Сопроводительный текст "Ломоносовские чтения"

Простые числа, известные еще с древности, несут с собой множество загадок, не решенных человечеством, в том числе гипотеза Гольдбаха, не доказанная и не опровергнутая в течение тысячелетий.

Каждое натуральное число, больше единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно на цело не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие- то целые делители, то составным. Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно или составное. Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальных справочных таблиц или помощника компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена. Старинный способ, придуманный еще в 3 в. до н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с двух. Двойку отберем в свою коллекцию, а остальные числа, кратные двум, зачеркнем. Ближайшим не зачеркнутым числом будет три. Возьмем в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные трём, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и другие. Следующее наименьшее не зачеркнутое число-это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5, зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, мы в конце концов добьемся того, что не зачеркнутыми останутся одни лишь простые числа - они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА. Можно ли, вторя поэту, сказать, что простых чисел столько, “ сколько звезд на небе, сколько рыб в воде”? Ответ находим в девятой книге знаменитого сочинения Евклида” Начала”- нетленного памятника Древнего мира. Двадцатая теорема в этой книге утверждает: ”Первых чисел существует больше любого указанного числа их”.

В 1742 году о своем наблюдении Гольдбах написал великому математику 18 века Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской академии наук.

Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:

Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

 Первое утверждение называется тернарной проблемой Гольдбаха, второе — бинарной проблемой Гольдбаха.

Тернарная проблема Гольдбаха, согласно которой любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Из справедливости утверждения бинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует справедливость тернарной проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число, начиная с 4, есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7.

А ведь, правда: какое бы чётное число мы не брали, его можно выразить суммой двух простых. Например: 24=13+11. Или 100=83+17. Можно взять сколь угодно большое число, и гипотеза окажется верна. Проблема состоит именно в том, чтобы найти общее математическое доказательство утверждения Гольдбаха. Чем больше чётное число, тем больше способов представить его в виде двух простых

К проблеме Гольдбаха в первую очередь подходят «в лоб». То есть последовательно проверяют её правильность для каждого следующего простого числа. Таким образом, на сегодняшний день проверены все чётные числа до 3*10¹⁸, и проверка продолжается. Но у подобного метода есть существенный недостаток. Так нельзя доказать теорему, так как нельзя гарантировать, что число, которое программа могла бы проверить за следующий свой шаг, не окажется первым исключением из правила.
Долгое время не удавалось найти вообще никаких путей к исследованию проблемы Гольдбаха. Лишь в 1923-м году английским математикам Готфри Харди и Джону Литлвуду удалось доказать, что относительно так называемых L-pядов Дирихле, всякое достаточно большое нечётное число есть сумма трёх простых чисел.
В 1930-м году математик Лев Шнирельман опубликовал доказательство теоремы о том, что целое число, большее единицы, есть сумма ограниченного числа простых чисел, причём это число не превышает 300.000 тысяч. Это было серьёзным шагом вперёд. Но ограниченное число не есть указанное в гипотезе число два. Поэтому доказательство Шнирельмана стало лишь частным решением проблемы. Результат Шнирельмана многократно уточнялся; последнее уточнение сделал в 1995 году французский математик Рамарэ: он показал, что любое чётное число – сумма не более 6 простых чисел.
Наиболее серьёзный шаг вперёд в решении проблемы Гольдбаха сделал в 1937-м году советский математик Иван Виноградов. Он доказал, что всякое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел, то есть по существу решил проблему Гольдбаха для нечётных чисел. Правда, «достаточно большое число» в формулировке Виноградова составляет 3,33*10^43.000, что на сегодняшний день практически неприменимо в прикладной математике.
Заметный шаг к доказательству проблемы Гольдбаха сделал в 1966 году китайский математик Чэнь Цзинжунь. Он доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (т.е. имеющего только 2 делителя, не считая 1 и самого себя). 
В 1997 году была доказана справедливость слабой проблемы Гольдбаха для ещё одного частного случая: чисел свыше 10²⁰. В 2013 году тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана Харальдом Гельфготтом.

Сильная проблема Гольдбаха остаётся пока что каменной стеной для исследователей. Вычисления Эйлера давали надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели.

В интернете можно найти множество «доказательств» сильной гипотезы Гольдбаха. Но обыкновенно подобные доказательства имеют ошибки, либо вообще не являются доказательствами. Вполне вероятно, эта гипотеза попросту недоказуема, а наблюдаемая закономерность является сложной комбинацией математических совпадений. Это утверждение связано, в частности с тем, что так называемого «закона простых чисел» не существует. Открытие каждого нового простого числа происходит исключительно методом «перебора», и в последнее время из-за огромных числовых «расстояний» между каждым новым простым числом и следующим за ним, подобные открытия происходят крайне редко и являются значительными математическими достижениями. С другой стороны, многие чётные числа можно представить с помощью нескольких пар простых, то есть существует несколько комбинаций. Если построить график зависимости количества комбинаций пар простых чисел от увеличения чётных составных чисел, выяснится, что с увеличением чётного числа наблюдается тенденция к увеличению количества пар простых чисел, дающих в сумме данное число, причём это увеличение происходит по определённому закону. Этот факт не позволяет математикам бросить поиски доказательства. А Эйлер хитро смотрит со старинной картины.
Характерно то, что Гольдбах не был светилом математической науки своего времени. Он родился в 1690-м году и закончил юридический факультет Кёнигсбергского университета: математика была всего лишь его хобби. В 1725-м году Гольдбах приехал в Россию, где получил звание академика Петербургской академии наук, а с 1742 года работал в Коллегии иностранных дел. С Эйлером он вёл дружескую переписку в течение 35 лет, вплоть до своей смерти в 1764 году в Москве. В 1843-м году 177 писем этой переписки были опубликованы. Он довольно много путешествовал и дружил с многими известными математиками, в том числе с семьёй Бернулли. За свою жизнь он опубликовал менее десятка некрупных математических работ, хотя две из них – о бесконечных рядах – сделали его достаточно известным в научных кругах. 
Впрочем, в широких кругах Христиан Гольдбах стал известен благодаря нескольким фразам в одном-единственном письме к своему другу. Такие вот игры судьбы.