СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Система подготовки учащихся к ОГЭ по математике

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Курсовая работа.

Просмотр содержимого документа
«Система подготовки учащихся к ОГЭ по математике»

ВВЕДЕНИЕ

В современной педагогике, становящейся на позиции личностно ориентированного обучения, наблюдается тенденция к отказу от догматического изложения материала, к использованию опыта учащихся с опорой на их психологические особенности. В связи с этим многие разработки, в частности в методике обучения математике, направлены на поиск разнообразных приемов и методов, которые позволили бы учителю быть организатором самостоятельной деятельности учащихся, помощником, готовым направить эту деятельность, оказать помощь в возникших затруднениях. Среди таких методов следует выделить педагогический инструментарий, оперирующий понятием эвристики.

Термин «эвристика» в настоящее время все чаще используется в научной лексике. Рассматривается значение эвристики в философии познания, изучаются психологические основы эвристической деятельности, используются эвристические приемы в кибернетике, технике, информатике. Достаточно большое внимание уделяется эвристическому мышлению в искусстве и других областях знания. В педагогике широкое распространение получил термин «эвристическое обучение».

Вопросы организации эвристического обучения и формирования эвристических приемов в настоящее время все чаще становятся предметом исследований в области педагогики. В работах В.И. Андреева, И.И. Ильясова, Ю.Н. Кулюткина, М.М. Левиной, Д. Пойа, В.Н. Пушкина, Г. И.Саранцева, А.В. Хуторского, D. Kahneman и A. Tversky, А. Newell и Н. Simon, R. E. Snow и других авторов рассматриваются психологические и дидактические аспекты эвристической деятельности. Решению этих вопросов посвящен ряд диссертационных исследований, выполненных за последнее десятилетие (В.Н. Введенский, О.К. Огурцова, Т.Ю. Зыбина, А.Д. Король и др.). Современный взгляд на эвристическое обучение в общеобразовательной школе означает рассмотрение задачи формирования эвристик как цели обучения на уроке, предполагающей овладение учащимися совокупностью разнообразных действий и эвристических приемов.

Один из способов формирования основ эвристической деятельности многие исследователи (Г.Д. Балк, М.Б. Балк, В.А. Далингер, Ю.М. Колягин, В.Б. Милушев, Д. Пойа, Г.И. Саранцев, В.А. Уфнаровский, Д.Г. Френкев, Л.М. Фридман, Р.А. Хабиб, А.Я. Цукарь, B B. Hughes, D. A. Alvaro, P. Y. Foong и др.) видят в обучении решению математических задач. Математика, как специфическая область знания и как школьный предмет, являет собой особую сферу развития творческих качеств учащихся. Эвристические приемы рассматриваются как эффективное средство развития умения решать задачи, в том числе нестандартные. Позитивно оценивая накопленный педагогической наукой теоретический материал в области решения проблемы творчества и его педагогических аспектов, следует отметить недостаточность теоретического осмысления процесса формирования интуитивных процедур, в частности, эвристических приемов. Практика показывает, что для учителей задача развития творческих способностей учащихся является наиболее сложной и труднореализуемой, а выпускники средних школ имеют отдаленное представление об общих приемах решения математических задач, показывая владение лишь стандартными алгоритмами.





















Эвристическая деятельность учащихся на уроках математики

Эвристика (греч. - обнаруживаю, отыскиваю, открываю) - наука, изучающая закономерности построения новых действий в новой ситуации, т.е. организацию продуктивных процессов мышления, на основе которых осуществляется интенсификация процесса мышления, на основе которых осуществляется интенсификация процесса генерирования идей (гипотез) и последовательное повышение их правдоподобности (вероятности, достоверности).

С самого зарождения эвристики наряду с анализом процессов эвристической деятельности исследовались и возможности целенаправленного обучения этой деятельности, т.е. эвристика соприкасалась с педагогикой. Постепенно ярко обозначилось одно из направлений в развитии эвристики - педагогическая эвристика, которая помогает ответить на вопрос: как обучать эвристической деятельности? Она рассматривает принципиальные вопросы организации мыслительной деятельности в процессе обучения, т.е. в процессе освоения тех учебных предметов, которые составляют систему профессиональных знаний.

Истоки эвристики обнаруживаются в Древней Греции, где слово эвристика обозначало метод обучения, применявшийся Сократом («сократическая беседа»). Структура такой беседы состояла из системы вопросов, наводящих обучаемого на правильное решение поставленной перед ним проблемы. Роль педагога заключалась в управлении познавательной деятельностью обучаемого с целью направления его по оптимальному пути к новому для него знанию. Задача обучаемого - прийти к правильному решению на основе логически правильных ответов на вопросы педагога. Таким образом, обучаемый достигал цели благодаря детализированным вопросам педагога, которые четко вели по пути правильного решения. Разумеется, такая беседа требовала в большей степени интеллектуального напряжение педагога, чем обучаемого.



В настоящее время под эвристикой начинают понимать:

1. Специальные методы решения задач (эвристические методы), которые обычно противопоставляются формальным методам решения, опирающимся на точные математические модели. Использование эвристических методов сокращает время решения задач по сравнению с методом полного ненаправленного перебора возможных альтернатив; применение эвристических методов не всегда обеспечивает достижение поставленной цели.

