Система исчисления.

Системы счисления

• Введение
• Двоичная система
• Восьмеричная система
• Шестнадцатеричная система
• Другие системы счисления

Системы счисления

Тема 1. Введение

© К.Ю. Поляков, 2007-2009

Определения

Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр .

Числа: 123, 45678, 1010011, CXL

Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, …

Алфавит – это набор цифр . {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Типы систем счисления:

• непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; позиционные – зависит…
• непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
• позиционные – зависит…

Непозиционные системы

Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)

Римская: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 ( Centum ), D – 500 ( Demimille ), M – 1000 ( Mille )

Римская система счисления

Правила:

• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!)
• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
• если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!)

Примеры:

MDC X L I V =

+ 5

= 1644

– 1

+ 50

– 10

+ 100

+ 500

1000

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

M M

CCC

LXXX

IX

2389 = M M C C C L X X X I X

Примеры:

3768 =

2983 =

1452 =

1999 =

2897 =

1689 =

989 =

3454 =

MMCDLXXIX =

MDCCCXLVII =

MDCXXIV =

MMMIX =

3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? для записи больших чисел (3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов " width="640"

Римская система счисления

Недостатки :

• для записи больших чисел (3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?
• для записи больших чисел (3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M )
• как записать дробные числа?
• как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?

Где используется:

• номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов
• номера глав в книгах:
• обозначение веков: « Пираты XX века»
• циферблат часов

Славянская система счисления

алфавитная система счисления (непозиционная)

Часы Суздальского Кремля

Позиционные системы

Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.

Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10

сотни десятки единицы

разряды

2 1 0

3 7 8

= 3 ·10 2 + 7·10 1 + 8·10 0

8

70

300

Другие позиционные системы:

• двоичная , восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)
• двоичная , восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
• двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
• двадцатеричная (1 франк = 20 су)
• шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

11

Системы счисления

Тема 2. Двоичная система счисления

© К.Ю. Поляков, 2007-2009

Перевод целых чисел

Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 2

10  2

19

2

19 = 10011 2

18

2

9

8

1

2

4

система счисления

4

1

2

2

2

0

1

2

0

0

0

2  10

1

4 3 2 1 0

разряды

10011 2

= 1 ·2 4 + 0 ·2 3 + 0 ·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0

= 16 + 2 + 1 = 19

11

Примеры:

259 =

89 =

521 =

144 =

1110011111 =

100000111 =

1100001111 =

425 = 398 =

101110001 = 11100011 =

Примеры:

10101001 2 =

110110110 2 =

110011111 2 =

?

Когда двоичное число четное? делится на 8?

17

Метод подбора

77

10  2

наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу

1

77

13

5

1

4

64

8

1024

512

2 10

256

2 9

128

2 8

2 7

64

32

2 6

2 5

16

8

2 4

2 3

4

2

2 2

1

2 1

2 0

+ 1

13

5

1

+ 4 + …

+ 8 + …

77 = 64 +

Разложение по степеням двойки:

77 = 2 6 + 2 3 + 2 2 + 2 0

77 = 1  2 6 + 0  2 5 + 0  2 4 + 1  2 3 + 1  2 2 + 0  2 1 + 1  2 0

6 5 4 3 2 1 0

разряды

77 = 1001101 2

17

Перевод дробных чисел

0,7 = ?

0,375 =

10  2

0,011 2

 2

0,7 = 0,1 0110 0110…

= 0,1(0110) 2

,750

0

0,75

 2

Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей.

,50

1

Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.

0,5

 2

Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой.

,0

1

1

2  10

2 -2 = = 0,25

2 2

разряды

2 1 0 -1 -2 -3

= 1 ·2 2 + 1·2 0 + 1·2 -2 + 1·2 -3

101,011 2

= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375

19

Примеры:

0,625 =

3,875 =

19

19

Арифметические операции

вычитание

сложение

0+0=0 0+1=1

1+0=1 1+1= 1 0 2

1 + 1 + 1 = 1 1 2

0-0=0 1-1=0

1-0=1 1 0 2 -1=1

перенос

заем















0 1 1 10 2

0 10 2

1 0 1 1 0 2

+ 1 1 1 0 1 1 2

1 0 0 0 1 0 1 2

– 1 1 0 1 1 2

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

2

2

19

21

Примеры:

101101 2

10111 2

+ 11111 2

+101110 2

111011 2

111011 2

+ 11011 2

+ 10011 2

21

Примеры:

101101 2

11011 2

– 11111 2

– 110101 2

110101 2

110011 2

– 11011 2

– 10101 2

Арифметические операции

умножение

деление

1 1 1 2

1 0 1 0 1 2

– 1 1 1 2

1 0 1 0 1 2

 1 0 1 2

1

1

2

1 1 1 2

– 1 1 1 2

1 0 1 0 1 2

+ 1 0 1 0 1 2

0

1 1 0 1 0 0 1 2

24

Плюсы и минусы двоичной системы

• нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
• надежность и помехоустойчивость двоичных кодов;
• выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными.

• простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей;
• двоичные числа имеют много разрядов;
• запись числа в двоичной системе однородна , то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

24

24

Двоично-десятичная система

BCD = binary coded decimals (десятичные цифры в двоичном коде)

10  BCD

9024,19 = 1001 0000 0010 0100 , 0001 1001 BCD

9 0 2 4 , 1 9

BCD  10

1 0101 0011, 0111 1 BCD = 0001 0101 0011 , 0111 1000 BCD = 1 5 3 ,7 8

!

Запись числа в BCD не совпадает с двоичной!

