| Эвристика первого уровня | Эвристика второго уровня | Цель эвристики второго уровня |
| «Какая из трёх гирь связана с двумя другими? Попробуй обозначить её вес за неизвестное и выразить через него веса остальных гирь.» (7.1) | «Обозначь вес второй гири за *x*. Тогда вес первой гири – 4*x*, а вес третьей – 3(4x) = 12*x*. Составь уравнение: *x* + 4*x* + 12*x* = 340.» | Направить учащегося к конкретному действию по введению переменной и составлению линейного уравнения, обеспечивая возможность дальнейшего самостоятельного решения. |
| «Давай разделим всех учеников на две группы: те, кто получил пятёрку, и те, кто получил четвёрку. Кто из них, согласно условию, мог сказать правду, а кто соврал?» (7.2) | «Рассмотри два случая. Первый: ученик за партой получил пятёрку. Запиши, каким в этом случае должно быть его высказывание ("Все сидящие не за одной партой со мной получили четвёрки"), чтобы оно было истинным. Второй: ученик получил четвёрку. Тогда его высказывание ложно. Что из этого следует?» | Помочь формализовать логический анализ, разбив задачу на ключевые случаи (правда/ложь) и конкретизировав, что нужно проверить в каждом из них. |
| «Что происходит с общим количеством конфет у Пети и Васи после каждого дня обмена? Меняется ли оно?» (7.3) | «Обозначь начальное количество конфет у Васи за *x*, а у Пети за *x*+324. Запиши, сколько конфет станет у каждого после первого дня, используя, что они отдают друг другу треть своих конфет. Проследи за изменением разницы (Петя - Вася).» | Конкретизировать абстрактный вопрос о динамике, предложив ввести переменные и выполнить первые конкретные вычисления для обнаружения закономерности. |
| «Какое число (от 1 до 10) имеет больше всего делителей? А на какие числа делится оно само? Как это может помочь определить, какое число стоит в кружке, к которому ведёт больше всего стрелок?» (7.4) | «Выпиши все делители для чисел 6, 8 и 10. Какое из этих чисел имеет наибольшее количество делителей? Сравни, сколько стрелок может вести к числу 6, а сколько к числу 10. Используй это для пробной расстановки чисел в вершины графа.» | Перевести общий вопрос о «главном» числе в конкретное задание по анализу свойств конкретных чисел (6,8,10), что позволяет начать построение гипотезы. |
| «Мы ищем наименьшую сумму. Значит, числа должны быть как можно меньше. Какое самое маленькое натуральное число мы можем взять?» (7.5) | «Попробуй построить последовательность, чередуя единицы и двойки: 2, 1, 2, 1, ... Проверь условие для троек (2,1,2) и (1,2,1). Выполняется ли оно? Подсчитай сумму 36 таких чисел.» | Предложить конкретный способ построения последовательности («чередование»), чтобы учащийся мог проверить гипотезу и оценить полученную сумму, приближаясь к оптимальному решению. |
| «Что значит "одноцветные прямоугольники равны"? Что можно сказать об их сторонах? Давай обозначим стороны синего прямоугольника буквами *a* и *b*, а красного – *c* и *d*.» (7.6) | «Запиши равенство периметров: 2(*a*+*b*) = 2(*c*+*d*). Упрости его: *a*+*b* = *c*+*d*. Затем вырази данные на чертеже отрезки 8 и 4 через *a*, *b*, *c*, *d*. Например, отрезок 8 может быть суммой *a* и *c*. Запиши это как уравнение.» | Четко сформулировать последовательность алгебраических действий (записать равенство периметров, упростить, выразить отрезки), необходимых для перевода геометрической задачи на язык уравнений. |
| «Красные числа известны и в сумме дают 126 (18*7). Как может измениться эта сумма, если мы каждое красное число заменим на синее, которое отличается не более чем на 3?» (7.7) | «Обозначим сумму синих чисел как S. Каждое из 7 красных чисел может измениться максимум на +3 или на -3. Значит, S может быть от 126 - 7*3 = 105 до 126 + 7*3 = 147. Но важно, что синие числа – целые. Какие значения может принимать S с учетом этого?» | Конкретизировать поиск границ, предложив рассчитать максимально возможное отклонение суммы, что позволяет перейти к интервальной оценке искомой величины. |
