Системы счисления

Тема: Кодирование информации. Алгоритмы перевода.

Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.

Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор цифр.

Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).

Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

Система счисления - это совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов (некоторый способ кодирования числовой информации).

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки которые используются при записи чисел, называются цифрами.

Сначала рассмотрим непозиционные системы счисления.

Рассмотрим непозиционные системы счисления.

Остановимся поближе на Римской непозиционной системой счисления.

Римской системе в качестве цифр используются латинские буквы.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания.

В таком случае их значения складываются.

Если же слева записана меньшая цифра, а справа - большая, то их значения вычитаются.

Пример:

CCXXXII=100+100+10+10+10+1+1=232
VI=5+1=6
IV=5-1=4
MCMXCVIII= =1000+(-100+1000)+(-10+100)+5+1+1+1=1998

Теперь поговорим о позиционных системах счисления.

Создание позиционных систем счисления позволили записывать сколь угодно большие числа с помощью небольшого количества цифр, а также возникла возможность упростить выполнение арифметических операций над числами.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Позиция цифры в числе называется разрядом.

Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание.

Основание – это количество используемых цифр.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, третья – три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием п нужно иметь алфавит из п цифр. Обычно для этого при пп первых арабских цифр, а при п10 к десяти арабским добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем.

Если требуется указать основание системы счисления, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу.

Например: 101101₂, 7658₁₀, 3В8А₁₆

В системе счисления с основанием q единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ричной системе счисления требуется q различных цифр, изображающих числа 0,1,…, q-1.

Развернутой формулой числа называется запись в виде:

А_q=a_n*qⁿ+a_n-1*q^n-1+…+a₀*q⁰+a_-1*q^-1+ …+a_-m*q^-m

где

А_q = само число

q-основание системы счисления

а – цифры данной системы счисления

п – число разрядов

Развернутая форма числа в двоичной системе счисления:

А₂=a_n*2ⁿ+a_n-1*2^n-1+…+a₀*2⁰+a_-1*2^-1+ …+a_-m*2^-m

Пример: Получить развернутую форму десятичных чисел:

32478₁₀=3*10⁴+2*10³+4*10²+7*10¹+8*10⁰

Сравнение чисел в различных системах счисления

Пример. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

23₁₆, 32₈, 11110₂.

Решение. Переведём все числа в десятичную систему счисления:

23₁₆ = 35₁₀;

32₈ = 26₁₀;

11110₂ = 30₁₀. Таким образом, наибольшим среди этих трёх чисел является число 35.

Ответ: 35.

Задачи для тренировки:

1. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

38₁₆, 75₈, 110100₂.

2. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

14₁₆, 26₈, 11000₂.

3. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

24₁₆, 50₈, 101100₂.

4. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

50₁₆, 106₈, 1001010₂.

5. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

50₁₆, 106₈, 1001010₂.

1. Как представлено число 83₁₀ в двоичной системе счисления?

1) 1001011₂ 2) 1100101₂ 3) 1010011₂ 4) 101001₂

1. Сколько единиц в двоичной записи числа 195?

2. Сколько единиц в двоичной записи числа 173?

3. Как представлено число 25 в двоичной системе счисления?

1) 1001₂ 2) 11001₂ 3) 10011₂ 4) 11010₂

1. Как представлено число 82 в двоичной системе счисления?

1) 1010010₂ 2) 1010011₂ 3) 100101₂ 4) 1000100₂

1. Как представлено число 263 в восьмеричной системе счисления?

1) 301₈ 2) 650₈ 3) 407₈ 4) 777₈

1. Как записывается число 567₈ в двоичной системе счисления?

1) 1011101₂ 2) 100110111₂ 3) 101110111₂ 4) 11110111₂

1. Как записывается число A87₁₆ в восьмеричной системе счисления?

1) 435₈ 2) 1577₈ 3) 5207₈ 4) 6400₈

1. Как записывается число 754₈ в шестнадцатеричной системе счисления?

1) 738₁₆ 2) 1A4₁₆ 3) 1EC₁₆ 4) A56₁₆

Ответы