10101,1 BCD = 15,8

10101,1 2 = 16 + 4 + 1 + 0,5 = 21,5

24

26

Системы счисления

Тема 3. Восьмеричная система счисления

© К.Ю. Поляков, 2007-2009

Восьмеричная система

Основание (количество цифр): 8

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

10  8

100

8

100 = 144 8

96

12

8

8

4

1

8

0

система счисления

4

0

1

8  10

2 1 0

разряды

144 8

= 1 · 8 2 + 4· 8 1 + 4· 8 0

= 64 + 32 + 4 = 100

26

Примеры:

134 =

75 =

134 8 =

75 8 =

Таблица восьмеричных чисел

X 10

X 8

0

1

X 2

0

1

2

000

2

X 10

001

3

3

X 8

4

010

011

X 2

4

5

5

100

6

7

101

6

7

110

111

{

{

{

{

Перевод в двоичную и обратно

10

• трудоемко
• 2 действия

8

2

8 = 2 3

!

Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных ( триада )!

1725 8 =

00 1

111

010

101 2

1 7 2 5

31

Примеры:

3467 8 =

2148 8 =

7352 8 =

1231 8 =

31

31

Перевод из двоичной системы

1001011101111 2

Шаг 1 . Разбить на триады, начиная справа:

00 1 001 011 101 111 2

Шаг 2 . Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:

00 1 001 011 101 111 2

1

3

5

7

1

Ответ: 1001011101111 2 = 11357 8

31

31

Примеры:

101101010010 2 =

11111101011 2 =

1101011010 2 =

31

31

Арифметические операции

сложение

1 в перенос







1 5 6 8

+ 6 6 2 8

6 + 2 = 8 = 8 + 0

1 в перенос

5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4

1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

1

0 8

0

4

1 в перенос

31

31

Пример

3 5 3 8

1 3 5 3 8

+ 7 3 6 8

+ 7 7 7 8

31

Арифметические операции

вычитание

заем





4 5 6 8

– 2 7 7 8

(6 + 8 ) – 7 = 7

(5 – 1 + 8 ) – 7 = 5

(4 – 1 ) – 2 = 1

заем

7 8

1

5

Примеры

1 2 4 1 8

1 1 5 1 8

– 6 5 3 8

– 4 6 2 8

Системы счисления

Тема 4. Шестнадцатеричная системы счисления

© К.Ю. Поляков, 2007-2009

Шестнадцатеричная система

Основание (количество цифр): 16

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

B , 11

C , 12

D , 13

E , 14

A , 10

F 15

10  16

107

16

96

107 = 6B 16

6

16

0

11

0

B

система счисления

6

16  10

C

2 1 0

разряды

= 1 ·16 2 + 12 ·16 1 + 5·16 0

1C5 16

= 256 + 192 + 5 = 453

Примеры:

171 =

1BC 16 =

206 =

22B 16 =

Таблица шестнадцатеричных чисел

X 10

0

X 16

X 2

0

1

1

0000

2

X 10

0001

3

2

8

X 16

0010

4

3

X 2

9

8

4

5

0011

1000

9

10

6

5

0100

1001

0101

11

7

A

6

0110

B

12

1010

7

1011

C

0111

13

1100

14

D

E

1101

15

1110

F

1111

{

{

{

{

Перевод в двоичную систему

10

• трудоемко
• 2 действия

16

2

16 = 2 4

!

Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных ( тетрада )!

7F1A 16 =

0 111

1111

0001

1010 2

7 F 1 A

43

Примеры:

C73B 16 =

2FE1 16 =

43

43

Перевод из двоичной системы

1001011101111 2

Шаг 1 . Разбить на тетрады, начиная справа:

000 1 0010 1110 1111 2

Шаг 2 . Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:

000 1 0010 1110 1111 2

1

2

E

F

Ответ: 1001011101111 2 = 12EF 16

43

43

Примеры:

1010101101010110 2 =

111100110111110101 2 =

110110110101111110 2 =

43

43

Перевод в восьмеричную и обратно

трудоемко

10

16

8

2

Шаг 1 . Перевести в двоичную систему:

3DEA 16 =

11 1101 1110 1010 2

Шаг 2 . Разбить на триады:

0 11 110 111 101 010 2

Шаг 3 . Триада – одна восьмеричная цифра:

3DEA 16 = 36752 8

43

43

Примеры:

A35 16 =

765 8 =

43

43

Арифметические операции

сложение





A 5 B 16

10 5 11

+ 12 7 14

+ C 7 E 16

1

1 6 D 9 16

13

9

6

1 в перенос

11+14=25= 16 +9

5+7+ 1 = 13 =D 16

10+12=22= 16 +6

1 в перенос

43

43

Пример:

С В А 16

+ A 5 9 16

43

43

Арифметические операции

заем

вычитание





С 5 B 16

– A 7 E 16

12 5 11

– 10 7 14

1 D D 16

13

13

1

заем

(11+ 16 ) – 14= 13 =D 16

(5 – 1 )+ 16 – 7= 13 =D 16

(12 – 1 ) – 10 = 1

43

43

Пример:

1 1 В А 16

– A 5 9 16

43

43

Системы счисления

Тема 5. Другие системы счисления

© К.Ю. Поляков, 2007-2009

Троичная уравновешенная система

Задача Баше:

Найти такой набор из 4 гирь , чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

43

43

Троичная уравновешенная система

+ 1 гиря справа

0 гиря снята

– 1 гиря слева

!

Троичная система!

Веса гирь:

1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг

Пример:

27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг

1 1 1 1 3ур =

Реализация:

ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)

50 промышленных образцов

40

43

55

Конец фильма

55

55