Сложение и вычитание рациональных дробей.

Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателей.

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями происходит точно также, как и сложение числовых дробей. Нужно только помнить, что знаменатель не должен равняться нулю.

Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить (или вычесть) их числители, а знаменатель оставить прежним.

Нужно не забыть, что после сложения или вычитания рациональных дробей необходимо проверить полученный результат на сократимость.

Например,

.

1. Выполнить сложение и вычитание дробей:

1. Найдите значение выражения:

1. Представьте дробь в виде разности двух дробей, знаменателями которых служит выражение

2. Представьте дробь в виде разности двух дробей, знаменателями которых служит выражение .

3. Представьте в виде суммы или разности несократимых дробей

1. Докажите, что сумма дробей тождественно равна многочлену.

2. Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных:

1. Представьте дробь в виде суммы двух дробей:

1. Докажите, что если , то верно равенство:

1. Докажите, что значение выражения при любом натуральном кратно .

2. Докажите, что значение выражения при любом натуральном кратно .

1. Найти значение выражения:

1. Представьте в виде несократимой дроби:

1. Докажите, что выражение при всех допустимых значениях переменной принимает отрицательные значения.

2. Докажите, что выражение при всех допустимых значениях переменной принимает положительные значения.

3. Найдите все натуральные значения , при которых дробь является натуральным числом.

4. Найдите все натуральные значения , при которых дробь является натуральным числом.

5. Упростите выражение:

1. Докажите, что при любом натуральном значении сумма - целое число.

2. Докажите, что при любом натуральном значении сумма - целое число.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Напомним, что складывать и вычитать дроби мы можем только с одинаковыми знаменателями. Поэтому, дроби с разными знаменателями нужно приводить к общему знаменателю.

Для того, чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно:

1. разложить на множители все знаменатели (если это возможно);

2. выписать полностью первый знаменатель;

3. к этому знаменателю добавить недостающие множители из второго, третьего и т.д. знаменателя;

4. найти дополнительные множители для каждой дроби (разделить новый знаменатель на старый);

5. умножить каждый числитель на дополнительный множитель.

Например,

.

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю и выполнить сложение (или вычитание).

После выполнения сложения (или вычитания) нужно не забыть привести в числителе подобные слагаемые и сократить полученную дробь (если это возможно).

Приведём ещё один пример.

.

1. Упростите выражение:

1. Упростите выражение и найдите его значение при заданных значениях переменных:

1. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение принимает одно и то же значение. Найдите его.

1. Упростите выражение:

1. Представьте дробь в виде суммы или разности двух дробей:

1. Представьте в виде несократимой дроби:

1. Докажите тождество:

1. Найдите значение выражения при всех допустимых значениях переменных:

2. При каком значении тождественно равны выражения:

   и

   и

3. Выполните действия с дробями:

1. Вычислить значение выражения:

   при

   при

2. Найдите такое число , при котором разность представляется как рациональная дробь, в числителе которой число.

3. Найдите такое число , при котором разность представляется как рациональная дробь, в числителе которой число.

4. Найдите натуральные числа и такие, что .

5. Найдите натуральные числа и такие, что .

6. Найдите все такие натуральные , при которых значение дроби является натуральным числом.

7. Найдите все такие натуральные , при которых значение дроби является натуральным числом.

4