2. Организацию процесса продуктивного творческого мышления (эвристическая деятельность). В этом случае эвристика понимается как совокупность присущих человеку механизмов, с помощью которых порождаются процедуры, направленные на решение творческих задач

3. Науку, изучающую эвристическую деятельность; специальный раздел науки о мышлении. Ее основной объект - творческая деятельность человека; важнейшие проблемы, связанные с моделями принятия решений. Эвристика как наука развивается на стыке психологии, теории искусственного интеллекта, структурной лингвистики, теории информации.

4. Специальный метод обучения или коллективного решения проблем.

Эвристическая деятельность представляет собой сложный, многоплановый, многоаспектный вид человеческой деятельности. Под эвристикой понимается наука, изучающая закономерности построения новых действий в новой ситуации. Новая ситуация - это никем не решенная задача или не изобретенное техническое устройство, необходимость которого выявлена (новой будет и ситуация, когда обучаемый встречается с нестандартной задачей своего уровня). Попадая в новую ситуацию, человек ищет пути и способы решения этой ситуации, пути, которые он раньше в своей практике не встречал и которые ему пока неизвестны. Если же ситуация не нова, то действия человека носят алгоритмический характер, т.е. он вспоминает их последовательность, которая обязательно приведет к цели. В этих действиях нет элементов эвристического мышления в отличие от новой ситуации, когда результат должен быть объективно или субъективно новым. Объективно - когда результат получен впервые, субъективно - когда результат является новым для человека, его получившего.

Учебная эвристическая деятельность

Эвристические функции мышления развиваются и реализуются в учебном процессе, т.е. в процессе освоения тех или иных учебных дисциплин. Представляя учебный процесс как сложную организованную деятельность по решению учебных задач, становится понятным, что от обучаемого требуются вполне определенные специальные умения и навыки организации поиска решения таких задач. Наиболее оптимальной деятельностью, в которой развиваются продуктивные способы мышления, умения достигать цели и получать результат решения задачи, является эвристическая деятельность.

Учебная эвристическая деятельность представляет собой деятельность, в ходе которой целенаправленно развиваются способности:

- понимать пути и методы продуктивной учебно-познавательной деятельности, творчески копировать их и обучаться при этом на своем и заимствованном опыте;

- систематизировать, т.е. упорядочивать учебную информацию в межпредметные комплексы и оперировать ею в эвристическом поиске при выполнении конкретных действий;

- адаптироваться к изменяющимся видам учебной деятельности и предвидеть ее результаты;

- планировать и прогнозировать интеллектуальную деятельность на основе эвристических и логических операций и стратегий;

- формировать и принимать решения по организации сложных видов учебной деятельности на основе правдоподобных рассуждений, эвристических операций и стратегий с последующей их логической проверкой.

Эвристическая деятельность без развитого и осознанного навыка ее проведения характеризуется многими не оптимальными чертами. Так, хорошо известны случаи, когда некоторые обучаемые, особенно на начальных этапах, пытаются найти решение задачи простым манипулированием ее данных, т. е. пытаются найти решение «наугад», на основе не направленных, не осознанных, не контролируемых действий, хотя именно здесь должна начинаться деятельность, которую называют эвристической.

Назовем некоторые факторы, способствующие ее успешному осуществлению.

Чрезвычайно важны способность и умения проводить оценочные мыслительные действия одного из вариантов решения до его практической проверки. Оценочные действия сопровождают процесс эвристического поиска от начала до завершения.

Рациональность действий помогает объединять вновь воспринимаемую информацию с ранее известной, включать ее в систему имеющихся знания, группировать и перегруппировывать данные задачи различными способами, останавливаясь на наиболее оптимальном варианте. Это обеспечит предпосылку развития способности генерировать рациональные идеи.

Основной принцип экономии действий выражается правилом: не делайте при помощи большего то, что можно сделать при помощи меньшего. Необходимо тщательно исследовать возможность привлечения наиболее необходимого материала, более близкого к рассматриваемой задаче. Однако полезно вспомнить и еще одно правило: в своем поиске держитесь к задаче возможно ближе, но будьте готовы отойти от нее настолько далеко, насколько вынуждают обстоятельства.

Эвристический поиск будет продуктивным, если он сопровождается настойчивым желанием найти решение, достичь цели. Оно мобилизует интеллектуальные ресурсы решающего задачу. Неудача не должна приводить к пессимизму. Нужно помнить, что изучать вопрос нужно до тех пор, пока не иссякнет надежда на появление какой-нибудь плодотворной мысли.

Одной из основных характеристик настойчивости является способность к доведению до конца. Имеется в виду не просто настойчивость, собранность, волевой настрой на завершение работы, а именно способность к доработке деталей, к настойчивому поиску наиболее рациональных способов решения, к совершенствованию первоначального замысла.

Необходимым дополнением настойчивости является гибкость, которая проявляется в способности быстро и легко переходить от одного аспекта задачи к другому, от одной гипотезы к более совершенной. Здесь особенно уместно подчеркнуть, что способность вовремя отказаться от непродуктивной гипотезы, а это трудно сделать, если она «своя», может повлиять на результат эвристического поиска.