| «Давай начнём с простого. Что значит "в любых двух соседних по стороне клетках суммарно 10 монет"? Как это условие связывает клетки? Попробуй рассмотреть маленькую доску, например, 2x2.» (7.8) | «Рассмотри доску 2x2. Обозначь монеты в клетках как a, b, c, d (a и b в первом ряду, c и d во втором). Запиши условия: a+b=10, b+d=10, a+c=10, c+d=10. Реши эту систему. Что ты замечаешь? Попробуй применить эту идею для доски m x n.» | Предложить конкретный и простой пример (доска 2х2) для исследования закономерности и составления уравнений, что служит основой для обобщения на случай произвольной доски. |
| «Как записать число 0,9...9 (с n девятками) в виде обыкновенной дроби или разности единицы и чего-то?» (8.1) | «Запиши это число как 1 - 1/10ⁿ. Подставь это выражение в неравенство: 1 - 1/10ⁿ 2022/2023. Перенеси 1/10ⁿ вправо, а дробь влево и приведи к общему знаменателю.» | Дать точное математическое выражение для периодической дроби и указать первый шаг алгебраических преобразований для решения неравенства. |
| «Сколько различных неизвестных величин в этой задаче? (Количество семиклассников, восьмиклассников и исходное число булочек). Давай обозначим их буквами.» (8.2) | «Обозначь: *x* – число семиклассников, *y* – число восьмиклассников, B – исходное число булочек. Запиши первое условие как уравнение: B – (3*x* + 1*y*) = 13. Запиши второе условие: B – (1*x* + 3*y*) = 27.» | Конкретизировать процесс математического моделирования, предложив готовые обозначения и прямую инструкцию по составлению двух уравнений на основе условия. |
| «Давай разложим число k на простые множители. Когда произведение (k^k) будет точным квадратом? Что для этого должно быть верно для показателей степеней в разложении?» (8.3) | «Пусть k = 2ª * 3ᵇ * ... Тогда k^k = 2^(a*k) * 3^(b*k) * ... Чтобы это число было квадратом, все показатели (ak, bk, ...) должны быть чётными. Это значит, что если k чётно, то a и b могут быть любыми, а если k нечётно, то a и b должны быть чётными. Перебери все k от 1 до 100, проверяя это условие.» | Перевести общее требование («число – квадрат») на язык четности показателей и дать четкий алгоритм перебора возможных значений *k*. |
| «У нас есть треугольник, биссектрисы и отрезок KN, параллельный AC. Какие подобные треугольники мы можем здесь найти, используя это условие?» (8.4) | «Обрати внимание на треугольники AKN и ABC, они подобны (так как KN AC). Также, используя свойства биссектрисы, можно рассмотреть подобие треугольников, образованных на сторонах AB и BC. Попробуй ввести длину KL = *x*. Вырази KN (=3*x*) и другие отрезки через *x* и стороны треугольника.» | Указать на конкретные пары подобных треугольников и предложить способ введения переменной для связи геометрических соотношений с алгебраическими. |
| «Давай изобразим сидящих по кругу. Когда высказывание "я сижу между двумя мальчиками" является правдой, а когда ложью? Рассмотри все возможные варианты соседей у мальчика и у девочки.» (8.5) | «Нарисуй небольшой круг из 5-6 человек. Обозначь М – мальчик, Д – девочка. Систематически перебери все возможные тройки соседей (МММ, ММД, МДМ, МДД, ДДД) и определи, в каких случаях центральный говорит правду. Запиши эти правила.» | Конкретизировать абстрактный анализ, предложив перебрать и зафиксировать все возможные комбинации соседей и условия истинности для каждой из них. |
