Системы счисления. Недесятичная арифметика

Система счисления — совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов (цифр) .

Количество цифр (знаков), используемых для представления чисел называют Основанием системы счисления

Системы счисления

Непозиционные

Позиционные

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа

Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число

Древнегреческая, римская

Десятичная, двоичная и т.д.

В разные исторические периоды многие народы пользовались системами счисления отличными от десяти.

• Приняв за основание число 10 , получаем знакомую нам десятичную систему счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Всего 10 разных знаков составляют алфавит десятичной системы счисления. Можно записать любое число включая все эти знаки: 237, 12840, 987, 23...

• Для десятичной системы счисления q =10

• Приняв за основание число 2 , получаем двоичную систему счисления:

0, 1

Всего 2 разных знака составляют алфавит двоичной системы счисления.

Можно записать любое число включая эти знаки: 1, 11, 101, 110, 10010011… - обратите внимание: используем только цифры от 0 до 1.

Для двоичной системы счисления q =2

• Приняв за основание число 8 , получаем восьмеричную систему счисления:
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Всего 8 разных знаков составляют алфавит восьмеричной системы счисления

Можно записать любое число включая все эти знаки:237, 145, 32, 12765… - обратите внимание: используем цифры от 0 до 7

• Для восьмеричной системы счисления q =8

• Приняв за основание число 16 , получаем шестнадцатеричную систему счисления. Здесь мы можем воспользоваться 10 знаками десятичной системы, добавив еще 6 знаков – буквы латинского алфавита (A, B, C, D, E, F) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

10 11 12 13 14 15

Всего 16 разных знаков составляют алфавит шестнадцатеричной системы счисления.

Можно записать любое число включая все эти знаки: А37, 1В45, F 3 0 2, 1 A3C 5… - обратите внимание: используем знаки от 0 до F .

• Для шестнадцатеричной системы счисления q =16

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СС В ЛЮБУЮ ДРУГУЮ

Перевод числа из десятичной системы в систему счисления c другим основанием:

• Последовательно выполнять деление исходного целого числа на основание той системы, в которую переводим, пока не получится частное меньшее делителя.
• Записать полученные остатки в обратном порядке, начиная с последнего частного.

Возьмем десятичное число, например, 13 10 и

переведем его в двоичное, выполняя деление на основание: 2

1 3

2

12

1

6

6

2

0

3

2

2

1

1

Ответ читаем по остаткам - наоборот!

Получили что 13 10 = 1101 2

Проверка :

1101 2 = 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 10

Итак, перевод из десятичной системы в любую другую происходит путем деления исходного числа на основание той системы, в которую переводим.

ПЕРЕВЕДЕМ ЧИСЛО 173 ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ В ДВОИЧНУЮ СС

ЗАПИШЕМ ОТВЕТ

0,75 10 = 0,11 2

ПЕРЕВЕДЕМ ЧИСЛО 0,75 ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ В ДВОИЧНУЮ СС

Теперь возьмем десятичное число, например, 69 10 и переведем его в восьмеричное, выполняя деление на основание: 8

Ответ читаем по остаткам - наоборот!

Получили: 69 10 = 105 8

69

8

64

8

5

8

8

0

1

Проверка :

2 1 0

105 8 = 1 · 8 2 + 0 · 8 1 + 5 · 8 0 =64 + 0 + 5 = 69 10

ПЕРЕВЕДЕМ ЧИСЛО 173 ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ СС

Возьмем то же десятичное число 69 10 и переведем его в шестнадцатеричное, только теперь выполняя деление на основание: 16

Ответ читаем по остаткам - наоборот!

Получили 69 10 = 45 16

69

64

16

4

5

Проверка :

1 0

45 16 = 4 · 16 1 + 5 · 16 0 =64 + 5 = 69 10

Рассмотрим еще перевод десятичного числа 169 10 в шестнадцатеричное, выполняя деление на основание: 16 -

Последнее частное не делится на 16, и мы заменяем его согласно алфавиту 16-ричной системы на символ А : Получили 169 10 = А9 16

169

16 0

16

10

9

Выполнив проверку убеждаемся в правильности перевода:

1 0

А9 16 = А · 16 1 + 9 · 16 0 = 10 · 16 + 9 = 169 10 -

Перевод из десятичной системы в любую другую происходит путем деления исходного числа на основание той системы, в которую переводим.

ПЕРЕВЕДЕМ ЧИСЛО 173 ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ СС

1101 2 = 1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 = = 8 + 2 + 1 = 11 10

10,01 2 = 1*2 1 + 0*2 0 + 0*2 -1 + 1*2 -2 = 2 + 0,25 = 2,25 10

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СС В ДЕСЯТИЧНУЮ

36 8 = 3*8 1 +6*8 0 = 24 + 6 = 30 10

104,01 2 = 1*8 2 + 0*8 1 +4*8 0 +0*8 -1 + 1*8 -2 = 64+0+4+0,016 = 68,016 10

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ СС В ДЕСЯТИЧНУЮ

А6 16 = 10*16 1 +6*16 0 = 160 + 6 = =166 10

30С,01 2 = 3*16 2 + 0*16 1 +12*16 0 + +0*16 -1 + 1*16 -2 = 768+0+12+0,004 = 780,004 10

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СС В ДЕСЯТИЧНУЮ

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ 8ОЙ В ДВОИЧНУЮ

Двоичная СС

Восьмеричная СС

000

0

001

1

010

2

011

3

100

4

101

5

110

6

111

7

321 8  = 011010001 (8-2) = 11010001 2

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ 16ОЙ В ДВОИЧНУЮ

Двоичная СС

шестнадцатеричная СС

0000

0

0001

1

0010

0011

2

0100

3

4

0101

5

0110

6

0111

1000

7

8

1001

9

1010

A

1011

B

1100

1101

C

D

1110

E

1111

F

67 16  = 01100111 (8-2) = 1100111 2  

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

• Арифметические операции выполняются в любой системе счисления по одним и тем же правилам.
• СЛОЖЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

• Сложение много разрядных чисел в двоичной системе счисления происходит согласно данной таблице с учетом переноса в старший разряд.

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

СЛОЖЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

110 2 10011 2

+ 11 2 + 111 2

1001 2 11010 2

111 2 100101 2

+ 11 2 + 1011 2

1010 2 110000 2

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Вычитание ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

УМНОЖЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

110 2

Х 11 2

+ 110 2

110 2

10010 2

0 Х 0 = 0

0 Х 1 = 0

1 Х 0 = 0

1 Х 1 = 1