Система задач «Содержательный подход к измерению информации»

Департамент образования города Москвы

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования города Москвы

«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Педагогический институт математики и информатики

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Выполнила студентка

3 курса, группы 3 ИКВ

Климова Екатерина Сергеевна

Москва, 2014 год

Разнообразный дидактический материал даёт возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности заданий варьируется от базового до углубленного. Учащимся бывает трудно полностью формулировать условие задачи, поэтому им предложены задачи с не сформулированным вопросом и задачи с неполным составом условий.

В результате изучения темы учащиеся должны:

• уметь решать задачи на содержательный подход к измерению количества информации;

• знать формулы Р. Хартли и К. Шеннона.

Система задач содержит 4 блока:

1. задачи на половинное деление;

2. задачи на знание формулы;

3. задачи с не сформулированным вопросом (в задачах этой серии не формулируется вопрос, но этот вопрос логически вытекает из данных в задаче отношений);

4. задачи с неполным составом условий (в этих задачах отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным, учащиеся должны указать, каких данных не хватает, и проанализировать при введении, каких данных, какое решение будет иметь задача).

Блок 1

1. В коробе грибника лежат грибы: белые, подосиновики и мухоморы. Всего 32 гриба. Сообщение о том, что вынули мухомор, несет 4 бита информации. Мухоморов в 3 раза меньше, чем белых. Сколько грибов каждого типа?

a) белых — 6, подосиновиков — 24, мухоморов — 2

b) белых — 12, подосиновиков — 16, мухоморов — 4

c) белых — 3, подосиновиков — 28, мухоморов — 1

d) белых — 9, подосиновиков — 20, мухоморов — 3

1. В зелье Баба Яга положила: мухоморы и поганки. Всего 16 грибов. Сообщение о том, что положила мухомор, несет 2 бита информации. Сколько было поганок?

a)12 b)11 с)8 d)14

1. Среди 32 монет — одна фальшивая (более легкая). Укажите минимальное количество взвешиваний на двухчашечных весах без гирь, которое потребуется для поиска фаль­шивой монеты.

a)2 b)3 с)4 d)5

1. Среди 64 монет — одна фальшивая (более легкая). Укажите минимальное количество взвешиваний на двухчашечных весах без гирь, которое потребуется для поиска этой монеты.

a)3 b)4 c)5 d)6

1. Среди 80 монет — одна фальшивая (более легкая). Укажите минимальное количество взвешиваний на двухчашечных весах без гирь, которое потребуется для поиска этой монеты.

a)4 b)5 c)6 d)7

Блок 2

1. В корзине лежат 16 шаров разного цвета. Сколько информации несет сообщение о том, что из корзины достали красный шар?

2. Какое количество информации содержится в неинформационном сообщении?

3. Найти количество информации в однозначном сообщении.

4. Измерить количество информации при ответе на вопрос: «Какие завтра намечаются осадки?»

5. Какое количество информации потребуется для кодирования одного шахматного поля?

6. Получено сообщение, объемом 10 бит. Какое количество сообщений возможно составить из полученных данных?

7. Какое количество слов получится из фразы в 8 бит?

8. В корзине лежит 16 шаров разного цвета. Сколько информации несет сообщение, что достали белый шар?

9. Сообщение о том, что ваш друг живет на 6 этаже несет 4 бита информации. Сколько этажей в доме.

10. За четверть ученик получил 100 оценок. Сообщение о том, что он получил четверку, несет 2 бита информации. Сколько четверок ученик получил за четверть?

Блок 3

1. При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до N было получено 7 бит информации.

2. Сообщение о том, что ваш друг живёт на 10 этаже, несёт 4 бита информации.

3. Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 150 страниц; на каждой странице – 40 строк, в каждой строке – 60 символов.

4. Информационное сообщение объёмом 1,5 Кбайта содержит 3072 символа.

5. Сообщение, записано с помощью 16-ти символьного алфавита, имеет 1/16 часть Мбайта.