| «Давай посчитаем сумму всех чисел от 1 до 60. Чему она равна (S)? Условие говорит, что число N – особенное, если сумма остальных чисел (S - N) делится на N. Как можно переформулировать это условие для суммы S?» (8.6) | «Вычисли сумму S = 60*61/2 = 1830. Условие "1830 – N делится на N" равносильно тому, что 1830 делится на N. Так как (1830 – N) / N = 1830/N – 1. Для делимости этой разности на N необходимо, чтобы 1830 делилось на N. Найди все делители числа 1830, которые не превосходят 60.» | Выполнить конкретное вычисление суммы и показать ключевое алгебраическое преобразование, сводящее сложное условие к простому перебору делителей. |
| «Что происходит с числом в клетке, когда фишка её посещает? Оно увеличивается на 1. Значит, число в каждой клетке показывает, сколько раз фишка в ней побывала.» (8.7) | «Рассмотри путь фишки с конца. В правом верхнем углу должно быть число, которое на 1 больше, чем количество шагов, ведущих из неё. Попробуй найти сумму всех чисел на доске. Она равна общему количеству посещений клеток, т.е. длине пути + 1 (начальная клетка). Если ты найдешь длину пути, ты сможешь найти искомое число.» | Предложить конкретный метод («с конца») и идею использования суммы всех чисел для нахождения длины пути, что является ключом к решению задачи. |
| «У нас много равных отрезков: AD = BT, AB = BC = CT. Какие треугольники в этой конфигурации являются равнобедренными? Что можно сказать об их углах при основании?» (8.8) | «Обозначь ∠CAD = ∠ABT = α. Рассмотри равнобедренный треугольник ABT (AB=BT). Чему равны его углы при основании AT? Затем рассмотри треугольник ABC (AB=BC). Зная ∠ABC = 132°, найди ∠BAC и ∠BCA. Вырази все полученные углы через α и найди α.» | Предложить последовательность действий: обозначить угол, последовательно рассмотреть указанные равнобедренные треугольники и выразить их углы, что приведет к уравнению для нахождения неизвестного. |
| «Что общего в левых частях этих двух уравнений? (Общий множитель ab). Что произойдёт, если мы сложим эти два уравнения?» (9.1) | «Сложи уравнения: (a²+ab)+(b²+ab) = 36+64. Упрости левую часть, приведя подобные слагаемые. У тебя получится a² + 2ab + b² = 100.» | Указать точное арифметическое действие (сложение) и дать инструкцию по упрощению полученного выражения, чтобы учащийся мог увидеть формулу квадрата суммы. |
| «Мы знаем результат трёх операций – число 2345. Давай попробуем "отмотать" плёнку назад. Какие операции могли быть проделаны на последнем шаге, чтобы из какого-то числа получить 2345?» (9.2-9.3) | «Посмотри на число 2345. Какие две подряд идущие цифры могли быть получены в результате замены? Рассмотри все возможные пары: 23, 34, 45. Для каждой пары проверь, является ли она двузначным числом, и если да, то на какие две цифры (в обратном порядке) её можно заменить? Например, 23 – не подходит (2*3=6, а не 23). Составь список возможных "предков" для числа 2345.» | Конкретизировать метод «с конца», предложив перебрать все возможные пары цифр в конечном числе и для каждой проверить условие обратимости операции. |
| «Что означает "кратчайшее расстояние от Пети до края бассейна равно 2 метра"? Где может находиться Петя? Нарисуй внутри бассейна область, где он может быть.» (9.4) | «Нарисуй прямоугольник 10 на 17. Петя может находиться внутри прямоугольника, отстоящего от каждой стороны на 2 метра. То есть внутри прямоугольника со сторонами (10-4) = 6 м и (17-4) = 13 м. Аналогично, Вася – внутри прямоугольника со сторонами (10-6)=4 м и (17-6)=11 м. Максимальное расстояние между ними будет между противоположными углами этих внутренних прямоугольников. Вычисли его по теореме Пифагора.» | Дать четкую геометрическую интерпретацию условия и указать конкретные шаги для построения областей и вычисления максимального расстояния. |
