Системы линейных уравнений с двумя переменными. Основные сведения.

Системы линейных уравнений с двумя переменными.

Ранее мы выяснили, что невозможно найти все решения линейного уравнения с двумя переменными (кроме того случая, когда на эти решения накладываются определённые условия). Но разберём такую ситуацию: даны два линейных уравнения с двумя переменными и необходимо найти значения переменных, чтобы они удовлетворяли одновременно обоим уравнениям. Всю эту фразу можно заменить тремя словами – решить систему уравнений. И обозначается система фигурной скобкой.

Например, уравнения и должны иметь одно и то же решение, значит, задана система двух уравнений:

Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые удовлетворяют и первому, и второму уравнению одновременно. Существует несколько способов решения систем уравнений, но их мы разберём на следующем занятии.

Решением системы линейных уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Например, пара чисел является решением системы уравнений т.к. При подстановке этой пары чисел в каждое уравнение системы, оно обращается в верное равенство.

Существует три возможных варианта в поиске решений системы линейных уравнений с двумя переменными:

1. Система не имеет решений.

2. Система имеет единственное решение.

3. Система имеет бесконечно много решений.

Разберём, при каких условиях возможен каждый вариант. Для этого запишем общий вид системы: Для того, чтобы определить, сколько решений имеет система, выразим в каждом уравнении переменную у через переменную х.

1. Система не имеет решений, если В этом случае угловые коэффициенты линейных функций одинаковы, поэтому прямые будут параллельны, т.е. нет общих точек.

Например, Здесь . Значит, . Видно, что и , поэтому система уравнений не имеет решений. Проверим это на графике, выразив в каждом уравнении у через х.

– линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки

– линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки

Мы видим, что прямые параллельны, у них нет общих точек, значит, и система решений не имеет.

1. Система имеет единственное решение, если В этом случае угловые коэффициенты линейных функций различны, поэтому прямые не будут параллельны, т.е. пересекаются, значит, имеют одну общую точку.

Например, Здесь . Значит, . Видно, что и , поэтому система уравнений имеет единственное решение. Проверим это на графике, выразив в каждом уравнении у через х.

– линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки

– линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки

На графике две прямые пересекаются в одной точке , значит, система имеет единственное решение .

1. Система имеет бесконечно много решений, если В этом случае угловые коэффициенты линейных функций одинаковы, свободные члены также равны, поэтому прямые будут совпадать, т.е. иметь бесконечно много общих точек.

Например, Здесь . Значит, . Видно, что и , поэтому система уравнений имеет бесконечно много решений. Проверим это, выразив в каждом уравнении у через х.

Уравнения получились абсолютно одинаковые, значит, прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

1. Является ли решением системы уравнений пара чисел: ?

2. Является ли решением системы уравнений пара чисел: ?

3. Является ли решением системы уравнений пара чисел: ?

4. Является ли решением системы уравнений пара чисел: ?

5. Известно, что пара чисел:

является решением системы уравнений Найдите числа и .

1. Известно, что пара чисел является решением системы уравнений Найдите числа и .

2. Известно, что пара чисел является решением системы уравнений Найдите числа и .

3. Составить какую-либо систему двух линейных уравнений с двумя переменными, если известно, что решением этой системы является пара чисел

4. Найдите значения и , при которых система уравнений

   1. имеет бесконечно много решений;

   2. не имеет решений.

5. Подберите, если возможно, такое значение , при котором данная система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений:

1. Подберите, если возможно, такое значение , при котором данная система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений:

2. Выясните, имеет ли решения система, и если да, то сколько:

1. Найдите такие значения и , чтобы система имела бесконечно много решений:

2. При каком отрицательном значении параметра система не имеет решений?

3. К уравнению подберите второе уравнение так, чтобы получить систему уравнений:

   1. имеющую бесконечно много решений;

   2. не имеющую решений;

   3. имеющую единственное решение.

4. К уравнению подберите второе уравнение так, чтобы получить систему уравнений:

   1. имеющую бесконечно много решений;

   2. не имеющую решений;

   3. имеющую единственное решение.

5. К уравнению подберите второе уравнение так, чтобы получить систему уравнений:

   1. имеющую бесконечно много решений;

   2. не имеющую решений;

   3. имеющую единственное решение.

2