Одним из источников эвристической деятельности является информация (опыт), накопленная в памяти решающего. Во время эвристического поиска он извлекает нужную ему информацию, которая будет способствовать решению задачи. Этот сложнейший мыслительный акт извлечения актуальной информации называют актуализацией, приспособление извлеченной информации к решаемой задаче - ее организация. Механизм актуализации и организации информации при эвристически направленном поиске может быть различным. Один из них основан на распознавании в задаче знакомых элементов, которые уже встречались при решении других задач. Использование способов их решения может приблизить решаемого к результату. Назовем другие механизмы актуализации и организации информации: изоляция элементов, деталей задачи друг от друга, комбинация их в нужном для эвристического поиска направлении. Изоляция и комбинация, дополняя друг друга, продвигают процесс решения задачи. Разлагая целое на составные части, что способствует более пристальному изучению каждой из них, а затем воссоединяя их в различных комбинациях, мы заставляем эволюционировать наше понимание задачи, переходя к более перспективной ситуации.

Основным предметом учебной эвристической деятельности является учебная задача.

Учебная задача - определенно сформулированная информационная система, в которой есть информационная несогласованность между ее частями, что вызывает потребность в ее преобразовании и согласовании.

Учебная задача предполагает необходимость сознательного поиска, направленного на достижение результата.

Организация целенаправленного обучения элементам эвристической деятельности является основной проблемой педагогической эвристики.

Методы эвристического поиска. «Мозговой штурм»

Системные методы эвристического поиска принципиально новых решений задач различного характера начали создаваться и применяться в 40-60 гг. нашего столетия. Было разработано множество различных методов и их модификаций. Практика показала, что ряд методов имеют высокую эффективность и необходимость их дальнейшего развития не вызывает сомнения.

Основам и принципам эвристической деятельности уделяют недостаточно внимания в научных областях, где интенсивно развиваются и применяются эвристические методы исследований. Однако сформировать прочные навыки такой деятельности будущего специалиста трудно без знания основополагающих принципов и классических методов эвристической деятельности. Эта проблема давно интересует как педагогов, так и ученых, изобретателей.

Впервые эту проблему затронул Д. Пойа, который и является основоположником эвристики. Работы Д. Пойа явились связующим звеном между длительной историей развития эмпирической эвристики и современными исследованиями, которые опираются на познанные психологические закономерности мышления.

В своей книге В.Н. Соколов доходчиво показал исторический анализ, на основе которого выявляется сущность эвристики и ее педагогические ветви. Так же здесь представлены педагогические рекомендации, позволяющие разрабатывать методику эвристической деятельности в системе конкретных учебных предметов.

Большой вклад в познание принципов творчества, которое является эвристической деятельности, внес Ю.А. Медведько. Он определил основные методы технического творчества, а так же показал, что незнание методов, неумение их применять приводит к тому, что научно-исследовательские разработки в основном прерываются на стадии проектирования или испытания опытного образца.

Одним из первых сторонников активного учения школьников, был знаменитый чешский педагог, Ян Амос Коменский (1592-1670). Его ≪Великая дидактика≫ содержит указания на ≪необходимость воспламенять в мальчике жажду знаний и пылкое усердие к учению≫, она направлена против словестнодогматического обучения, которое учит детей ≪мыслить чужим умом≫. Ян Амос Коменский писал, что правильно обучать – это не значит вбивать в головы какую-то полезную информацию, а значит ≪раскрывать способности понимать вещи, чтобы именно из этой способности, точно из живого источника, потекли ручейки, ручейки живой мысли≫.

За развитие умственных способностей ребенка и внедрение в обучение

исследовательского подхода вел борьбу французский философ Жан-Жак Рус-

со (1712-1778). ≪Сделайте вашего ребенка, - писал он, - внимательным к явлениям природы… Ставьте доступные его пониманию вопросы и представьте ему решать их. Пусть он узнает не потому, что вы сказали, а потому, что сам понял…≫ . В этих словах Ж.-Ж. Руссо четко выражена идея обучения на повышенном уровне трудности, но с учетом доступности, идея самостоятельного решения учеником сложных вопросов.

Ф.А. Дистервег (1790-1866) пытался на примере преподавания стерео-

метрии обосновать преимущества эвристического метода. Он пришел к выводу, ≪что для учащихся гораздо важнее узнать пути к доказательству, нежели само доказательство≫. ≪Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должны достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением.≫. Этот принцип Ф. А. Дистервега является определяющим в разработке системы и методов обучения.

Одним из первых сторонников активного обучения школьников в Рос-

сии выступал К. Д. Ушинский (1824-1870), который создал дидактическую

систему, направленную на развитие умственных сил учащихся. Будучи сторонником активного обучения, он выдвигал идею познавательной самостоятельности. ≪Ученикам следует, - писал К.Д. Ушинский, - передавать не только те или другие познания, но и способствовать самостоятельно, без учителя, приобретать новые познания≫.

