойствах прямоугольных треугольников. Какие отрезки являются средними линиями? (MN, C₁M, ...). Что мы про них знаем?»
2. «Окружность, описанная около треугольника BCC₁. Вспомни, где лежит центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника. Какие углы в этой окружности являются вписанными? Точка X лежит на этой окружности, и мы знаем, что C₁M проходит через X. Что можно сказать об угле C₁XM?»
3. «Нам нужно найти ON, где O – центр окружности, описанной около треугольника B₁MX. Возможно, нам поможет метод координат или векторов, если задать систему координат, используя данные AB=10, угол A=60° и B₁M=3. Или можно попробовать найти подобные треугольники и выразить нужные отрезки через известные.»