| «Сколько всего матчей было сыграно в турнире из 10 команд? (C(10,2)=45). Какое максимальное и минимальное количество очков может быть разыграно в одном матче? (3 или 2)» (9.5) | «Обозначь сумму очков двух лучших команд за X. Тогда сумма остальных = X+5. Общая сумма = 2X+5. С другой стороны, в каждом из 45 матчей разыгрывается 2 (ничья) или 3 (победа) очка. Значит, общая сумма очков может быть от 90 до 135. Составь неравенство: 90 ≤ 2X+5 ≤ 135. Найди целые X, удовлетворяющие этому неравенству. Зная X, найди сумму остальных и подумай, какое минимальное количество очков может быть у одной команды.» | Связать введенную переменную с известными числовыми границами (количество матчей, очки за игру) через неравенство, что сужает круг поиска и позволяет перейти к конкретным вычислениям. |
| «Давай введём обозначения: 15p - 15 = a², 16p - 15 = b². Что можно сделать с этими двумя уравнениями? (Например, вычесть одно из другого).» (9.6) | «Вычти из второго уравнения первое: (16p - 15) - (15p - 15) = b² - a². Упрости: p = b² - a² = (b-a)(b+a). Так как p – простое, то один из множителей (b-a) или (b+a) равен 1. Поскольку b и a – натуральные и b a, то b-a = 1. Тогда b+a = p. Реши эту систему и подставь найденные a и b в любое из исходных уравнений.» | Провести ключевое алгебраическое преобразование (вычитание и разложение на множители) и использовать определение простого числа для сужения возможных вариантов до одного уравнения. |
| «Давай не будем пытаться посчитать всё сразу. Посмотрим, что происходит с числами по отдельности. Как изменится число 5? А число 23? А число 456?» (9.7) | «Разбей все числа на группы: однозначные (1-9), двузначные (10-99) и трёхзначные (100-999). Для каждой группы посчитай сумму произведений цифр отдельно. Например, для двузначных чисел ab (10a+b) новое число = a*b. Подумай, сколько раз каждая цифра от 1 до 9 встречается в разряде десятков и в разряде единиц во всех двузначных числах.» | Структурировать задачу, разбив её на подзадачи (по разрядности чисел) и предложив способ подсчета для каждой группы через анализ частоты встречаемости цифр. |
| «Представь, что мы раскрашиваем доску 8x8 в три цвета. Каждый цвет должен образовывать прямоугольник. Как могут располагаться эти прямоугольники? (Они могут быть вложены друг в друга или разделены линиями).» (9.8) | «Для пункта (а) начни с того, что линии раздела между цветами могут быть только горизонтальными или вертикальными. Рассмотри все способы разрезать прямоугольник 8x8 на три меньших прямоугольника двумя прямыми линиями (обе горизонтальные, обе вертикальные, одна горизонтальная и одна вертикальная). Посчитай количество вариантов для каждого способа, учитывая, что цвета могут быть переставлены.» | Конкретизировать абстрактную идею о расположении, предложив систематический перебор всех возможных способов разрезания прямоугольника линиями сетки. |
| «У нас есть треугольник, его высоты, середины сторон. Это наводит на мысль о средней линии, о свойствах прямоугольных треугольников. Какие отрезки являются средними линиями? (MN, C₁M, ...). Что мы про них знаем?» (9.9) | «Вспомни, что MN – средняя линия треугольника ABC, значит MN BC и MN = BC/2. Так как C₁ – основание высоты, а M – середина AC, то C₁M – медиана в прямоугольном треугольнике ACC₁. Она равна половине гипотенузы AC. Используй это для нахождения AC. Затем рассмотри подобие треугольников, чтобы найти ON.» | Указать на конкретные свойства конкретных отрезков (средняя линия, медиана прямоугольного треугольника), что дает отправные точки для вычисления недостающих длин. |
319
137 796 