Описание применения эвристического метода обучения математике можно найти в книге известного французского педагога - математика Лезана "Развитие математической инициативы". В этой книге эвристический метод не имеет еще современного названия и выступает в виде советов учителю. Лезан приводит множество примеров, наглядно показывая, как сделать обучение математике более эффективным, опираясь на явную заинтересованность учащихся процессом обучения.

Во второй половине XIX в. с критикой схоластических методов выступал английский педагог Армстронг. Опытным путем он ввел в преподавание

≪эвристический метод≫, развивающий мыслительные способности учащихся. Суть его состоит в том, что ученик становится в положение исследователя, когда вместо изложения учителем фактов и выводов науки ученик сам их добывает и делает выводы. Задачу ≪эвристического метода≫ Армстронг видел не в передаче готовых выводов, а в том, чтобы научить учеников научному методу, развивающему их мыслительные способности. Однако Армостронг не создал системы методов, а ограничился одним единственным.

Известные педагоги советского периода (В.А. Сухомлинский, И.П.Волков, В.Ф. Шаталов, А.Н. Тубельский) уделяли огромное внимание развитию творческих способностей учащихся средствами активных форм и методов обучения: проблемные экскурсии и прогулки; творческие конспекты, составление опорных сигналов, творческие книжки и дневники, уроки ≪открытых мыслей≫ . Все это способствовало развитию творческой активной личности учащихся.

Результаты анализа ряда исследований Л.М. Фридмана, Е.Н.Турецкого позволили выявить следующие функции эвристического обучения:

- самостоятельное усвоение знаний и способов действий;

- развитие творческого мышления (перенос знаний и умений в новую ситуацию;

- видение новой проблемы в традиционной ситуации;

- видение новых признаков изучаемого объекта;

- преобразование известных способов деятельности и самостоятельное создание новых);

- развитие качеств ума, мыслительных навыков, формирование познавательных умений;

- обучение учащихся приемам активного познавательного общения; развитие мотивации учения, мотивации достижения.

Концептуальными положениями эвристического обучения являются:

1) формирование новых знаний происходит на основе эвристической беседы и должно сочетаться с самостоятельной работой учащихся (участие в эвристической беседе - задавание учащимися встречных, проблемных вопросов, ответы на проблемные вопросы, решение познавательных задач);

2) учитель преднамеренно создает проблемные ситуации, учащиеся должны их анализировать и ставить проблемы, выдвигать и доказывать гипотезы, делать выводы; получать решения и доказывать их достоверность;

3) оценка ставится в основном за умение применять ранее полученные знания в новых условиях, за умение выдвигать и обосновывать гипотезы, доказывать их, за овладение обобщенными способами деятельности.

П.Ф. Каптерев сформулировал следующие правила эвристического метода обучения :

1) ≪как скоро известная научная истина найдена, ее нужно сейчас же вовлекать в строгую и стройную формулу. В противном случае ученики будут понимать ее, будут в состоянии указать путь к ее открытию, но не будут в состоянии выразить ее полно и вместе сжато, связно и определенно, вследствие

чего они не будут полными владетелями ее в каждый данный момент;

2) не нужно быть педантом в проведении эвристической формы обучения, но нужно все, каждую мелочь, каждый пустяк, каждую третьестепенную вводную мысль непременно вывести, открыть≫.

Таким образом, с одной стороны, эвристическое обучение является одним из древнейших видов обучения, основанного на сократической беседе или эвристическом методе. С другой стороны, реализация в образовательной

практике эвристическое обучение представляет собой в разные эпохи результат педагогических усилий прогрессивных исследователей-педагогов, выступающих против традиционных, объяснительно-иллюстративных методов обучения. В этой связи актуальность эвристического обучения обосновывается объективными требованиями, предъявляемыми обществом к школе, и возникающими воспитательными задачами, связанными с формированием самостоятельной, творческой личностью на основе эвристических, проблемных приемов и методов обучения и воспитания.

Длительная история развития воспитательных практик свидетельствует, что обеспечить сформированность у учащихся эвристических, творческих способностей возможно через включенность школьников в самостоятельную учебно-поисковую деятельность по разрешению разного уровня сложности задач, что в свою очередь обеспечивает развитие мыслительных процессов растущей личности, активизацию ее мышления.

Проблема эвристического обучения не будет решена еще многие годы, поэтому необходимо, чтобы ей уделялось больше времени и, чтобы учителя помогали развивать творческое мышление у детей. Ведь благодаря этому в нашей стране будут зарождаться новые изобретения, устройства. И каждый человек научиться нестандартно мыслить, видеть в обычном необычное.

В современной методической литературе постоянно подчеркивают необходимость развития творческого мышления учащихся на уроках математики. Многие авторы отмечают, что уже сам по себе процесс изучения математики приводит к умению логически, доказательно мыслить.

