СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ
Определение. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Две прямые
Лежат в одной плоскости
Не лежат в одной плоскости (скрещиваются)
Имеют общую точку (пересекаются)
Не имеют общих точек (параллельны)
Признак скрещивающихся прямых
Теорема. Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.
Доказательство. Пусть прямая a лежит в плоскости , а прямая b пересекает плоскость в точке B , не принадлежащей прямой a . Если бы прямые a и b лежали в одной плоскости, то в этой плоскости лежала бы и точка B . Поскольку через прямую и точку вне этой прямой проходит единственная плоскость, то этой плоскостью должна быть плоскость . Но тогда прямая b лежала бы в плоскости , что противоречит условию. Следовательно, прямые a и b не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются.
Упражнение 1
Всегда ли две не пересекающиеся прямые в пространстве скрещиваются?
Ответ: Нет.
Упражнение 2
Назовите прямые, проходящие через вершины куба A…D 1 и скрещивающиеся с прямой AB .
Ответ: A 1 D 1 ; B 1 C 1 ; DD 1 ; CC 1 .
Упражнение 3
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра куба A…D 1 ?
Решение: Каждое ребро участвует в четырех парах скрещивающихся прямых. У куба имеется 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно
Упражнение 4
В тетраэдре ABCD укажите пары скрещивающихся ребер.
Ответ: AB и CD ; BC и AD ; AC и BD .
Упражнение 5
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы?
Решение: Для каждого ребра оснований имеется три ребра, с ним скрещивающихся. Для каждого бокового ребра имеется два ребра, с ним скрещивающихся. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно
Упражнение 6
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра правильной шестиугольной призмы?
Решение: Каждое ребро оснований участвует в 8 парах скрещивающихся прямых. Каждое боковое ребро участвует в 8 парах скрещивающихся прямых. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно
Упражнение 7
Назовите прямые, содержащие ребра многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, скрещивающиеся с прямой AA 2 .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ. BC , CD , B 1 C 1 , A 1 D 1 , B 2 C 2 , C 1 D 1 , C 2 D 2 .
Упражнение 8
Назовите прямые, содержащие ребра многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, скрещивающиеся с прямой AB .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ. DD 1 , CC 1 , C 2 C 3 , D 2 D 3 , A 1 D 1 , A 2 D 2 , B 2 C 2 , B 1 C 1 , A 3 D 3 , B 3 C 3 .
Упражнение 9
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра октаэдра?
Решение: Для каждого ребра имеется четыре ребра, с ним скрещивающихся. У октаэдра 12 ребер. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно
Упражнение 10
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра икосаэдра?
Решение: Для каждого ребра имеется 20 ребер, с ним скрещивающихся. У икосаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно
Упражнение 11
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра додекаэдра?
Решение: Для каждого ребра имеется 24 ребра, с ним скрещивающихся. У додекаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно
Упражнение 1 2
Как расположены в пространстве прямые a и b , проведенные в плоскостях и ?
Ответ: Скрещиваются.
Упражнение 1 3
Как в пространстве расположены прямые EF и GH , проведенные в плоскостях граней куба A … D 1 ?
Ответ: Скрещиваются .
Упражнение 1 4
Как в пространстве расположены прямые EF и GH , проведенные в плоскостях граней тетраэдра?
Ответ: Скрещиваются .
Упражнение 1 5
Как в пространстве расположены прямые EH и FG ?
Ответ: Скрещиваются .
Упражнение 1 6
Возможно ли такое расположение карандашей?