Блок 4

1. Группа школьников пришла в бассейн. Тренер сообщил, что группа будет плавать на дорожке №3. Сколько информации получили школьники из этого сообщения?

2. В корзине лежат шары разного цвета. Сколько информации несёт сообщение о том, что из корзины достали красный шар?

3. Была получена телеграмма: «Встречайте, вагон 7.» Какое количество информации было получено из данной телеграммы?

1. Занятия могут состояться в одном из кабинетов, номера которых от 1 до 16. Сколько информации содержит сообщение о том, что занятия будут проходить в кабинете №7?

2. В мешке лежат 16 красных яблок. Сколько информации содержит сообщение о том, что достали красное яблоко?

3. Сколько бит информации содержит сообщение, что случайным образом выбрано одно число в диапазоне от 11 до 74 включительно?

4. Задумано нечётное число от 1 до 7. Сколько бит информации в сообщении о том, какое число угадано? Сколько вопросов надо задать, чтобы угадать это число?

5. Сообщение о том, что выступать за всю команду будет игрок под номером 5, содержит 3 бита информации. Сколько игроков в команде?

6. Сообщение о том, что угадали одно число в диапазоне от 0 до М, содержит 5 бит информации. Сколько чисел содержит диапазон? Чему равно М?

7. В коробке лежат три различных карандаша красного оттенка (розовый, малиновый, бордовый), три различных карандаша синего оттенка (голубой, лазурный, тёмно-синий) и несколько карандашей различных оттенков зелёного цвета. Сообщение о том, что достали бордовый карандаш, содержит 3 бита информации. Сколько карандашей зелёного оттенка находится в коробке?

Ответы и решения

Блок 1

1. Здесь идет речь о разновероятных событиях. Формула подсчет количества информации в данном случае:

24 = 1/Р, где

i — количество бит информации, которое содержится в сообщении, что произошло событие — достали мухомор; i = 4 (по условию); Р — вероятность события, что достали мухомор.

24 = 1/Р, следовательно, Р = 1/16.

С другой стороны, Р = Х/32, где X — количество мухоморов. Тогда Х = 2.

2. Здесь идет речь о равновероятных событиях. Формула подсчета количества информации в данном случае:

2i=1/Р, где

i - количество бит информации, которое содержится в сообщении, что произошло событие— положили мухомор; i = 2 (по условию).

Р - вероятность события, что положили мухомор. 22 = 1/Р, Р = 1/4.

С другой стороны, Р = Х/16, где X — количество мухоморов. Тогда X = 4, 16-4 = 12 (поганок).

3. Обычно ученики пытаются искать решение по формуле N = 2i, где N — количество вариантов. А здесь надо отойти от стереотипов и искать оптимальный алгоритм.

1 шаг. 11, 11, 10 — отложить (в 11 монетах)

2 шаг. 4, 4, 3 — отложить (в 4 монетах)

3 шаг. 1, 1; 2 — отложить (в 2 монетах)

4 шаг. 1, 1.

Если при взвешивании на 1-м шаге фальшивая монета окажется в группе из 10 монет, то можно добавить одну нефальшивую и продолжить выполнять уже записанный алгоритм.

4. Оптимальный алгоритм.

1-й шаг. 21, 21, 22 — отложить (в 22 монетах),

2-й шаг. 7, 7, 8 — отложить (в 8 монетах),

3-й шаг. 3, 3, 2 — отложить (в 3 монетах),

4-й шаг. 1,1,1 — отложить.

Если при взвешивании на 1-м шаге фальшивая монета окажется в группе из 21 монеты, то можно добавить одну нефальшивую к и продолжить выполнять уже записанный алгоритм.

5. Оптимальный алгоритм.

1-й шаг. 27, 27, 26 — отложить (в 27 монетах),

2-й шаг. 9, 9, 9 — отложить,

3-й шаг. 3, 3, 3 — отложить,

4-й шаг. 1,1,1 — отложить.