Ведущие психологи, выделяют креативное мышление как высшую форму мыслительной деятельности. Значит к умственным операциям, характеризующим творческое мышление, можно отнести следующие умения и навыки: создавать оригинальные ценности, составлять сложные структуры из простых элементов (синтез), раскладывать сложные ситуации на более простые (анализ), устанавливать аналогии между объектами исследования, использовать приемы конкретизации и обобщения, выдвигать гипотезы и проверять их, принимать нестандартные решения, проводить эксперименты и исследования, создавать собственный образовательный продукт. Эти умения составляют опыт творческой деятельности учащихся, который является важнейшей компонентой содержания обучения в целом. Решение эвристической задачи на уроках математики предполагает нахождение искомого путем открытия не известных субъекту признаков, существенных для решения проблемы отношений, закономерных связей между признаками, тех способов, с помощью которых они могут быть найдены. Человек вынужден действовать в условиях неопределенности, намечать и проверять ряд возможных решений, осуществлять выбор между ними, подчас не имея к тому достаточных оснований.

При обучении математике на решение задач отводиться бoльшая часть учебного времени. Однако, как показывают результаты многих исследований, учебное время, отводимое на решение задач в школе, исползуется неэффективно, а это отрицательно сказывается на качестве обучения математике в целом.

Эвристическая задача - лучший способ мгновенно возбудить внимание

и познавательный интерес, приблизить возможность открытия. Эвристические задачи могут быть предложены как для классной, так и для домашней работы, причем ученик должен иметь право выбора любого варианта задания. ≪Целостная эвристическая задача требует следующих умений: анализировать её условие; преобразовывать основные проблемы в ряд частных, подчинённых главной; проектировать план и этапы решения; формулировать гипотезу; синтезировать различные направления поисков; проверять решение и т.д.≫. Система специально разработанных эвристических задач помогает школьнику овладеть умением самостоятельно выполнять каждый из этапов решения. Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе нестандартных задач на сообразительность, задач- шуток, математических ребусов, софизмов.

Эвристическое обучение предполагает осуществление творчества, творческой деятельности , как учащимися , так и учителями . При этом творческая деятельность может рассматриваться ≪как создание качественно нового, никогда ранее не существовавшего≫.

Трайнев И.В. утверждает, что использование эвристического обучения, в том числе и на уроках математики, должно помочь обучаемому четко ответить на следующие вопросы: 1) Что конкретно дано? 2) Что конкретно надо найти? 3) Что известно в данном поиске? 4) Какие аналогичные задачи в обучении уже решались и есть ли возможность ими воспользоваться? 5) Какая аналитическая и качественная информация нужна, чтобы оптимально решить задачу?

Эвристический метод обучения позволяет педагогу предоставить учащимся больше самостоятельности и творческого поиска по сравнению с традиционными методами обучения. Однако сложность разработки эвристических уроков состоит в том, что при их разработке учитель должен учитывать:

а) общий уровень развития ученического коллектива;

б) возрастные особенности формирования креативной сферы;

в) индивидуальные особенности учащихся;

г) особенности содержания учебного материала по математике.

Условиями формирования эвристических, креативных способностей у

учащихся выступают:

1) положительные мотивы учения (≪Все наши замыслы, все поиски и построения превращаются в прах, если нет у учащихся желания учиться.≫

2) интерес учащихся к предмету (≪Как бы ни старался учитель, к каким бы методикам не прибегал, какой бы техникой не владел - повысить эффективность обучения, не вызывая у обучающихся интереса к учебному материалу, невозможно≫ );

3) творческая активность;

4) положительный микроклимат в коллективе;

5) сильные эмоции;

6) предоставление свободы выбора действий, вариативность работы.

В соответствии с этими психолого-педагогическими задачами можно определить эвристическую цель через систему критериальных требований к содержанию обучения (предмет задачи, условие и требование): латентность (проблемность, многопланово суть условия); неопределенность (открытость,≪размытость≫ условия, полипредметность, многовариантность решения); доступность (мера трудности и сложности); связь с содержанием математики.

Для обоснования методических рекомендаций и условий реализации

эвристического обучения, раскроем сущность принципов эвристического обучения по Хуторскому А.В (Под принципами эвристического обучения Хуторской А.В. понимает ≪выявленные опытным путем положения, на основе которых осуществляется эвристическое обучение в конкретных условиях математики≫. )

1. Принцип личностного целеполагания ученика: образование каждого ученика происходит на основе и с учетом его личных учебных целей. Следует обучать школьника, познав его возможности и способности на основе наблюдения прогрессивных психолого-педагогических методов. Педагогическим требованием к деятельности учителя является создание условий по осмыслению и применению этих целей.

2. Принцип выбора индивидуальной образовательной траектории: ученик имеет право на осознанный и согласованный с педагогом выбор основных компонентов своего образования.

3. Принцип продуктивности обучения: главным ориентиром обучения является личностное образовательное приращение ученика, складывающееся из его внутренних и внешних образовательных продуктов учебной деятельности.

4. Принцип ситуативности обучения: образовательный процесс строится на ситуациях, предполагающих самоопределение учеников и эвристический поиск их решения. Учитель сопровождает ученика в его образовательном движении.

5. Принцип образовательной рефлексии: образовательный процесс сопровождается его рефлексивным осознанием субъектами образования. Понятно, что соблюдение этих принципов в результате деятельности, будет содействовать повышению качества обучения.

