Сложности в решении задач на проценты, сплавы и смеси при подготовке к ОГЭ в рамках интегрированного курса по математике и информатике

учитель математики, МБОУ СОШ №80 г. Новосибирска,

630098 г. Новосибирск, ул. Энгельса, 6, e-mail: vov1975_3@mail.ru

учитель информатики, МБОУ СОШ №80 г. Новосибирска,

630098 г. Новосибирск, ул. Энгельса, 6, e-mail: tiroz@ngs.ru

Сложности в решении задач на проценты, сплавы и смеси при подготовке к ОГЭ в рамках интегрированного курса по математике и информатике

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике (ОГЭ или ЕГЭ), любая проверка знаний содержат в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решения задач.

Научить решать большинство текстовых задач, содержащихся в открытом банке, можно практически любого выпускника. Конечно, при этом определяющими факторами являются желание и стремление ученика, и владение вычислительными навыками. Мы хотим показать прием решения задач на растворы, смеси и сплавы, не только с помощью математики, но и информатики. Исходя из опыта учителя математики, именно такой тип задач вызывают основные трудности, поэтому их для лучшего усвоения надо рассматривать как на уроках математики, так и на информатике.

В качестве практического материала нами были использованы задачи «от составителей» из «открытого банка заданий».

Существует много способов решения задач на растворы, смеси и сплавы. Мы хотим остановится на одном из них, который, по нашему мнению, самый простой для усвоения решения таких задач – табличный.

Чтобы лучше понимать условия задач, необходимо знать следующие понятия:

1) Что такое концентрация вещества в растворе, смеси, сплаве? Концентрация вещества в растворе (смеси, сплаве) – это отношение массы или объема вещества к массе или объему всего раствора (смеси, сплава). Как правило, концентрация выражается в процентах.

2) Что такое процент? Процент – это сотая доля числа. Она может выражаться либо в виде десятичной дроби, либо в виде процента.

3) Что такое масса раствора, смеси, сплава? Масса раствора (смеси, сплава) равна сумме масс всех составляющих. При смешивании нескольких растворов (смесей, сплавов) масса нового раствора становится равной сумме всех смешанных растворов. Масса растворенного вещества при смешивании двух растворов суммируется.

Задачи на смеси и сплавы бывают двух основных видов:

1. Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.

2. В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:

• изучить условия задачи;

• выбрать неизвестную величину (обозначить ее буквой);

• определить все взаимосвязи между данными величинами;

• составить математическую модель задачи (выбрать способ решения задачи, составить пропорцию или уравнение относительно неизвестной величины) и решить ее;

• провести анализ результата. 

Рассмотрим несколько задач и решим их с помощью таблицы.

Задача 1. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

В этой задаче примем за x массу первого сплава и выразим через него второй и третий.

Составим и решим уравнение:

0,1x+0,4 (x+3)= 0,3 (2x+3)

0,1х+ 0,4х+1,2=0,6х+0,9

0,3=0,1х

х=3 (кг) масса первого сплава.

2*3+3=9 (кг) масса третьего сплава.

Ответ: масса третьего сплава 9 кг.

Задача 2. Смешав 60%-й и 30%-й растворы кислоты и добавив 5 кг чи­стой воды, получили 20%-й раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды доба­вили 5 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?

Для решения этой задачи будем составлять две краткие записи. До слов "если бы вместо 5кг воды..." и после. Примем за х массу первого раствора, а за y – массу второго.

Составим уравнение с двумя переменными: 0,6 x + 0,3y+ 0= 0,2 (x+y+5)

Составим уравнение с двумя переменными: 0,6 x + 0,3y+ 4,5= 0,7 (x+y+5)

Объединив полученные два уравнения в систему и решив ее, получим x. Это и будет сколько килограммов 60%-го раствора использовали для получения смеси. Ответ: 2 кг.

Для нас важным является практический аспект в решении математических задач, поскольку в настоящее время выпускник, даже хорошо знающий математику, но не умеющий применять математические методы на компьютере, не может считаться успешным. Поэтому необходимо научить детей проводить требуемые вычисления на компьютере.

Наиболее универсальным для решения рассматриваемого класса задач является табличный процессор Excel.