Если при взвешивании на 1-м шаге фальшивая монета окажется в группе из 26 монет, то можно добавить одну нефальшивую и продолжить выполнять уже записанный алгоритм.

Блок 2

1. Вытаскивание из корзины любого из 16 шаров – события равновероятные. Поэтому для решения задачи применима формула 2 i = N. Здесь N = 16 – число шаров. Решая уравнение 2 i =16, получаем ответ: i = 4 бита.

2. N=0 = 2i=0 = i=«пустое множество»

3. N=1 = 2i=1 = i=0 бит

4. N=4 = 2i=4 = i=2 бит

5. N=8*8=64 = 2i=64 = i=6 бит

6. i=10 = 210=1024 = N=1024 сообщения

7. i=8 = 28=256 = N=256 слов

8. N=16 = 2i=16 = i=4

9. i=4 = 24=16 = N=16 этажей

10. i =2 = 22=4 = N=4 отметки. Это очевидно. Отметки «2», «3», «4», «5». Всего получено 100 отметок, а вот сколько из них четверок, не понятно даже ёжику.

Блок 3

1. Чему равно число N?

Дано: i=7 бит

Найти: N

Решение: N = 2⁷ = 128

Ответ: диапазон чисел имеет значение от 1 до 512.

1. Сколько этажей в доме?

Дано: i=4 бита

Найти: N

Решение: N = 24 = 16 этажей.

Пояснение: события равновероятны, т.к. номера этажей не повторяются.

Ответ: 16 этажей.

1. Какой объём информации во всей книге?

Дано: k₁=150; k₂=40; k₃=60

Найти: I

Решение: 150*40*60 = 360000 символов.

Т.к. 1 символ весит 1 байт, информационный объем книги равен

I=360 000 байтов.

Переведем байты в более крупные единицы:

360 000 / 1024 = 351,56 Кб

351,56 / 1024 = 0,34 Мб

Ответ: Информационный объем текста 0,34 Мб.

1. Сколько символов содержит алфавит?

Дано: i=1,5 Кбайта

Найти: N

Решение: 1,5 Кбайта=1,5 * 1024 байта = 1,5 * 1024 *8 бит = 12288 бит

12288/3072 = 4 бита - на один символ

Значит N=2^4 = 16 символов в алфавите

Ответ: 16 символов

1. Сколько символов содержит сообщение?

Дано: i=1/16 часть от Мб

Найти: N

Решение: В 16ти символьном алфавите каждый символ весит 4 бита, так как 2⁴=16.

i=(1/16)*1024*1024*8=1024*512=524288бит(1/16 часть мегабайта перевели в биты)

524288/4=131072 символа

Ответ: 131072 символа.

Блок 4

1.Сколько всего дорожек в бассейне?

Предположим, что в бассейне 4 дорожки.

Пояснение: номер дорожки (3) не влияет на количество информации, так как вероятности событий в этих задачах мы приняли считать одинаковыми.

Дано: N=4

Найти: i

Решение: из 4 дорожек необходимо выбрать одну, т.е. N = 4.

N=2ⁱ

4=2ⁱ

i=2 бита

Ответ: 2 бита.

2. Сколько всего шаров в корзине?

Предположим, что в корзине 16 шаров.

Дано: N=16

Найти: i

Пояснение: события равновероятны, т.к. всех цветов в коробке присутствует по одному.

Решение: N=2ⁱ

из 16 равновероятных событий нужно выбрать одно.

Поэтому N = 16, следовательно, i = 4 (16 = 2⁴).

Ответ: 4 бита.

3.Сколько всего в составе поезда вагонов.

Предположим, в составе 32 вагона.

Дано: N= 32

Найти: i

Решение: так как из 16 вагонов нужно выбрать один, то N = 16,

N=2ⁱ

32=2ⁱ

i=5 бита

Ответ: 5 бит.