В заключение хотелось бы отметить . что педагогическая ценность эвристических уроков по математике заключается в том, что учащиеся самостоятельно добывают новые знания, учатся их применять, исходя из уже имеющегося опыта, получают собственный образовательный продукт. Использование эвристических методов на уроках математики позволяет учащимся приобрести навыки формирования оригинальных решений практических задач, самостоятельного анализа и раскрытия сути изучаемого вопроса, нахождения достоверной качественной информации, ее обработки и эффективного использования. Осуществление эвристического обучения способствует развитию у учащихся научного и практического кругозора, расширению возможностей всестороннего и глубокого проникновения в суть математики. Эвристическое обучение также позволяет активизировать самостоятельную творческую мыслительную деятельность учащихся, стимулировать их в процессе генерирования новых идей.



Эвристические приемы решения математических задач.


Прием элементарных задач. Его суть различные авторы трактуют по-разному. Для одних она заключается в использовании простейших упражнений для формирования навыков применения отдельных теорем, определений, аксиом. Другие усматривают ее в поэлементном формировании сложного умения, например умения применять векторы в конкретных ситуациях. Третьи связывают этот прием с решением задач, которые являются элементами основной, и т. д. Очевидно, что указанные точки зрения на сущность приема элементарных задач отражают различные его стороны. 

Выполнение подобных упражнений обусловлено навыками применения основных тригонометрических формул и умением проводить преобразования вида:

Для отработки навыков выполнения этих преобразований рекомендуются следующие элементарные упражнения: упростить.

Заметим, что зачастую элементарные задачи предлагают на готовых чертежах. Эффективность такого средства очевидна — решение задачи на готовом чертеже требует меньше времени на анализ ее формулировки, при этом отпадает необходимость выполнения чертежа, сам рисунок направляет внимание школьника на главное в задаче. Задачи на готовых чертежах являются элементом методики обучения математике. Например, формирование понятий предусматривает овладение обучаемым действием распознавания объектов, принадлежащих понятию. Оно осуществляется при выполнении упражнений на подведение заданных объектов под понятие. Необходимость варьирования объектов предполагает использование большого числа задач. Задачи же на готовых чертежах экономят время и сосредоточивают деятельность школьников на главной в этой ситуации цели — овладеть действием распознавания.

Немаловажно и то, что задачи на готовых чертежах решаются чаще устно, однако не исключается письменное оформление решения. Более того, сами упражнения на готовых чертежах могут выступать в качестве средства обучения школьников письменному оформлению решения, так как легко позволяют дозировать число умозаключений в доказательстве предложения.

Система вспомогательных элементарных упражнений, используемых для обучения решению задач, может быть построена с помощью анализа этого решения. Умение строить такую систему позволяет сделать процесс решения задачи управляемым, заранее предвидеть трудности учащихся и помощь в их преодолении.

Рассмотрим задачу: Доказать, что полусумма кубов двух неравных чисел больше куба их полусуммы.

Итак, нам нужно доказать, что

(А)

1) Очевидно, что для доказательства неравенства (А) достаточно доказать неравенство

(A1)

2) Для того чтобы доказать неравенство (A1), достаточно доказать неравенство

(A2)

3) Для того чтобы доказать неравенство (A2), достаточно доказать,

что

(А3)

4) Чтобы доказать неравенство (A3), достаточно доказать, что

(A4)

и

(A5)

Структура решения данной задачи может быть представлена следующим образом: А⇐A1⇐A2⇐A3⇐A4∧A5.

Последовательность упражнений, направленная на подготовку решения задачи (А), такова: A5, АА, A3, A2, A1, А.

Ясно, что учитель перед решением задачи (А) может использовать не всю цепочку упражнений, а лишь некоторые из них. Упражнения A5, A4, A3, A2, A1 можно считать элементарными задачами по отношению к задаче (А).

Надо сказать, что в литературе часто рекомендуют перед решением сложной задачи прорешать вспомогательные задачи — элементы. Однако следует учитывать, что деятельность по решению задач имеет сложную структуру. Решение цепочки «вспомогательные задачи — основная задача», хотя и упрощает решение конкретной задачи, тем не менее не обеспечивает формирования сложного комплекса умений осуществлять поиск решения задачи. Сам поиск решения играет огромную роль в формировании общих приемов решения задач, творческой деятельности учащихся. Поэтому решение цепочки «вспомогательные задачи — основная задача» неадекватно деятельности поиска способа решения задачи. Предварение всякий раз сложной задаче решения ее компонентов обедняет влияние этого процесса на развитие ученика.

Более эффективен метод элементарных задач в иной модификации, суть которой заключается в следующем. Для задач каждой темы любого школьного учебника математики можно указать, в свою очередь, ряд задач, являющихся элементами большинства задач этой темы (зачастую они в учебниках отсутствуют). Решение таких задач-элементов должно быть специальным предметом обучения школьников в процессе изучения этой темы. Например, использование понятия пирамиды в различных конкретных ситуациях часто опирается на такие положения:

1. Если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности.

2. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды проходит через центр вписанной в основание пирамиды окружности.

Ясно, что знание указанных свойств должно быть сформировано посредством специальных упражнений. Примеры упражнений:

1. Боковые ребра треугольной пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом а. Докажите, что проекции боковых ребер пирамиды на плоскость ее основания равны.

2. Известно, что боковые ребра треугольной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности.