Для решения задачи 1 в электронных таблицах изменим форму расчетов. В начало таблицы поместим известные данные, во второй столбец расчеты, в третий – расчет результата:

Получаем:

Задачу 2 решаем в Excel матричным методом. используем полученную систему линейных уравнений. Составляем матрицу, помещаем ее в Excel:

Для нахождения обратной матрицы используем функцию МОБР:

Для умножения обратной матрицы на массив свободных членов используем функцию МУМНОЖ. Получаем массив из двух двоек, которые являются корнями системы уравнений.

Умение решать системы уравнений в Excel – очень полезный навык для учащихся. Они учатся проверять математическое решение на компьютере, искать подходящие методы, что расширяет кругозор и учит решать задачи различными способами.

Таким образом, учащиеся закрепляют знания, полученные на уроках математики и осваивают способы решения задач на компьютере.

Заключение

В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений (анализ, синтез, аналогия, обобщение. конкретизация и т.д.). Данная система задач на смеси, растворы и сплавы была апробирована в ходе КПР (контрольно-проверочной работы) по математике в 8 классе в 2016-17 учебном году. Опыт показал, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к решению этих задач, в конце темы успешно заполняли таблицу и получали верный ответ.

Литература:

1. Открытый банк заданий ОГЭ http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge;

2. https://oge.sdamgia.ru Каталог заданий. Задачи на проценты, сплавы и смеси

3. В.Я. Гельман. Решение математических задач средствами Excel: Практикум. – СПБ.: Питер, 2003.

Дополнение:

В математике есть ряд текстовых задач, которые вызывают затруднение у учащихся при их решении. К таким задачам можно отнести задачи на растворы, смеси и сплавы. Практическое значение этих задач огромно. Встречаются они при изучении смежных дисциплин, например, химии. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Вместе с этим они являются хорошим средством развития мышления учащихся.

Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах:

• составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;

• решения полученной модели;

• анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнения в системе и пр.).

Все сложности преодолимы при тщательном анализе задачи. Основными компонентами в этих задачах являются:

• масса раствора (смеси, сплава);

• масса вещества;

• доля (% содержание) вещества.

При решении большинства задач этого вида, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.

Этапы решения задачи:

1. Знакомство учащихся с текстом задач и выделение основных компонентов в них. Заполнение таблицы.

Таблица для решения задач имеет следующий вид:

2. Составление уравнения и его решение.

3. Анализ полученных данных, ответ на вопрос задачи.

Рассмотрим решение задач с применением таблицы.

Задача 1. В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

Решение:

Масса уксусной кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение:

0,01х·5 = 0,8·2; 0,05х = 1,6; х = 1,6:0,05; х = 32.

Ответ: 32 %.

Задача 2. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г 70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?

Решение:

Анализируя таблицу, составляем уравнение :

0,08(200 + х) = 0,7·200; 16 + 0,08х = 140; 0,08х = 124; х = 1550.

Ответ :1,55 кг воды.

Задача 3. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.

Решение:

Анализируя таблицу, получаем :

0,32х/2х * 100% = 16 %

Ответ : 16 %.

Задача 4. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

Решение:

Пусть первый сплав взят в количестве x кг, тогда он будет содержать 0,6x кг меди, а второй сплав взят в количестве y кг, тогда он будет содержать 0,45y кг меди. Соединив два этих сплава, получим сплав меди массой x + y, по условию задачи он должен содержать 0,55(x + y) меди. Следовательно, можно составить уравнение: 0,55(x + y) = 0,6 х + 0,45у;

0,55 х + 0,55 у = 0,6 х+ 0,45 у; 0,05 х = 0,1 у . Выразим x через y: х = 2 у.

Следовательно, отношение, в котором нужно взять сплавы 1:2.

Ответ: 1:2

Задача 5. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 13% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 4 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва.

Ре­ше­ние:

Пусть масса пер­во­го спла­ва x кг. Тогда масса вто­ро­го спла­ва (x + 4) кг, а тре­тье­го — (2x + 4) кг. В пер­вом спла­ве со­дер­жит­ся 0,05x кг меди, а во вто­ром — 0,13(x + 4) кг. По­сколь­ку в тре­тьем спла­ве со­дер­жит­ся 0,1(2x + 4) кг меди, со­ста­вим и решим урав­не­ние: 0,1(2x + 4) = 0,18 х + 0,52; 0,02 х = 0,12; х = 6.

