Сочетания и размещения

Сочетания и размещения

Определение 1. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»:

n!=1  2  3  …  (n-2)  (n-1)  n

n

1

n!

2

1

3

1  2=2

4

2!  3=6

3!  4=24

5

6

4!  5=120

7

5!  6=720

6!  7=5040

• Теорема 1. n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n! способами.
• Записывают в виде краткой формулы: P n =n!
• P n -это число перестановок из n различных элементов .

• Определение 2. число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают (цэ из эн по два).
• Теорема 2 ( о выборе двух элементов ). Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести n(n-1)/2 способами.

Буква С хорошо согласуется «и с французским, и с нижегородским»:

с одной стороны, С – это первая буква слова combinations,

с другой стороны, С – это первая буква слова сочеатание.

Теорема 3. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать из них два элемента, учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести n(n-1) способами.

Определение 3. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначают

Определение 4:Число всех выборов k элементов из n данных без учета порядка называют числом сочетаний ,из n элементов по k и обозначают Число всех выборов k элементов из n данных с учётом их порядка называют числом размещений из n элементов по k и обозначают

Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой

Актив класса (староста, культорг, редактор стенгазеты, организатор спортивных мероприятий) – 4 человека из 30

7 монет из 10 данных монет;

10 карт из колоды в 32 карты

Пример

• В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) первый ученик должен решить задачу, второй — сходить за мелом, третий — пойти дежурить в столовую;

б) им следует спеть хором?

Пример 8

• «Проказница Мартышка, Осёл, Козел и Косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили выбрать 4 любых инструмента из имеющихся 11.

а) Найти число всевозможных выборов инструментов.

б) Найти число всевозможных рассаживаний участников квартета с выбранными четырьмя инструментами (инструменты, как в басне Крылова, занимают четко отведенные позиции).

в) Сколько всего различных инструментальных составов квартета может получиться?

Квартет

Проказница-Мартышка, Осёл, Козёл Да косолапый Мишка Затеяли сыграть Квартет. Достали нот, баса, альта, две скрипки И сели на лужок под липки, — Пленять своим искусством свет. Ударили в смычки, дерут, а толку нет. «Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. —Погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите. Ты с басом, Мишенька, садись против альта, Я, прима, сяду против вторы; Тогда пойдет уж музыка не та: У нас запляшут лес и горы!» Расселись, начали Квартет; Он все-таки на лад нейдёт. «Постойте ж, я сыскал секрет? — Кричит Осёл, — мы, верно, уж поладим, Коль рядом сядем».

Послушались Осла: уселись чинно в ряд; А все-таки Квартет нейдёт на лад. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть. Случилось Соловью на шум их прилететь. Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье. «Пожалуй, — говорят, — возьми на час терпенье, Чтобы Квартет в порядок наш привесть: И ноты есть у нас, и инструменты есть, Скажи лишь, как нам сесть!» — «Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье И уши ваших понежней, — Им отвечает Соловей, — А вы, друзья, как ни садитесь; Всё в музыканты не годитесь».

Следствия из теоремы 4