3. В основании пирамиды, боковые ребра которой наклонены к основанию под одним и тем же углом, лежит прямоугольный треугольник. Изобразите эту пирамиду и ее высоту, проведенную к основанию.

4. Сформулируйте задачу, аналогичную задаче 2, применительно к четырехугольной пирамиде, и решите ее.

5. Известно, что высота пирамиды, в основании которой находится тупоугольный треугольник, проходит через точку, принадлежащую внутренней области этого треугольника. Докажите, что боковые ребра пирамиды не могут быть наклонены к плоскости ее основания под одним и тем же углом.

6. Постройте задачу, являющуюся обобщением задачи 2, и решите ее.

Серия упражнений, ориентированных на усвоение свойства 2, может быть уже составлена самими учащимися по аналогии с указанными задачами.

Отметим еще один аспект элементарных задач. Формирование любого метода предполагает формирование действий, его составляющих. Так, например, метод геометрических преобразований составляют умения: 1) строить образы фигур при заданном преобразовании; 2) видеть соответственные точки на соответственных при том же преобразовании фигурах; 3) выделять элементы, определяющие преобразование; 4) строить соответственные при заданном преобразовании точки на произвольно заданных фигурах; 5) использовать специфические свойства преобразования. В учебниках геометрии должны быть упражнения, ориентированные на формирование этих умений и их совокупностей. Этот аспект метода элементарных задач очень важен, и его реализации должно быть уделено специальное внимание как в методической литературе, так и в практике обучения математике.

Прием представления задачи в пространстве состояний. Представим себе игру в домино. Первый игрок выставляет кость 1—2. Сразу возникает система поиска следующего хода: можно приложить кость или к 1, или к 2. Если второй игрок выставил кость 1—5, то затем можно будет воспользоваться пятерками, а если он выставит 1—6, то шестерками и т. д. Возникает так называемое пространство состояний. Проиллюстрируем эту мысль пространством состояний, соответствующим задаче:

Докажите тождество

Начальное состояние:

Целевое состояние:

Наиболее реальные пути преобразования начального состояния приводят к появлению новых трех вершин (состояний).

Будем преобразовывать далее состояния, свойственные каждой из полученных трех вершин.

Проиллюстрируем преобразование, раскрывая последнюю вершину:

Мы нашли один из путей решения задачи, может быть и не самый рациональный. Для нахождения последнего надо иметь несколько способов преобразования начального состояния в целевое.

Процедура использования приема представления задачи в пространстве состояний достаточно громоздка и «в чистом виде» в школьной практике не используется. Изучение тригонометрического выражения, записанного в левой части равенства, приводит к мысли об использовании формулы tg х = sinx/cosx, так как это преобразование приводит к выражению, содержащему sin2 х и cos х (sin2 х легко представить через cos2x), правая часть равенства содержит cos x. Перспектива рассматриваемого пути преобразования очевидна.

Практическая реализация идеи представления задачи в пространстве состояний осуществляется продвижением в двух направлениях: от начального состояния к целевому и от целевого к начальному.

Прием рассмотрения предельного случая. Сущность этого приема покажем на примере следующей задачи.

Задача. Дана окружность радиуса R. Из точки А, отстоящей от центра О окружности на расстояние a (a R), проведена секущая. Точки В и С ее пересечения соединены с центром О.

Найдите

Рассмотрим предельный случай, заключающийся в вырождении секущей в касательную (точки В и С совпадают). Тогда γ = ß и

Полученный результат подсказывает целесообразность введения в рассмотрение в общем случае отрезков a — R и а + R, образующихся при пересечении прямой АО с окружностью.

Прием вспомогательной фигуры. Рассмотрим задачу: На гипотенузе ВС прямоугольного треугольника ABC (∠А — прямой) построен квадрат BCDK так, что точки A и Р (Р — точка пересечения его диагоналей) лежат по разные стороны от прямой ВС. Докажите, что луч АР — биссектриса угла А.

Рассмотрим частный случай: пусть △АВС — прямоугольный и равнобедренный. Даже непосредственное рассмотрение рисунка, моделирующего эту ситуацию, приводит к выделению на нем фигуры АВРС, имеющей прямую АР своей осью симметрии (точки А и Р равноудалены от точек В и С), откуда и следует справедливость доказываемого утверждения.

Теперь будем изучать рисунок с целью отыскать обобщение задачной ситуации. Его анализ подсказывает, что около четырехугольника АСРВ можно описать окружность, диаметром которой является отрезок ВС. Углы ВАР и РАС оказываются вписанными в эту окружность и опирающимися на равные дуги BP и PС. Обнаружен еще один способ решения частной задачи. Однако он указывает и путь обобщения: перемещение точки А по дуге ВАС приводит к обобщенной задачной ситуации, указанной в условии данной задачи. Ключ к решению найден. Им является вспомогательная окружность, описанная около прямоугольного треугольника ABС. Анализ задачи позволяет выделить эвристический прием, суть которого в следующем: если дан прямоугольный треугольник, то опишите вокруг него окружность и рассмотрите конфигурацию, состоящую из этой окружности и прямоугольного треугольника, вписанного в нее.