От­ку­да масса тре­тье­го спла­ва равна 16 кг.

Ответ:16 кг.

Задача 6. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 10 % рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 12 % рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние:

Пусть взяли х г 10-про­цент­но­го рас­тво­ра, тогда взяли и х г 12-про­цент­но­го рас­тво­ра. Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра — масса ве­ще­ства, раз­делённая на массу всего рас­тво­ра.  Кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра равна 0, 22 х / 2х или 11%.

 Ответ: 11%.

Задача 7. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 4 кг и 16 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 57% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 60% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ре­ше­ние:

Пусть кон­цен­тра­ция пер­во­го рас­тво­ра – х %, кон­цен­тра­ция вто­ро­го рас­тво­ра – y %. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний со­глас­но усло­вию за­да­чи:

0,57 * 20 = 0,04 х + 0,16у, х = 65,

0,6 * 8 = 0,04х + 0,04 у; у = 55.

Таким об­ра­зом, в пер­вом рас­тво­ре со­дер­жит­ся 0,65 * 4 = 2,6 ки­ло­грам­ма кис­ло­ты

 Ответ: 2,6

Задача 8.  Сме­шав 60% и 30% рас­тво­ры кис­ло­ты и, до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20% рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90% рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 70% рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 60% рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ре­ше­ние:

Пусть х кг и у кг — массы пер­во­го и вто­ро­го рас­тво­ров, взя­тые при сме­ши­ва­нии. Тогда (х + у +5) кг — масса по­лу­чен­но­го рас­тво­ра, со­дер­жа­ще­го (0,6 х + 0,3у) кг кис­ло­ты. Кон­цен­тра­ция кис­ло­ты в по­лу­чен­ном рас­тво­ре 20 %, значит 0,2(х + у +5) %. Концентрация кислоты во втором растворе 70 %, значит 0,7 ( х + у + 5) = 0,6х + 0,3 у + 4,5. Решим си­сте­му двух по­лу­чен­ных урав­не­ний:

0 ,2(х + у +5) = 0,6 х + 0,3у,

0,7 ( х + у + 5) = 0,6х + 0,3 у + 4,5;

0,4 х + 0,1 у = 1, х =2,

0,1 х + 0,4 у = 1; у = 2.

Ответ: 2 кг.

Задача 9. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

Решим уравнение: 0, 1 х + 0,3(200-х )= 0,25*200; х = 50.

Масса второго сплава 150 кг.

Ответ: на 100 кг.

 Задача 10. Имеется два куска слитка олова и свинца, содержащие 40% и 60% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 граммов сплава, содержащего 45% олова?

Решение:

Решим уравнение: 0, 4 х + 0,6(600-х )= 0,45*600; х = 450.

Ответ:450 кг и 150 кг.

Задача 11.  Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг, содержит 45% меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы получить новый сплав, содержащий 60% меди?

Решение:

Получаем уравнение: 0, 45 х +х=0,6(36 + х), х = 13,5

Ответ: 13,5 кг

Задача 12. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.

Решение:

Итак, получаем систему уравнений :

Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.

Задачи для самостоятельного решения:

13. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 10 кг и 16 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 55% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 61% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 8,7

14. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 40 кг и 30 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 73% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 72% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

 Ответ: 19,5

15. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 40 кг и 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 33% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 47% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 2.

16. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 24 кг и 26 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 39% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 40% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 15,6

17. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 30 кг и 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 81% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 83% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

Ответ: 18,6

18. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 22 кг и 18 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 32% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 30% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 11

19. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 30 кг и 42 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 40% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 37% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

20. Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 48 кг и 42 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чим рас­твор, со­дер­жа­щий 42% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 40% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся во вто­ром рас­тво­ре?

21. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 21-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 95-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

 Ответ: 58.

Заключение

В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений (анализ, синтез, аналогия, обобщение. конкретизация и т.д.). Данная система задач на смеси, растворы и сплавы была апробирована в ходе КПВ по математике в 8 классе в 2016-17 учебном году. Опыт показал, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к решению этих задач, в конце темы успешно заполняли таблицу и получали верный ответ.

Литература:

1.Открытый банк заданий ОГЭ http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge;

2. https://oge.sdamgia.ru Каталог заданий. Задачи на проценты, сплавы и смеси

13