Сложение графиков функций

СЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ

Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется как сумма двух или нескольких простейших функций. Графики простейших функций уже известны и без труда могут быть построены. В этом случае, рассмотрим способ сложения графиков.

Алгоритм. 1) Строим графики функций каждого слагаемого

2) Ординаты второго графика откладывают от соответствующих

ординат первого графика (можно пользоваться измерительным

циркулем).

Пример 1. Построить график функции

Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где

. На одной системе координат строим графики этих функций.

Затем, каждую точку графика функции смещаем параллельно оси Оу на расстояние, равное ординате графика функции в соответствующей абсциссе. То есть, при ордината графика функции равна 2, а ордината графика функции равна 0, поэтому ставим точку . Далее, при ордината графика функции равна 0, а ордината графика функции равна 1, поэтому ставим точку . При ордината графика функции равна -2, а ордината графика функции равна 8, поэтому ставим точку . При ордината графика функции равна 4, а ордината графика функции равна -1, поэтому ставим точку . И так далее. Получаем график функции

Для того, чтобы график был как можно точнее, необходимо брать значимые точки, т.е. те, в которых происходит значимое событие для графика (пересечение с осями, точки перегиба, или точки, в которых график меняет своё направление).

Определим свойства функции

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Чётность функции:

Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

1. Точка пересечения с осью Оу:

2. Найдём точки экстремума:

.

.

1. Найдём экстремумы функции:

.

.

1. Функция возрастает при .

Функция убывает при .

Пример 2. Построить график функции

Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где

. На одной системе координат строим графики этих функций.

Производим аналогичные действия:

И так далее…

Получаем график функции .

Определим свойства функции

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Чётность функции:

Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

1. Точка пересечения с осью Оу:

Точки пересечения с осью Ох:

Значит, точки пересечения с осью Ох -

1. Найдём точки экстремума:

. .

1. Найдём экстремумы функции:

.

1. Функция убывает при .Функция возрастает при .

Пример 3. Построить график функции

Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где

. На одной системе координат строим графики этих функций. Затем производим сложение.

Определим свойства функции

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Чётность функции: Значит, функция является чётной, и её график симметричен относительно оси Оу.

4. Точка пересечения с осью Оу:

Точки пересечения с осью Ох:

Значит, точки пересечения с осью Ох -

1. Найдём точки экстремума:

. .

1. Найдём экстремумы функции:

.

1. Функция возрастает при .

Функция убывает при .

Пример 4. Построить график функции

Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где

. На одной системе координат строим графики этих функций. Затем производим сложение.

Аналогичные вычисления для отрицательного аргумента. Получаем график функции

Определим свойства функции

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Чётность функции: Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

4. Точка пересечения с осью Оу:

Точки пересечения с осью Ох:

. Значит, точки пересечения с осью Ох -

1. Найдём точки экстремума:

. .

1. Найдём экстремумы функции:

.

1. Функция возрастает при .

Функция убывает при .

Особый случай представляется при сочетании обратной пропорциональности с каким-нибудь другим графиком. Приведём такой пример.

Пример 5. Построить график функции

Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где

. На одной системе координат строим графики этих функций.

Что происходит? Так как график обратной пропорциональности не пересекает оси координат, то он и будет исходным. К его ординатам будем прибавлять ординаты графика функции .

График функции-суммы при значениях х, бесконечно близких к 0, практически сливается с графиком функции , располагаясь чуть выше его. А при очень больших значениях график функции-суммы почти сливается с графиком , располагаясь чуть выше его при положительных х, и чуть ниже при отрицательных х.

Определим свойства функции

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Чётность функции:

Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

1. Точек пересечения с осью Оу нет.

Точки пересечения с осью Ох:

Значит, точка пересечения с осью Ох

1. Найдём точки экстремума:

;

Найдём экстремумы функции:

.

1. Функция возрастает при .

Функция убывает при .

4