Рассматриваемый прием часто используется при решении стереометрических задач, когда заданный тетраэдр достраивают до параллелепипеда, проводя через каждое его ребро плоскость, параллельную противоположному.

Прием вспомогательной фигуры широко используется не только в геометрии. Некоторая его модификация находит применение и в курсе алгебры. Например, при решении уравнений используют прием введения нового неизвестного, относительно которого уравнение приобретает более простой вид.

Введем вспомогательное неизвестное:

Решите уравнение

∛x — 2 + √x + 1 = 3.

Введем две вспомогательные неизвестные: ∛x-2 = y и √x + 1 = z. Тогда придем к системе уравнений: y + z = 3, z2 + y3 = 3, откуда у = 1, z = 2. Использовав какую-либо из этих неизвестных, получаем: х = 3.











БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1. Воробьев Г.Г. Школа будущего начинается сегодня.:кн.для учителя.- Москва: Просвещение,1991.-239 с.

  2. Дистервег А. Избранные педагогические сочинения . Т.1 –Санкт –Петербург,1985.-248с.

  3. Каменский Я.А. Великая дидактика/пер. с лат. А. Щепинский. –Санкт – Петербург: Тип. Э.Арнгольда,1989.-326с.

  4. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мокрушин Е.Л. и другие. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики / М., Просвещение, 2014.- 367 с

  5. Крутецский В.А. Психология математических способностей школьников. М.,1968.-432с.

  6. Кулюткин Ю.К. Эвристические методы в структуре решений. – Москва: Педагогика, 1970. -232с.

  7. Матюшкин А.М., Проблемные ситуации в мышлении и обучении.-Москва.:Наука,1972.-150 с .

  8. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика; Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский, -2-е издание переработано и дополнено / М., Просвещение ,2014.-367 с.

  9. Лезан Ф., Развитие математической инициативы.,М.:Наука,1989.-162с.

  10. Лернер И.Я . Проблемное обучение, - Москва: Знание ,1974-64с.

  11. Окунев А.А. «Как учить не уча».- Санкт –Петербург: Москва; Харьков;Минск;ПИТЕР,1996.-448с.

  12. Пойа Д. «Математика и правдоподобные рассуждения» .,М.: Наука, 1985. 464 с

  13. Пойа Д. Математическое открытие: решение задач: основные понятия, изучение и преподавание (текст)/ Д.Пойа- М.: наука , 1986.-448с.

  14. Пономарев Я. А., Психология творческого мышления, М,: Наука,1960.-304с.

  15. Примерная основная образовательная программа основного общего образования [Электронный ресурс] / Министерство просвещения Российской Федерации.- Режим доступа: https://fgosreestr.ru/registry/пооп (дата обращения: 25.04.2020). - Текст: электронный.

  16. Российская педагогическая энциклопедия : В 2 т. / Гл. ред. В. Г. Панов. - М. : Большая Рос. энцикл., 1993-1999. - 27 см.

  17. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования.- Москва.: Наука,1958.-170 с.

  18. Саранцев Г.И. Методика обучения математики в средней школе: Учеб. Пособие для студентов мат .спец. пед. вузов и ун-тов/ Г.И. Сарнцев. – М.: Просвещение, 2002.- 224с.

  19. Семенов, Евгений Михайлович.Развитие мышления на уроках математики / Е. М. Семенов, Е. Д. Горбунова. - Свердловск : Сред.-Уральское кн. изд-во, 1966. - 79 с.

  20. Сойер У.У., Прелюдия к математике.,М.:1972.-192 с.

  21. Соколов В.Н. Педагогическая эвристика: Введение в теорию и методику эвристической деятельности: Уч.пособие для студентов высших учебных заведений.-М.: Аспект Пресс, 1995.- 255с.

  22. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. URL: https://fgos.ru/ (дата обращения: 25.04.2020). - Текст: электронный.

  23. Федеральный закон "Об образовании в Российской Федерации" № 273-ФЗ от 29 декабря 2012 г. - URL: http://zakon-ob-obrazovanii.ru/ (дата обращения: 20.04.2020). - Текст: электронный.

  24. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.,Как научиться решать задачи.: кн.для учащихся.- 3-е изд. Дораб.- Москва : просвещение, 1989.-192 с.

  25. Хуторской, А.В. Современная дидактика: Учебник для вузов [Текст] / А.В. Хуторской; СПб.: Питер, 2001. – 544 с.

  26. Хуторской, А.В. Развитие одаренности школьников: Методика продуктивного обучения: Пособие для учителя / А.В. Хуторской; М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2000 – 320 с

  27. Хуторской А.В. Эвристическое обучение: Теория, методология, практика. - М.: Международная педагогическая академия, 1998. – 266 с.

  28. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе / Москва, Изд-во «Просвещение», 2013-336с.

  29. Шарыгин, И.Ф. Рассуждения о концепции школьной геометрии [Текст] / И.Ф. Шарыгин; М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2000. – 56 с

  30. Якиманская И.С., Развивающее обучение.- Москва,1979. -144 с.

  31. Яковлева Е.Л. Психология развития творческого потенциала личности.- Москва: Флинта, 1997.- 224 с.



Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!